专题02 一元二次方程（20题型88题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

v 专题02 一元二次方程 题型一 认识一元二次方程 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）下列方程中一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程成立的条件 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若方程是一元二次方程，则m的值为 ； 6．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a= . 7．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 题型三 一元二次方程各项系数 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．1， D．1， 9．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 题型四 配方法 11．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）用配方法解方程时，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）用配方法解方程时，下列配方错误的是（    ）． A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 13．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）若将方程化成(，为常数)的形式，则的值是(    ) A． B． C． D． 题型五 解一元二次方程 14．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）方程的根是（    ） A． B．， C． D．， 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0 16．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）一元二次方程的解是 ． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）方程的解是 ． 题型六 估算法 19．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 21．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围为（    ） x A． B． C． D． 题型七 根的判别式 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 23．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）一元二次方程根的判别式的值是（   ） A．33 B． C．17 D． 24．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若，则关于x的一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 25．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程有实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 题型八 判别式与不等式（一） 28．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的最大整数值是（    ） A．1 B．0 C． D． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．且 题型九 判别式与不等式（二） 33．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（     ）． A．-2 B．2 C．-2或2 D．0 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A．m≠1 B．且m≠1 C．m≤5且m≠1 D．m为任意实数 37．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是（   ） A．m≠0 B．m≠5 C．m≠1或m≠-1 D．m≠1且m≠-1 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则满足 . 39．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ． 题型十 已知一根求参数 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2 41．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（　　） A． B．2 C． D．4 42．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（   ） A．−2 B．2 C．−4 D．4 43．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）若一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一个根为－1，则（　　） A．a+b+c=1 B．a－b+c=0 C．a+b+c=0 D．a－b+c=1 题型十一 已知一根求另一根 44．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）关于x的一元二次方程x2＋x－a＝0的一个根是2，则另一个根是（　　　） A．－1 B．－2 C．－3 D．2 45．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　） A．1 B．﹣3 C．3 D．4 46．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3 47．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 题型十二 已知方程根求多项式 48．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若是一元二次方程的两个不同实数根，则代数式的值是（    ） A．1 B． C．5 D． 49．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 50．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）若是一元二次方程一个根，则的值为 ． 51．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若m、n是方程x2+6x﹣5=0的两根，则3m+3n﹣2mn= ． 52．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 题型十三 已知方程根与等腰三角形 53．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（  ） A．8 B．9 C．8或9 D．12 54．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．2或4 55．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定 56．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ）． A．8 B．10 C．8或10 D．6或10 57．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若直角三角形的条两直角边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（   ） A．6 B．12 C． D．6或 58．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为 ． 题型十四 根与系数的关系 59．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知实数a，b是方程的两个根，则的值是 ． 60．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 61．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 62．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ． 63．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的两根分别为和，则为（    ） A． B． C．2 D． 64．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 题型十五 一元二次方程应用---分支问题 65．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 66．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干．每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是91个，根据题意可列出方程正确的为（    ） A． B． C． D． 67．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）我们在学习一元二次方程应用时，课后习题有这样一问题，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十六 一元二次方程应用---传播问题 68．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十七 一元二次方程应用---单循环问题 69．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）2023年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍x支，共比赛了210场，则根据题意可列方程： ． 题型十八 一元二次方程应用---数字问题 70．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是 ． 题型十九 一元二次方程应用---增长率问题 71．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）某种产品计划在两年内成本降低36%，问平均每年降低百分之几？可设平均每年降低百分率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 72．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）某公司前年缴税40万，今年缴税万，设该公司这两年缴税的平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 73．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）为执行“均衡教育”政策，某区年投入教育经费万元，预计到年底三年累计投入亿元．若投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 74．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，则平均每次降价的百分数为 ． 75．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某医药厂两年前生产某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产该种药品的成本是3000元．设该种药品生产成本的年平均下降率为x，列出方程 ． 题型二十 一元二次方程应用---面积问题 76．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 77．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）如图所示，在长为100米宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路剩余部分进行绿化要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 78．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570 79．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 80．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划分出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽为xm，则可列方程为 ．    81．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形绿地的长为，宽为，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，则绿地的长、宽增加的长度为 ． 82．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），若纸张是长为，宽为的长方形，四周页边距均设置为，并使打印区域的面积占纸张面积的，则依据题意可列方程 ．    83．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，则所截去小正方形的边长是 ． 题型二十一 一元二次方程应用---围墙问题 84．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 85．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设米．则可列方程（    ） A．B． C． D． 86．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为28米，如果该矩形花园的面积为360平方米，则的长为 ．    题型二十二 一元二次方程应用---动点问题 87．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动，动点从点开始沿着边点以的速度移动．若、两点同时开始运动，当点运动到点时停止，点也随之停止．运动过程中，若以、、为顶点的三角形与相似，则运动时间为 s． 88．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程 题型一 认识一元二次方程 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义即可解答. 【详解】选项A，方程含有分式，选项A不是一元二次方程； 选项B， 方程中含有两个未知数，选项B不是一元二次方程； 选项C，符合一元二次方程的定义，选项C是一元二次方程； 选项D，原方程化简后为-4x+15=0，是一元一次方程，选项D不是一元二次方程. 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解决问题的关键. 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，是一元一次方程，本选项不符合题意； B、，是一元二次方程，本选项符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）下列方程中一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，当，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键． 4．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式叫做一元一次方程）依次进行判断即可求解． 【详解】、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、是一元二次方程，故此选项合题意； 、是一元一次方程，故此选项不符合题意； 、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 题型二 一元二次方程成立的条件 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若方程是一元二次方程，则m的值为 ； 【答案】-1 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）． 【详解】∵方程是一元二次方程， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：-1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）． 6．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a= . 【答案】-1 【分析】根据一元二次方程的定义即可得． 【详解】由一元二次方程的定义得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键． 7．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】m≠1 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可； 【详解】∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确分析判断是解题的关键． 题型三 一元二次方程各项系数 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．1， D．1， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数是1，一次项系数是， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，要注意任何一个一元二次方程经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断． 9．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，其中分别为：二次项系数、一次项系数、常数项，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：C． 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】由方程可知， ∴一次项系数为， 故选：． 题型四 配方法 11．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）用配方法解方程时，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选D． 12．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）用配方法解方程时，下列配方错误的是（    ）． A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】A 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此判断. 【详解】解：A. 化为，故本选项错误，符合题意； B. 化为，故本选项正确，不符合题意； C. 化为，故本选项正确，不符合题意； D. 化为，故本选项正确，不符合题意； 故选择：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 13．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）若将方程化成(，为常数)的形式，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值． 【详解】解： 配方得：， 即， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 14．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）方程的根是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，即可作出判断． 【详解】解： 即 ∴， ∴或， 解得：，， 故选：B． 题型五 解一元二次方程 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0 【答案】C 【分析】首先转化为一元二次方程的一般形式，然后利用因式分解法进行分解． 【详解】解：移项得，x2﹣2x＝0， 提公因式得x（x﹣2）＝0， x＝0或x﹣2＝0， x1＝0，x2＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是对方程因式分解转化成两个一元一次方程． 16．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，公式法、配方法．熟知这些解方程的方法是正确解题的关键． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解． 公式法先把方程化为的形式，然后计算出判别式，如果，再用求根公式求解即可． 配方法是把方程的左边配成的形式再开方即可. 【详解】因式分解法： 解： 或 或， 故答案为：B. 公式法： ， ， 或， 故答案为：B. 配方法： ∴或， 故答案为：B. 17．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 则， 或， 解得，， 故答案为：，． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 题型六 估算法 19．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察表格第二行中的数字，与15最接近时x的范围即为所求根的范围． 【详解】解：∵14.41＜15＜15.84， ∴一元二次方程x2+12x=15的一个根的范围为1.1＜x＜1.2． 故选：B． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 20．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：A． 21．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围为（    ） x A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据函数的图象与直线的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：函数的图象与直线的交点就是方程的根， 由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间，即． 故选：D． 题型七 根的判别式 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】根据根的判别式进行解答即可． 【详解】解：由题意，可知， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 23．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）一元二次方程根的判别式的值是（   ） A．33 B． C．17 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】∵，，， ∴． 故选：A． 24．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若，则关于x的一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先计算根的判别式的值可得，再利用即可判断，最后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：， 而， ，即， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 25．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：A、原方程整理得，，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意； B、方程整理得，，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意； C、，则方程没有实数根，所以该选项符合题意； D、方程整理为，，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意． 故选：C． 26．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程有实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵有实数根， ∴△=b−4ac=p−4q⩾0， ∵共有6种等可能的结果,满足关于x的方程x+px+q=0有实数根的有(1,−1),(2,−1),(2,1)共3种情况， ∴满足关于x的方程x+px+q=0有实数根的概率是： . 故选A. 【点睛】此题考查根的判别式，列表法与树状图法，解题关键在于利用判别式进行计算. 题型八 判别式与不等式 28．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的最大整数值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义以及根的情况与判别式的关系，解题的关键是根据一元二次方程的定义以及根的情况与判别式的关系可得且，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 解得：且， ∴k的最大整数值是， 故选C． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得： 故选：A 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．熟记相关结论即可． 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原方程变形为一般式，由方程无实数根，可得出，解之即可得出实数m的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有无实数根”是解题的关键． 31．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 故选：D． 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．且 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 题型九 判别式与不等式（二） 33．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，可得，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（     ）． A．-2 B．2 C．-2或2 D．0 【答案】A 【分析】根据题意可得m2﹣4=0，且m﹣2≠0，求解即可． 【详解】由题意得：m2﹣4=0，解得：m=±2． ∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣2． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A．m≠1 B．且m≠1 C．m≤5且m≠1 D．m为任意实数 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个实数根，二次项系数不为0，判别式大于等于0进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 又∵，， ∴m≤5且m≠1； 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式与根的个数之间的关系以及一元二次方程二次项系数不为0是解题的关键． 37．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是（   ） A．m≠0 B．m≠5 C．m≠1或m≠-1 D．m≠1且m≠-1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m2-1≠0，再解不等式即可． 【详解】∵是关于x的一元二次方程， ∴ 解得：m≠±1， 故选：D． 【点睛】考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 38．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则满足 . 【答案】且 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义即可求解. 【详解】根据题意有 ，解得且 故答案为且 【点睛】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键. 39．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，根据方程有实数根可以得到根的判别式大于等于0，再根据一元二次方程的定义得到，由此求出k的范围即可； 【详解】解：∵方程有实数根， ，且， 解得：且； 故答案为：且． 题型十 已知一根求参数 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2 【答案】A 【详解】∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解， ∴4﹣4m+4=0， ∴m=2． 故选A． 41．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 42．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（   ） A．−2 B．2 C．−4 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 43．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）若一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一个根为－1，则（　　） A．a+b+c=1 B．a－b+c=0 C．a+b+c=0 D．a－b+c=1 【答案】B 【分析】直接把x=-1代入方程即可． 【详解】解：把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 题型十一 已知一根求另一根 44．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）关于x的一元二次方程x2＋x－a＝0的一个根是2，则另一个根是（　　　） A．－1 B．－2 C．－3 D．2 【答案】C 【分析】设该一元二次方程的另一根为，则根据根与系数的关系得到，由此易求的值． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根为， 则， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 45．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　） A．1 B．﹣3 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设方程的另一个解为x1， 根据题意得：﹣1+x1=2， 解得：x1=3， 故选C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键． 46．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 47．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，解题的关键是正确的将方程的解代入确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， ， ， ， 故答案为：5． 题型十二 已知方程根求多项式 48．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若是一元二次方程的两个不同实数根，则代数式的值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据是一元二次方程的两个不同实数根得出，，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的两个不同实数根， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 49．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】B 【分析】根据是一元二次方程的一个解得到，整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个解， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，根据一元二次方程的解的定义得出是解此题的关键． 50．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）若是一元二次方程一个根，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】由是一元二次方程的一个根，可得，然后用整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故答案为：2027． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 51．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若m、n是方程x2+6x﹣5=0的两根，则3m+3n﹣2mn= ． 【答案】﹣8 【详解】试题解析：∵m、n是方程x2+6x﹣5=0的两根， ∴m+n=-6，mn=-5， ∴3m+3n﹣2mn=3(m+n)-2mn=3×(-6)-2×(-5)=-18+10=-8. 52．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了方程的根，根与系数关系定理，根据题意，，，，化简代入计算即可． 【详解】∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十三 已知方程根与等腰三角形 53．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（  ） A．8 B．9 C．8或9 D．12 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时， 此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根， ∴△＝36−4k＝0， ∴k＝9， 此时两腰长为3， ∵2＋3＞3， ∴k＝9满足题意， ②当等腰三角形的腰长为2时， 此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根， 代入得4−12＋k＝0， ∴k＝8， ∴x2−6x＋8＝0 求出另外一根为：x＝4， ∵2＋2＝4， ∴不能组成三角形， 综上所述，k＝9， 故选∶B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质． 54．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．2或4 【答案】A 【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解：x2－6x+8=0 （x－4）（x－2）=0 解得：x=4或x=2， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键． 55．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定 【答案】B 【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：方程变形得：， 解得：，， 当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去； 当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论． 56．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ）． A．8 B．10 C．8或10 D．6或10 【答案】B 【分析】先求得方程的两个根，再根据等腰三角形的条件判断即可． 【详解】∵关于的方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程变形为， 解得， ∵方程的两个根恰好是等腰的两条边长， ∴其三边可能是2，2，4或4，4，2， ∵2+2=4，故三角形不存在， 故三角形的周长为10， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的解法，等腰三角形的分类，熟练解一元二次方程是解题的关键． 57．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若直角三角形的条两直角边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（   ） A．6 B．12 C． D．6或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，先解出方程的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴或． ①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是； ②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是． 故选：D． 58．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】12 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算该等腰三角形的周长． 【详解】解：由得到， ， ∴或， ∴，， ∵， ∴等腰三角形只能腰为5，底边为2， ∴该等腰三角形的周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义． 题型十四 根与系数的关系 59．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知实数a，b是方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再利用通分把变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴a+b=6，ab=4， ∴==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键． 60．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 由根与系数的关系可直接求得的值． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ． 故答案为：． 61．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 【答案】﹣1或﹣3． 【详解】解：∵这个方程的两个实数根为、， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴，， ∴m=﹣1或﹣3， 故答案为﹣1或﹣3． 62．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ． 【答案】2003 【分析】利用根与系数的关系，求出α2+2α=2005，α+β=-2，即可解决． 【详解】解：x2+2x﹣2005=0，由题得α2+2α=2005，根据根与系数关系得，α+β=-2， 所以α2+3α+β=α2+2α+α+β=2005-2=2003 故答案为：2003． 【点睛】此题主要考查了根与系数的综合应用，题目非常典型，是中考中一个热点问题． 63．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的两根分别为和，则为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据“一元二次方程的两根分别为和”，结合根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故选C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 64．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出答案即可． 【详解】解：依题意，得， ． 故选：B． 题型十五 一元二次方程应用---分支问题 65．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故每个支干长出6个小分支， 故选A． 66．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干．每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是91个，根据题意可列出方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是91个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故选：B． 67．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）我们在学习一元二次方程应用时，课后习题有这样一问题，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据“主干、支干和小分支的总数是91”列出方程即可．理解题意、明确主干、支干和小分支的关系是解答本题的关键． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：C． 68．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选C． 题型十六 一元二次方程应用---单循环问题 69．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）2023年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍x支，共比赛了210场，则根据题意可列方程： ． 【答案】 【分析】设参赛队伍有支，根据每两队之间都进行两场比赛，共要比赛210场，可列出方程． 【详解】解：设队伍有支， 根据题意得． 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关系列方程求解是解决问题的关键． 题型十七 一元二次方程应用---数字问题 70．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是 ． 【答案】53或35 【分析】设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（8-x），根据所得的新两位数与原来的两位数的乘积为1855，可列出方程求解． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（8-x），依题意得： （10x+8-x）〔10（8-x）+x〕=1855， 解这个方程得x1=3，x2=5， 当x=3时，8-x=5， 当x=5时，8-x=3， ∴原来的两位数是35或53． 故答案为：35或53． 【点睛】本题考查理解题意能力，可看出本题是数字问题，数字问题关键是设法，设个位上的数字或十位上的数字，然后根据题目所给的条件列方程求解． 题型十八 一元二次方程应用---增长率问题 71．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）某种产品计划在两年内成本降低36%，问平均每年降低百分之几？可设平均每年降低百分率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．本题把成本看作“1”，可得两年后的成本可表示为或，从而可得答案. 【详解】解：设平均每年降低百分率为，. 故选C 题型十九 一元二次方程应用---增长率问题 72．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）某公司前年缴税40万，今年缴税万，设该公司这两年缴税的平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据两次增长，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 73．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）为执行“均衡教育”政策，某区年投入教育经费万元，预计到年底三年累计投入亿元．若投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投入教育经费的年平均增长百分率为，根据年投入教育经费万元，到年底三年累计投入亿元，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设投入教育经费的年平均增长百分率为，根据题意得， , 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 74．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，则平均每次降价的百分数为 ． 【答案】20% 【分析】设平均每次降价率为x，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-x）=128，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设平均每次降价率为x， 则第一次降价后的价格为200×（1-x），两次连续降价后售价后的价格为：200×（1-x）×（1-x）， 则列出的方程是200×（1-x）2=128， 解得：x=20%．即平均每次的降价率为20%．（不符合题意的根舍去） 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 75．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某医药厂两年前生产某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产该种药品的成本是3000元．设该种药品生产成本的年平均下降率为x，列出方程 ． 【答案】 【分析】两年前的成本是 元，成本下降率设为 ，则一年前的成本是 ，即成本减去成本所降的价格（成本所降价格是成本乘以下降率），以此类推，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得，设该种药品生产成本的年平均下降率为，    如图所示的时间结点，则一年前的价格是 ，现在的价格是，化简得， ， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用．销售中成本乘以降价率是成本所降的价格，所以理解和掌握“上一年的成本减去成本所降价格是下一年的成本”是解题的关键． 题型二十 一元二次方程应用---面积问题 76．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设宽为x步，则长为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 77．（23-24九年级上·辽宁本溪·期中）如图所示，在长为100米宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路剩余部分进行绿化要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】设道路的宽为米，然后把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有 ， 解得（舍去），； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 78．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 79．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 【答案】1 【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得， 整理，得， 解得， ． （不合题意，舍去）， ． 即：小道进出口的宽度应为1米． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 80．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划分出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽为xm，则可列方程为 ．    【答案】（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 【分析】根据剩余空白区域的面积＝矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30， 故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 81．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，矩形绿地的长为，宽为，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，则绿地的长、宽增加的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设绿地的长、宽增加的长度为，由题意：将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设绿地的长、宽增加的长度各为． 由题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：绿地的长、宽增加的长度各为． 故答案为：2 82．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），若纸张是长为，宽为的长方形，四周页边距均设置为，并使打印区域的面积占纸张面积的，则依据题意可列方程 ．    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意得出打印区域长为，宽为，根据矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设四周页边距为，则打印区域长为，宽为， 可列方程为：， 故答案为：． 83．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，则所截去小正方形的边长是 ． 【答案】2 【分析】设所截去小正方形的边长是，再根据“留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的”建立方程，然后解方程即可得． 【详解】设所截去小正方形的边长是， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则所截去小正方形的边长是， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 题型二十一 一元二次方程应用---围墙问题 84．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为m，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边的长为m， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 85．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设米．则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可求长方形的长为（米），由长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，长方形的长为：（米）， 则可列方程为：； 故选：D． 86．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为28米，如果该矩形花园的面积为360平方米，则的长为 ．    【答案】15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用和一元一次不等式组的应用，要注意限制条件墙的最大长度和． 根据围栏为54米，宽为x米，表示出矩形长为米，根据矩形面积列出方程求解，再结合题目限制条件墙的最大长度和，选出合适的x值，即可得出答案． 【详解】解：∵围栏为54米，宽为x米， ∴长为米， ∴， 解得：，， ∵，围墙长28米， ∴， ∴， ∴， ∴的长为15米， 故答案为：15． 题型二十二 一元二次方程应用---动点问题 87．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动，动点从点开始沿着边点以的速度移动．若、两点同时开始运动，当点运动到点时停止，点也随之停止．运动过程中，若以、、为顶点的三角形与相似，则运动时间为 s． 【答案】或 【分析】设点运动的时间为，则，，，再分两种情况求值，当时，，可列方程；当时，，可列方程，解方程分别求出相应的值即可． 【详解】设点运动的时间为，则，， ， 当时，， ， ， ； ， 当时，， ， ， ； 综上所述，运动时间为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，动点问题的求解，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示出相似三角形的对应边的长度是解本题的关键． 88．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形． 【答案】5 【分析】先由矩形的性质确定BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm， 设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形， ∵四边形ABPQ是矩形 ∴AQ=BP ∴3x=20-x ∴x=5 故答案为：5 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$