1.1 菱形的性质与判定 复习讲义 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

（北师大版）九年级复习资料《第一章 特殊的平行四边形》 1.1菱形的性质与判定 一、菱形的性质 1、菱形的定义： 。 2、菱形的性质： ①边： ②角： ③对角线： ④菱形既是 对称图形，又是 对称图形；它有 条称轴；分别是 的直线，它的对称中心是 。 例1、 （1）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点坐标B的坐标为（8,4），则C点的坐标为 。 （2） 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=60°，点A的坐标为（2,0），则点B的坐标为 。 1、在平面直角坐标性中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别是（-3,0）、（2,0）点D在Y 轴上，则点C 的坐标是 。 例2、 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE周长的最小值为 。 3、如图，菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=45°，点E是线段AD上的一个动点，连接对角线BD，点P是线段BD上的一个动点，连接PA、PE，则PA+PE的最小值是 。 4、如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF。其中结论正确的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 二、菱形的判定 ① ② ③ 1、如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E,交AD于点F，连接AE、CF. （1）求证：四边形AECF是菱形。 （2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积。（结果保留根号） 2、 如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C、D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O,连接AE。 （1） 求证：四边形ADCE是菱形； （2） 若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积 3、已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F,作PM∥AC，交AB于M点，连接ME. （1） 求证：四边形AEPM为菱形； （2） 当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？ 4、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H 分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF. （1）求证：△AEH≌△CGF （2）求证：四边形EFGH是菱形。 3、 菱形的面积 1、设菱形的边长为a，高为h，则S菱形= 。 2、设菱形的两条对角线的长分别为a，b，则S菱形 。 1、如图，菱形ABCD的对角线BD=12，AC=10，则该菱形的面积为 。 2、如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=6，AC,BD相交于点O，则菱形ABCD的面积为 。 在上题中，过点D作DE⊥AB于点E，则DE的长为 。 3、 如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC= ，三角形ABC的面积 。 4、如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB 上，且BE=BO,则∠EOA= 度。 作业 1、在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（ ） A、5 B、10 C、6 D、8 2、在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= 。 3、在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于 。 4、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（ ）。 5、矩形边长为10cm和15cm，其中一内角平分线把长边长分为两部分，这两部分是（ ）。 6、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的只有（ ） A、AC=BD B、AB=6，BC=8，AC=10 C、AC⊥BD D、∠1=∠2 7、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=2，∠AOB=60°，AE平分∠BAD，AE交BC于点E，连接OE，则 OB= ，BE= ，∠BOE= 。 8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积 。 9、如图，在△ABC中，D，E分别是AB、AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF、CF、DF=1，若∠AFC=90°，则BC的长度为（ ）。 10、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E。 （1）求证：四边形OCED是矩形。 （2）若CE=1，DE=2，则菱形ABCD的面积是 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$