3.4 圆心角（2） 课件2024-2025学年浙教版数学九年级上册

3.4 圆心角（2） 第3章 圆的基本性质 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 1.掌握圆心角定理的逆定理. 2.会运用关于圆心角、弧、弦心距之间相 互关系的定理解决简单的几何问题. 复习回顾 弦 圆心 弧　 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 复习回顾 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦和这两条弦上的弦心距也相等. ∠AOB=∠COD 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 【探究】圆心角定理有逆定理吗？ 条件 结论 ∠AOB=∠COD ① ② ③ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 条件 结论 AB=CD OE=OF 逆命题1 逆命题2 逆命题3 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等. 新知学习 【新知】圆心角定理的逆定理 几何语言：在⊙O中， ∠AOB= ∠COD AB=CD OE=OF . 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 例题探究 【例3】如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交 于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由. 解：四边形BDCO是菱形，理由如下： ∵AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120° ∴∠BOD=180°-∠AOB=60° 又∵OB=OD， ∴△BOD是等边三角形 同理，∴△COD是等边三角形 ∴OB=OC=BD=CD ∴四边形BDCO是菱形 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 例题探究 【例4】已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．求证： 证明: 连结OD,OE 在等边三角形ABC中，∠A=60° ∵OA=OD ∴△AOD为等边三角形 ∴∠AOD=60° 同理∠BOE=60° ∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60° ∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE B 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 学以致用 【1】如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝CD，下列结论错误的是(　　) A．∠AOB＝∠COD B．∠AOC＝∠BOD C. AC＝BC D. AC＝BD C ︵ ︵ ︵ ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 学以致用 【2】如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 学以致用 【3】如图，在以AB为直径的半圆中，AD＝EB，CD⊥AB，EF⊥AB，CD＝CF＝1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是______________． ︵ ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 学以致用 【解析】 ︵ ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 学以致用 【4】如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF. (1)求证：△BFG≌△CDG； ︵ (2)若AD＝BE＝2，求BF的长． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 学以致用 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 (2)若AD＝BE＝2，求BF的长． ︵ ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 课堂总结 圆心角定理 圆心角定理的逆定理 等量关系 弧 弦心距 弦 圆心角 定理研究的基本路径和方法 联系 依据 条件 结论 多个命题（定理） 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 【例5】如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G. (1)求证： eq \o\ac(EF,\s\up18(︵)) ＝ eq \o\ac(FG,\s\up18(︵)) ； (2)若 eq \o\ac(EFG,\s\up18(︵)) 为140°，求∠EGB的度数． (1)证明：连结AE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B．∵AE＝AB，∴∠B＝∠AEB，∴∠EAF＝∠GAF，∴ eq \o\ac(EF,\s\up18(︵)) ＝ eq \o\ac(FG,\s\up18(︵)) .　(2)解：∵GB为⊙A的直径，∴ eq \o\ac(BEG,\s\up18(︵)) 为180°.∵ eq \o\ac(EFG,\s\up18(︵)) 为140°，∴ eq \o\ac(BE,\s\up18(︵)) 为40°，∴∠BAE＝40°.∵AG＝AE，∴∠AGE＝∠AEG，∴∠BAE＝∠AGE＋∠AEG＝2∠AGE，∴∠EGB＝eq \f(1,2)∠BAE＝20°. 解：连结OC，OD.过点D作DH⊥AB于点H， ∵BC＝CD＝DA，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC. ∵∠AOD＋∠DOC＋∠BOC＝180°， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°. 又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝AD＝4，∴DH＝2 .易得DC∥AB， ∴四边形ABCD的面积为＝12 . x2－x＋1＝0　 连结OD，OE. ∵＝，∴∠DOC＝∠EOF. ∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠DCO＝∠EFO＝90°. 又∵DO＝EO，∴△DOC≌△EOF， ∴CO＝OF＝CF＝. 在Rt△DOC中，OD＝＝， ∴AO＝DO＝，∴AC＝， ∴BC＝AB－AC＝－ ＝， ∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 (x－)＝0，整理得x2－x＋1＝0. 证明：如图，连结BC. ∵点C是的中点，∴＝. ∵CF⊥AB，∴＝. ∴＝，＝. ∴CD＝BF，BD＝CF. 在△BCD和△CBF中， ∴△BCD≌△CBF(SSS)．∴∠CDG＝∠BFG. 在△BFG和△CDG中， ∴△BFG≌△CDG(AAS)． 解：如图，连结OF，OC，设OC交BD于点H. ∵＝，∴OC⊥BD，DH＝BH. ∵OA＝OB，∴OH为△ABD的中位线， ∴OH＝AD＝1. 在△COE和△BOH中， ∴△COE≌△BOH(AAS)．∴OE＝OH＝1. ∵BE＝2，∴OB＝OE＋BE＝3. ∵OF＝OB，AB⊥CF， ∴EF＝＝＝2 . ∴在Rt△BEF中，BF＝＝＝2 . $$