专题2 不等式的性质、基本不等式题型训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题2 不等式的性质、基本不等式 基础知识： 1. 重要不等式 : ,当且仅当 时取 “=”号. 2. 基本不等式 ,当且仅当 时取 “=”号. 【一正,二定,三相等】一正 (各项均为正), 二定 (积或和为定值), 三相等(等号能否取得) . 3. 已知 ,则 ① 如果积 是定值 ,那么当且仅当 时, 有最小值是 . ② 如果和 是定值 ,那么当且仅当 时, 有最大值是 . 总结：积定和最小，和定积最大 4. 不等式链 或 基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 4、基本不等式常见模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型1 不等式的性质及应用 1．设，，，，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 2．下列不等式中成立的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 3．已知,则( ) A. B. C. D. 4．已知,则的取值范围为________. 题型2 直接利用基本不等式求最值 5．已知，且，则的最小值是______. 6．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 7． 若，，则的最小值为 ． 题型3 配凑法求最值 8．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 9．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型4 利用“1”的代换求最值 11．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 12． 已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 13．若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 14．已知，，且，则的最小值是 ． 15．若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．已知正实数x，y满足，则的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 19．设为正数，且，则的最小值为 20.已知，，且，则的最大值为 . 21．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 思考题.已知，，则的最小值为 . 题型5 分式型（换元法）求最值 23．求(>0)的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 24．若，则有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值2． 25.求(>1)的最大值为 ． 题型6 有和有积（消元法）求最值 26．已知正数x、y满足，则的最大值为________. 27．已知，,则的最小值为_____________. 28．若实数,满足,则的最大值是_____. 29．已知，，且满足，则的最大值为___________. 30．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．31．已知正实数a,b满足,则的最小值是__________. 32．已知，，且，则的最小值是 . 题型7 恒成立问题 33． 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为 34.（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 35.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .1- 36．已知且恒成立，实数的最大值是 . 专题2 不等式的性质、基本不等式参考答案 题型1 不等式的性质及应用 1．设，，，，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：由，有，即， 由，有，即， 所以， 2．下列不等式中成立的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 答案：B 解析：A.若,则错误,如时,,所以该选项错误; B.若,则,,所以该选项正确; C.若,则,,所以该选项错误; D.若,则,,所以该选项错误. 3．已知,则( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：,,. 又,,,. 4． 已知,则的取值范围为________. 答案： 解析：由题意可得, 又 ,由不等式的同向可加性可得. 题型2 直接利用基本不等式求最值 5． 已知，且，则的最小值是______. 答案：6 解析：由题意，得，则， （当且仅当时取等号，即时取等号），故的最小值是6. 6．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 答案：D 解析：且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 7.若，，则的最小值为 ． 答案 解析：由，得，则，即，当且仅当时取等号， 所以当时，的最小值为. 题型3 配凑法求最值 8． 已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 答案B 解析：，当且仅当，即取得等号，满足题意. 9．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 答案B 解析：实数，， 当且仅当，即时等号成立，函数的最小值为6. 10．若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 答案D 解析 ， 当且仅当，即时，等号成立. 题型4 利用“1”的代换求最值 11．若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 答案B 解析：由正数，满足，得， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为． 12.已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 答案C 解析：因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号，最小值为4. 13．若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 答案A 解析：因为，可得，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值是. 14．已知，，且，则的最小值是 ． 答案 解析：由，得，因为，，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是． 15．若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析：，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立，. 16．已知正实数x，y满足，则的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 答案 B 解析：易知，则 ，当且仅当，即时取得等号. 17．已知，且，则的最小值为（    ） B． B． C． D． 答案B 解析：由，得， 所以， 当且仅当时取等号，最小值为. 18．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 答案B 解析：因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 19． 设为正数，且，则的最小值为 . 答案 解析：由题意，， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以，即的最小值为. 20.已知，，且，则的最大值为 . 答案 解析：，由，故， 则 ， 当且仅当，即、时，等号成立， 则. 21．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 答案D 解析：，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 22．已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 答案A 解析：， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5. 思考题 已知，，则的最小值为 . 答案12 解析：令，则，且，所以． 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立． 题型5 分式型（换元法）求最值 23．求(>0)的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 答案D 解析：当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时最小值为. 24．若，则有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值． 答案D 解析：因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立，所以有最大值. 25. 求在上的最大值为 ． 答案 解析：令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立．所以最大值为． 题型6 有和有积（消元法）求最值 26．已知正数x、y满足，则的最大值为________. 答案： 解析：因为且，所以，即，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为. 27．已知，,则的最小值为_____________. 答案：6 解析：由已知得，当且仅当，即时取等号.即， 令，则且，得，即的最小值为6. 28．若实数,满足,则的最大值是_____. 答案： 解析：由,得,即, 当且仅当时等号成立,所以, 故,所以的最大值为. 29．已知，，且满足，则的最大值为___________. 答案：2 解析：由，得，由基本不等式，得，得，所以，当且仅当时取等号，联立得，.故的最大值为2 30．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 答案A 解析：因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 31．已知正实数a,b满足,则的最小值是__________. 答案：9 解析：正实数a,b满足, ,即, ≥, 当且仅当,即,时取等号,故的最小值是9. 32． 已知，，且，则的最小值是 . 答案7 解析：方法一：因为，故，解得， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 题型7 恒成立问题 33．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为 答案 解析：因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 34.（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 答案ACD 解析：因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 35.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 答案 解析：因为不等式恒成立，则, 因为,所以， 当且仅当取等号，所以. 36． 已知且恒成立，实数的最大值是 . 答案 解析：由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$