第四单元运算律（单元讲义）-2024-2025学年四年级数学上册北师大版

第四单元运算律（单元讲义） 四年级数学上册北师大版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 加法交换律和结合律 1．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为： a+b=b+a 2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再和第三个数相加，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变。用字母表示为： (a+b)+c=a+(b+c) 3.在连加计算中，当某些加数相加可以凑成整十、整百、整千的数时，运用加法运算律可使计算简便。 口诀：连加计算仔细看，考虑加数是关键。整十、整百与整千，结合起来更简单。交换定律记心间，交换位置和不变。结合定律应用广，加数凑整更简便。 4.减法的运算性质 一个数连续减去两个数等于这个数减去这两个减数的和。用字母表示： a-b-c=a-(b+c) 减法的运算性质 一个数减去两个数的和等于这个数连续减去和里每个加数。 5.乘法的交换律和结合律 （1）．乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。用字母表示为： a×b=b×a （2）．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。用字母表示为： (a×b)×c=a×(b×c) 6.应用乘法运算律进行简便计算 在连乘计算中，当某两个乘数的积正好是整十、整百、整千的数时，运用乘法运算律可使计算简便。 运用分解的方法，将某个乘数拆分成几个数相乘的形式，使其中的乘数与其他乘数的乘积“凑整”。 乘除的规律：先乘后除等于先除后乘。 除法的运算性质：（1）一个数连续除以两个数（每次都能除尽）等于这个数除以这两个除数的积。 除法的运算性质：（2）一个数除以两个数的积等于这个数连续除以积里每个乘数。 7.乘法分配律 乘法分配律特别要注意“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加”中的分别两个字。 注意：（1）一定要括号外的数分别乘括号里的两个数，再把积相加。乘法对于减法的分配律是括号外的数分别乘括号里的两个数，再把积相减。 （2）两个积中相同的因数只能写一次） 精讲例题 【例题一】．156＋488＋344＝156＋344＋488运用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 【答案】．A 【分析】加法交换律：指两个加数相加，交换加数的位置，和不变。加法结合律：指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 【详解】156＋488＋344＝156＋344＋488，这里运用了加法交换律。 故答案为：A 【点睛】熟练掌握加法交换律是解答此题的关键。 【例题二】．根据下面的信息，求一共有多少本书，需要用到的条件是（    ），并列式解答。 ①放到25个书架上   ②每层有3个格子   ③每个书架有4层   ④每层有87本 【答案】．①③④；8700本 【分析】书架每层放书本数乘每个书架层数，可以算出每个书架能放书多少本。每个书架放书本数乘书架个数，即可算出一共有多少本书。 【详解】求一共有多少本书，需要用到的条件是①③④。 87×4×25 ＝87×（4×25） ＝87×100 ＝8700（本） 答：一共有8700本书。 【例题三】笑笑在看共306页的《中华上下五千年》，不小心把书合起来了，但她记得刚读完的连续两页之和是97。 （1）笑笑刚读完的两页页码分别是多少？剩下多少页没读？ （2）如果笑笑每天阅读30页，剩下的7天能读完吗？如果不能，请你给笑笑提出能7天内阅读完的建议。 【答案】．（1）48页、49页；257页。 （2）不能；建议每天读37页 【分析】（1）根据题意可知，两页之和是97，两页之差等于1，97加1的和除以2等于后面一页的页码，后面一页的页码减1等于前面一页的页码；总页数减后面一页的页码数等于剩下没读的页数。 （2）每天阅读的页数乘剩下的天数等于剩下天数能读的页数，与剩下的页数进行比较即可知道能否读完；用剩下的页数除以7，如果没有余数，商为每天阅读的页数，如果有余数，商加1为每天阅读的天数；据此即可解答。 【详解】（97＋1）÷2 ＝98÷2 ＝49（页） 49－1＝48（页） 306－49＝257（页） 答：笑笑刚读完的两页页码分别48页、49页，剩下257页没读。 （2）30×7＝210（页） 210＜257，不能读完。 257÷7＝36（页）……5（页） 36＋1＝37（页），建议每天读37页。 答：剩下的7天不能读完；建议每天读37页。 【点睛】本题主要考查学生对和差问题及整数乘除法计算方法的掌握。 专项练习 一、选择题 1．计算下面各题时，不能用到乘法分配律的是（    ）。 A．437×101 B．45×（200＋5） C．25×（7×4） 2．一块长方形草莓地，长104米，宽24米，现在要将这块草莓地扩大，长不变，宽扩大到54米，现在草莓地的面积比原来增加了（    ）平方米。 A．104×30 B．104×36 C．106×36 D．106×38 3．李师傅和王师傅加工1200个零件，李师傅每小时加工80个，王师傅每小时加工120个。 求两人合干多少小时还剩下400个没做完？正确的列式是（    ）。 A．1200－（80＋120）×5 B．（80＋120）×3 C．（1200－400）÷（80＋120） 4．下面与101×48计算结果相同的是（    ）。 A．100×48＋1 B．100×40＋8×1 C．100×48＋48 D．100＋48＋100 5．8×79×125＝79×（8×125）运用了（    ）。 A．乘法交换律和结合律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 6．用简便方法计算359－98是（    ）。 A．359－100－2 B．359－（100＋2） C．359－100＋2 二、填空题 7．结合图说一说下面算式表示的意义。 （9＋2）×2表示( )，9×4表示( )。 8．乘法分配律反过来运用，可以使计算简便。如在计算13×25＋13×75时，可以变换成( )，先计算( )法，得到( )，再与( )相乘，乘法分配律用字母表示为( )。 9．计算21×（18＋12）÷6，先算( )法，再算( )法，最后算( )法，得数是( )。 10．如果要把算式765－18×6÷9的运算顺序改成先算乘法，再算减法，最后算除法，那么该算式应改为( )。 11．在计算72×125时，因为有乘数125，所以可以把72拆分成( )×( )。 12．因为4×（3×7）＝4×3×7，所以奇思在计算4×（◯＋△）时，也直接去掉了小括号，写成了4×◯＋△，他的做法对吗？结合具体的例子说一说你的判断和理由：( )。 13．同学们站成方阵做操，小刚的前面有4人，后面没有人，左边有1人，右边有3人，这个方阵有( )人。 14．今年叔叔比小宇大18岁，明年叔叔的年龄是小宇的3倍，今年小宇( )岁。 15．根据28×230＝6440写出下面各题的积． 280×23＝( )    14×230＝( ) 16．学校四年级社团人数统计结果如图。已知篮球组和书法组人数相等，将表格填写完整。 总人数 篮球组 书法组 音乐组 100人 ( )人 ( )人 36人 三、判断题 17．两个因数的积是7200，其中一个因数除以2，另一个因数不变，积就变成3600。( ) 18．加法交换律可以对加法进行简便运算。( ) 19．102×98=（100+2）×98=100×98+2×98这里运用了乘法的分配律．( ) 20．运用乘法交换律进行计算时，计算结果变了。( ) 21．计算84×25时，把84拆成21×4，再应用乘法结合律进行简便计算。( ) 22．先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这是加法交换律。 ( ) 四、计算题 23．直接写出得数 (1)2.65×0.1÷0.01=________ (2)5.6×10.1=________ (3)0.5×2÷0.5×2=________ 24．用简便方法计算。                                        五、解答题 25．甲乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖65米，乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天完成，这条水渠一共长多少米？ 26．长庆小学开展义务植树，五年级有137人，六年级有133人。如果每人植树26棵，两个年级的学生一共可以植树多少棵？ 27．一辆大货车5小时行驶450千米，一辆小汽车4小时行驶400千米，小汽车比大货车每小时多行驶多少千米？ 28．为元旦联欢会准备奖品，李老师买了下面的洋娃娃和喜洋洋两种玩具各25个。买洋娃娃比买喜洋洋多花多少钱？（用两种方法解） 29．学校买来65盒彩色粉笔和125盒白粉笔，每盒40枝，一共有多少枝粉笔？（用两种方法解答） 30．元旦假期，丁同到乡下外婆家的养鸡场帮忙，如果把生产的鸡蛋按25千克装箱，装好36箱后还剩20千克，这一天养鸡场共产多少千克鸡蛋？ 31．某商店按每件32元的批发价购进一批羊毛衫，零售是每件售价40元，当售到只剩下50件时，除所有成本以外已获利1600元，这批羊毛衫共有多少件？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 32 答案 C A C C A C A 1．C 【分析】算式同时满足以下2个条件才能利用乘法分配律简算：（1）有一个因数是相同的；（2）另外两个因数凑成整十、整百、整千等。或者两个因数相乘，其中一个因数可拆成一位数与整十、整百、整千等。据此解答。 【详解】A．437×101 ＝437×（100＋1） ＝437×100＋437×1 ＝43700＋437 ＝44137 B．45×（200＋5） ＝45×200＋45×5 ＝9000＋225 ＝9225 C．25×（7×4） ＝25×4×7 ＝100×7 ＝700 故答案为：C 【点睛】本题考查学生对乘法分配律的认识和掌握。 2．A 【分析】用104乘24，求出原来草莓地的面积；用104乘54，求出现在草莓地的面积；再相减求差即可解答；根据乘法分配律可知：可以先算54－24，再用差乘104，据此列式解答。 【详解】104×54－104×24 ＝104×（54－24） ＝104×30 ＝3120（平方米） 则现在草莓地的面积比原来增加了（104×30）平方米。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式以及乘法分配律的掌握与灵活运用。 3．C 【分析】先用1200减去400求出两人合干完成的工作量，再除以两人的每小时加工零件个数的和，即等于两人合干的工作时间。 【详解】根据分析可知，正确的列式是（1200－400）÷（80＋120）。 故答案为：C。 【点睛】本题主要考查学生对工作量、工作效率和工作时间三者关系的掌握。 4．C 【分析】根据乘法分配律，计算101×48可以把101分成100＋1，用100和1分别乘48，据此解答。 【详解】101×48 ＝（100＋1）×48 ＝100×48＋48×1 ＝100×48＋48 故答案选：C。 【点睛】本题主要考查乘法分配律的灵活运用。 5．A 【分析】根据题干可知，乘数8和乘数79的位置互换了，所以首先运用了乘法交换律；再把（8×125）这后两个数先乘，积不变，符合乘法结合律，据此即可选择。 【详解】8×79×125 ＝79×8×125 ＝79×（8×125） ＝79×1000 ＝79000 所以，8×79×125＝79×（8×125）运用了乘法交换律和乘法结合律。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查学生对乘法运算定律的特点的理解及运用。 6．C 【分析】将98看成100－2，先用359减去100，再加上2，进行简算。 【详解】359－98＝261 A. 359－100－2＝257 B. 359－（100＋2）＝359－102＝257 C. 359－100＋2＝261 故答案为：C 【点睛】计算时应根据数字与运算符合的特点，选择合适的方法进行简算。 7． 2个B的面积加上边长为2厘米正方形的面积和 2个B的面积 【分析】（9＋2）×2＝9×2＋2×2，表示2个B的面积加上边长为2厘米正方形的面积；9×4＝9×2×2，表示2个B的面积。 【详解】根据分析可知，（9＋2）×2表示2个B的面积加上边长为2厘米正方形的面积和；9×4表示2个B的面积。 【点睛】本题主要考查学生对整数乘法分配和结合律的掌握和灵活运用。 8． 13×（25＋75） 加 100 13 a×（b＋c）＝a×b＋a×c 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；据此解答。 【详解】乘法分配律反过来运用，可以使计算简便。如在计算13×25＋13×75时，可以变换成13×（25＋75），先计算加法，得到100，再与13相乘，乘法分配律用字母表示为a×（b＋c）＝a×b＋a×c。 【点睛】熟练掌握乘法分配律的定义是解答此题的关键。 9． 加 乘 除 105 【分析】根据整数的四则混合运算的计算法则可得，有小括号的，先计算括号里的加法，再按照从左到右的顺序计算即可。 【详解】21×（18＋12）÷6 ＝21×30÷6 ＝630÷6 ＝105 则计算21×（18＋12）÷6，先算加法，再算乘法，最后计算除法。 【点睛】此题考查了混合运算的应用，关键是明确计算法则即可。 10．（765－18×6）÷9 【分析】根据题意，先算乘法，再算减法，最后算除法，就要把765－18×6加上小括号，先算括号里面的，括号里面有乘法又有减法，应先算乘法再算减法，接着算括号外面的除法，据此解答。 【详解】据分析得，原来的算式变为：（765－18×6）÷9。 【点睛】熟练掌握有括号的混合运算的运算顺序是解答本题的关键。 11． 9 8 【分析】根据乘法结合律，计算72×125时，将72看成两个数的积，先将其中一个数与125相乘，再用这个积乘另一个数。因为8×125＝1000，所以将72看成9×8，再进行简算。 【详解】72×125 ＝9×（8×125） ＝9×1000 ＝9000 可以把72拆分成9×8。 【点睛】本题考查乘法结合律的应用，熟记常见的积为整百整千数的算式，例如25×4＝100，125×8＝1000。 12．不对； 理由： 4×（3＋2）＝4×5＝20， 4×3＋2＝12＋2＝14，结果和按运算顺序计算出来的结果不同。（答案不唯一） 【分析】 4×（3×7）这个算式中括号里和括号是同级连乘运算，无论先算哪两个结果都不会改变，所以可以写成4×（3×7）＝4×3×7，而4×（◯＋△）括号里和外面属于不同级别运算，不能直接把括号去掉，要去括号需要根据乘法分配律写成4×◯＋4×△形式。据此解答即可。 【详解】他的做法不对；理由： 4×（3＋2）按照运算顺序计算是4×（3＋2）＝4×5＝20，如果直接去掉括号就是4×3＋2＝12＋2＝14，这个结果和按运算顺序计算出来的结果不同，所以他的做法不对。（答案不唯一） 13．25 【分析】小刚的前面有4人，后面没有人，可知这个方阵中一列有（4＋1）人。小刚的左边有1人，右边有3人，可知这个方阵中一行有（1＋3＋1）人。用一列人数乘一行人数，即可求出这个方阵总人数。 【详解】（4＋1）×（1＋3＋1） ＝5×5 ＝25（人） 这个方阵有25人。 14．8 【分析】今年叔叔比小宇大18岁，说明叔叔与小宇的年龄差是18岁；明年叔叔的年龄是小宇的3倍，那么明年叔叔比小宇大的2倍是18，用18÷2求出明年小宇的年龄，今年小宇的年龄＝小宇明年的年龄－1。据此解答。 【详解】今年小宇的年龄是： 18÷（3－1）－1 ＝18÷2－1 ＝9－1 ＝8（岁） 【点睛】本题考查的是差倍问题的掌握：已知大、小两个数的差和它们的倍数关系，小数＝1倍数＝差÷倍数的差，大数＝几倍数＝小数×倍数＝小数＋差。 15． 6440 3220 【详解】略 16． 32 32 【分析】根据统计表中的数据，用总人数减去音乐组的人数，求出篮球组和书法组的人数和，再除以2即可解答，然后根据四则运算的顺序，先算有括号里面的，再算乘除，最后算加减。 【详解】篮球组和书法组的人数： （100－36）÷2 ＝64÷2 ＝32（人） 填表如下： 总人数 篮球组 书法组 音乐组 100人 32人 32人 36人 【点睛】关键是读懂统计图或者统计表，然后根据四则运算的顺序，根据基整数减法、除法的意义解答即可。 17．√ 【分析】积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 【详解】7200÷2＝3600 两个因数的积是7200，其中一个因数除以2，另一个因数不变，积就变成3600，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查在乘法算式中，因数与积的变化规律的应用。 18．√ 【详解】根据加法交换律，对加法进行简便运算，可以交换两个加数的位置，然后和第三个数一起再利用加法结合律进行简便计算。 故答案为：√ 19．正确 【详解】略 20．× 【分析】根据乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，由此解答。 【详解】运用乘法交换律进行计算时，计算结果不变；如：50×4＝4×50； 故答案为：× 【点睛】本题主要考查乘法交换律的认识，要熟练掌握此类基础知识。 21．√ 【详解】略 22．× 【分析】根据加法结合律的意义：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。据此解答。 【详解】三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这是加法结合律，不是加法交换律。 故答案为：× 【点睛】本题考查加法运算律的意义，要注意区分交换律和结合律。 23．（1）26.5 （2）56.56 （3）4 【详解】解：2.65×0.1÷0.01=26.5 5.6×10.1=56.56 0.5×2÷0.5×2=4 故答案为26.5，56.56，4. 【分析】本题直接根据小数四则混合运算及运算定律在小数中的应用进行解答即可． 24．700；1100；3800 100000；4700；3296 【分析】（1）根据加法交换律和加法结合律简算。 （2）根据乘法分配律简算、和。 （3）根据乘法交换律简算。 （4）根据乘法交换律和乘法结合律简算。 【详解】 25．1000米 【分析】65减5等于乙队每天挖的米数，再加65等于两队合挖一天挖的米数，再乘8即等于8天一共挖的米数，即水渠的长度。 【详解】（65－5＋65）×8 ＝125×8 ＝1000（米） 答：这条水渠一共长1000米。 【点睛】先求两队合挖一天挖的米数，再作进一步解答。 26．7020棵 【分析】先算出两个年级的总人数，再乘26，就是他们一共可以植树的棵树。 【详解】（137＋133）×26 ＝270×26 ＝7020（棵） 答：两个年级的学生一共可以植树7020棵。 【点睛】此题主要考查混合运算，根据题意正确计算即可。 27．10千米 【分析】根据题意可得，一辆大货车5小时行驶450千米，一辆小汽车4小时行驶400千米，根据公式“速度＝路程÷时间”分别求出小汽车和大货车的速度，据此解答即可。 【详解】400÷4－450÷5 ＝100－90 ＝10（千米） 答：小汽车比大货车每小时多行驶10千米。 【点睛】此题考查了整数的四则混合运算的应用，关键是明确：速度＝路程÷时间即可。 28．100元 【分析】方法一：先用减法求出每个洋娃娃比每个喜洋洋多几元，再根据总价＝单价×数量即可求出买洋娃娃比买喜洋洋多花了几元； 方法二：先根据总价＝数量×单价，分别求出买25个洋娃娃和喜洋洋各需多少钱，再相减即可求出买洋娃娃比买喜洋洋多花了几元。 【详解】方法一： （22－18）×25 ＝4×25 ＝100（元） 方法二： 22×25－18×25 ＝550－450 ＝100（元） 答：买洋娃娃比买喜洋洋多花100元。 【点睛】本题考查的是对数量关系总价＝单价×数量的运用，从不同的角度出发，得到不同的方法。 29．7600枝 【详解】方法一：（65+125）×40=7600（枝）   方法二：65×40+125×40=7600（枝） 30．920千克 【分析】由题意可得，先算出36箱鸡蛋的重量：25×36（千克）；再加上20千克即一天养鸡场共产的鸡蛋重量，据此解答即可。 【详解】25×36＋20 ＝900＋20 ＝920（千克） 答：这一天养鸡场共产920千克鸡蛋。 【点睛】此题考查了混合运算的应用，关键是明确四则混合运算的计算方法即可。 31．450件 【分析】售价乘50等于剩下50件卖出的收入，再加1600元等于全部售出的获利，再除以每件的售价与进价价差即可解答。 【详解】（50×40＋1600）÷（40－32） ＝（2000＋1600）÷8 ＝3600÷8 ＝450（元） 答：这批羊毛衫共有450件。 【点睛】先计算全部售出后可以获利多少元，再作进一步解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$