5.2 二次函数的图象和性质 讲义 2024-2025学年苏科版九年级数学下册

2024-2025学年苏科版数学九年级下册 5.2二次函数的图象和性质 （讲义1） 【知识点一】二次函数的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 【典型例题】 【例题1】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A． B． C． D． 【例题2】已知抛物线与的形状相同，则______． 【例题3】在同一坐标系中，作y＝x2，，的图象，它们的共同特点是( ) A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 【例题4】函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B．C． D． 【例题5】在同直角坐标系中，画出函数的图象． 【例题6】在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： ． 【知识点二】二次函数的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图像的性质，见下表： 函数 　 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 【典型例题】 【例题1】函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（ ） A．±2 B．－2 C．2 D．3 【例题2】下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A． 它的图象经过点(，) B．它的图象的对称轴是直线 C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．当x=0时，y有最大值为0 【例题3】二次函数y＝x2的图象开口　 　，对称轴是　 　，顶点是　 　，x取任何实数，对应的y值总是　 　数． 【例题4】已知点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（，y3）均在二次函数y＝（k2+1）x2（k为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　． 【例题5】已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序） 【例题6】已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求： （1） 满足条件的k的值； （2） 当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？ 【知识点三】二次函数的图象与性质综合运用 【典型例题】 【例题1】如图，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形BDE的直角边长分别为2m，2n，原点O为BC的中点，D在AB延长线上，抛物线y＝ax2过A，E两点，则的值为　 　． 【例题2】如图，O为坐标原点，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝﹣x2 D．y＝﹣3x2 【例题3】如图，已知点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． （1）求a的值和点B的坐标； （2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点P的坐标． 【例题4】已知一次函数y＝ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是2、﹣1，若二次函数y＝x2的图象经过A、B两点． （1）求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图象； （2）若P（m，y1），Q（m+1，y2）两点都在二次函数y＝x2的图象上，试比较y1与y2的大小． 【例题5】已知，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交于点C． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【例题6】已知如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，且△AOP的面积为4． （1）求直线AB的表达式； （2）求a的值． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$