22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 课件-2024-2025学年 数学人教版（2012）九年级上册

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 第二十二章 二次函数 学习目标 知道二次函数的图象是一条抛物线； 会用描点法画二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点； 掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用. 复习导入 二次函数 概念 图象 性质 一次函数 正比例函数 从特殊 到一般 类比 描点法画图 观察图象特征 归纳函数性质 形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数. 探究新知 二次函数 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 最简单的二次函数y = ax2 y = x2 探究1 用描点法画出二次函数 y = x2的图象． 探究新知 1.列表：在 y = x2 中，自变量 x 可以是任意实数．列表表示几组对应值： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 探究新知 2. 描点：根据表中x， y的数值在坐标平面中描点（x, y） 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，向两端无限延伸，就得到 y = x2 的图象． 函数图象画法: 列表 描点 连线 探究新知 y = x2 的图象形状类似投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是它的开口方向向上. 探究新知 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 二次函数 y=x2 的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点 （最低点） 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴 归纳总结 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 根据图象，归纳二次函数 y=x2 所具有的性质. 1.y＝x2的图象是一条抛物线； 2.图象开口向上； 3.图象关于y轴对称； 4.顶点（0，0）； 5.图象有最低点． 6.当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大． 探究新知 在同一直角坐标系中画出函数 y = x2 和 y = 2x2 的图象． 解：（1）列表． x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y = x2 x y = 2x2 … … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 8 … … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 探究2 8 … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4.5 探究新知 在同一直角坐标系中画出函数 y = x2和 y = 2x2 的图象． （2）描点． （3）连线． x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 探究新知 思考：（1）函数 ， 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 不同点：a值越大，抛物线的开口越小． 共同点：开口向上． 顶点：原点(0，0)——最低点． 对称轴： y轴． 增减性：在 y 轴左侧，y随x增大而减小；在 y 轴右侧，y随x增大而增大． x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 归纳总结 二次函数y＝ax2(a＞0)的图象和性质如下表： 函数 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y = ax2 (a＞0) 向上 |a|越大， 开口越小 (0，0) y轴(直线x = 0) 左减 右增 当x = 0时， y最小值 = 0 探究新知 探究3 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 1.列表 x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -4.5 -8 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -4.5 探究新知 描点、连线，如图所示： x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 思考：（1）从函数 y = x2 ，y = -x2，y = -2x2的图象，考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？ ①图象开口向下； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最高点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而增大； 当x>0时，y随着x的增大而减小. 共同点： 探究新知 描点、连线，如图所示： x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 思考：（1）从函数 y = x2 ，y = -x2，y = -2x2的图象，考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？ 不同点：开口大小不同，当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 探究新知 总结：当a<0时，二次函数 y = ax2的图象有什么特点？ ①图象开口向下； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最高点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而增大； 当x>0时，y随着x的增大而减小. ⑥a越小（即a的绝对值越大），抛物线的开口越小. x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 归纳总结 y = ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线 x = 0 顶点坐标是原点（0，0） 当x = 0时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x A A A D B B D 小结 二次函数 y = ax2 的图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 32 谢谢各位同学的观看 练习1抛物线 ， ， ， 中， 开口最大的是抛物线( ) A. B. C. D. 解析： 二次函数中 的值越小，函数图像的开口越大， ， 抛物线 ， ， ， 中， 开口最大的是抛物线 .故选A. 练习2.已知A、B是抛物线 上关于对称轴对称的两点，若点A的横坐标是 ，则点B横坐标为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析： A、B是抛物线 上关于对称轴对称的两点， 抛物线对称轴为 ， 点A的横坐标是 ， 点B横坐标为：2， 故选：A. 练习3下列关于函数 的叙述中，错误的是( ) A.y有最大值 B.图像的对称轴是y轴 C.当 时，y随x的增大而增 D.图像的顶点是原点 解析：函数 的图像开口向上，顶点是原点， 对称轴是y轴， 当 时，y随x的增大而增大，y有最小值， 故A错误，B，C，D正确. 练习4 已知 ，则下列说法错误的是( ) A.函数图象开口向下 B.函数图象的对称轴是y轴 C.当 时，y随x的增大而减小 D.函数有最小值 解析：易知 的图象开口向下，对称轴是y轴， 当 时，y随x的增大而减小，函数有最大值. 练习5抛物线 和 在同一坐标系内,下面结论正确的是( ) A.顶点坐标不同 B.对称轴相同 C.开口方向一致 D.都有最低点 解析：∵ ( )的图像都是关于y轴对称, 抛物线的顶点都是原点,故选B. 练习6 已知点 ， ， 在函数 的图象上，则 、 、 的大小关系为( ) A. B. C. D. 解析：当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 所以 .故选：B. 练习7在同一坐标系中，作函数 ， ， 的图像，它们的共同特点是( ) A.抛物线的开口方向向上 B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 解析：因为形如 的二次函数的图像的对称轴都是y轴， 且顶点都在原点， 所以它们的共同特点是都是关于y轴对称的抛物线， 有公共的顶点.故选D. $$