21.2 解一元二次方程 讲义-2024-2025学年人教版九年级数学上册

21.2解一元二次方程讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 典例分析 1．解下列方程： （1）4x2＝3x； （2）x2+5x﹣2＝0． 【解答】解：（1）4x2＝3x， 4x2﹣3x＝0， x（4x﹣3）＝0， ∴x＝0或4x﹣3＝0， x1＝0，； （2）x2+5x﹣2＝0， ∵Δ＝52﹣4×（﹣2）＝33＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即，． 2．试判断关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0根的情况． 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m） ＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m ＝1＞0， ∴关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个不相等的实数根． 3．已知关于x的方程x2+kx﹣6＝0有两个实数根x1，x2，其中x1＝2，求另一个根x2和k的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得2+x2＝﹣k，2x2＝﹣6， 解得x2＝﹣3，k＝1， 即另一个根x2＝﹣3，k的值为1． 4．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0 有两个不相等的实数根， ∴m+1≠0且Δ＞0． ∵Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝4（2m+3）， ∴2m+3＞0． 解得 m＞． ∴m的取值范围是 m＞且m≠﹣1． （2）在m＞且m≠﹣1的范围内，最小奇数m为1． 此时，方程化为x2+x﹣1＝0． ∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴． ∴方程的根为 ，． 精选好题 一、单选题 1．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A． B．9 C． D．36 2．关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定根的情况 3．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 4．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 6．用配方法解一元二次方程，步骤如下：①，②，③，④即，．其中开始错误的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 9．方程的解为 ． 10．将一元二次方程配方得 ． 11．已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 12．设是一元二次方程的两个根，则 ． 13．在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 14．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数 ． 15．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 16．有两个关于的方程：和：，其中，下面四个结论中，错误的有 （填序号） ①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根； ②若方程两根符号相同，则方程的两根符号也相同； ③若是方程的一个根，则是方程的一个根； ④若方程、有一个相等的实数根，则这个实数根必定是． 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中满足． 18．解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)． 19．列方程解决问题：一个三角形的三边长为3个连续的正整数，若这个三角形为直角三角形，求此三角形的三条边长． 20．把方程配方，得到． (1)求常数与的值； (2)求出此方程的解． 21．若直线分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，轴，B为垂足，且． (1)求点B和点P的坐标； (2)点D是直线上一点，是直角三角形，求点D的坐标； (3)y轴上是否存在点Q，以Q、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B C B C B C 1．A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题根据求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先整理确定公因式，再提出公因式，求出解即可． 【详解】解：， 整理，得， 因式分解，得， 即或， ∴，． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵的两根为， ∴．， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先两边乘以4，再开方，移项，合并同类项得出解并判断即可． 【详解】解：， 两边乘以4，得， 开方，得， 即， ∴． 其中开始错误得步骤是③． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，根据一元二次方程的解法--配方法的过程，移项、配方(等式左右两边加上一次项系数一半的平方)、再结合完全平方公式将式子合并起来，即可解题． 【详解】解： ． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且， 故选C． 9．，， 【分析】本题主要考查了解方程，先分解因式，变为，然后再解方程或或即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或或， 解得：，，． 故答案为：，，． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，先移项，得，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，，最后配成完全平方公式，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴先移项，得 则 ∴ 故答案为： 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，将代入原方程求出k值是解题的关键． 将代入原方程求出k值，再根据根与系数的关系结合方程的一根为1即可得出结论． 【详解】将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 设方程的另一个根为， 则，解得， 方程的另一个根是． 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，根据题意得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查实数的运算，理解新定义是解题的关键．根据题意得到，从而解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， ， 解得． 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分类讨论：①当时，解方程即可；当时，，解方程可得答案. 【详解】解：当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得， 故答案为：或． 15．3 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的关系等知识．先通分计算括号里的，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，最后代值求解即可． 【详解】解： ∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴原式． 故答案为：3． 16．④ 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系∶方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义． 根据一元二次方程根的判别式，即可判断①；根据一元二次方程根于系数的关系，即可判断②；根据5是方程的一个根，得出，则是方程的一个根，即可判断③；设相同的根为，则，推出．根据，，，推出，即可判断④． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ， 方程也有两个不相等的实数根，①结论正确； 方程的两根符号异号， ， ， 方程的两根符号也异号，②结论正确； ③是方程的一个根， ，即， 是方程的一个根，③结论正确； ④设相同的根为，， ． ． ，，， ． ． ． 即有相同的根，④结论错误． 故答案为：． 17．， 【分析】本题主要考查分式的化简求值、解一元二次方程和一元一次不等式组，先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，解关于a的一元二次方程，选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 则或， 解得或， 且， 当时， 原式 18．(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）方程两边都除以3，然后移项，配方解方程即可； （2）整理成一般形式，利用公式法解方程即可； （3）变形后用直接开平方法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1） ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2） 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴ （3） ∴ ∴ 开平方得，， ∴ （4） ∴ ∴ 即， ∴或， 解得 19．三角形的三条边长为3，4，5 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形，设这个直角三角形最短的边长为x，另外两边长分别为：，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设这个直角三角形最短的边长为x， ∵这个三角形的三边长为3个连续的正整数， ∴另外两边长分别为：， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴三角形的三条边长为3，4，5． 20．(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法， （1）移项，配方即可得出，，即可得解； （2）将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解； 解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； ②将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； ③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴方程的解是：，． 21．(1)， (2)点D的坐标是或 (3)点Q的坐标为或或． 【分析】（1）设设，则，由列方程求出x的值，即得到点B和点P的坐标； （2）当点D与点P重合时，是直角三角形；当点D与点P不重合时，设，而，，再利用勾股定理建立方程求出点D的坐标即可； （3）画出图形，根据平行四边形的性质分三种情况得出点Q坐标． 【详解】（1）解：如图，设，则， 对于，当时， 由，得，； 当时，， ∴，， ∵点P在第一象限，且， ∴， 解得， ∴，． （2）解：由（1）得，点D与点P重合，此时， ∴是直角三角形， 此时； 如图，点D在线段上，， 此时是直角三角形， 如图， 设，而，， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴； 综上所述，点D的坐标是或； （3）解：存在．如图， 当四边形是平行四边形时， 此时，， ∴； 当四边形是平行四边形时， 此时，， ∴； 当四边形是平行四边形时， 结合平移的性质可得； 综上所述，点Q的坐标为或或． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，一元二次方程的解法等知识点，在解第（2）题、第（3）题时，应进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 22．(1)c的值为2 (2)的值为0 (3)证明见解析 【分析】本题考查了倍增方程的问题，掌握根与系数的关系、解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据“倍根方程”和根与系数之间的关系可直接求解． （2）根据倍根方程的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴令， ，， ∴，， 解得：，， ； （2）解：是“倍根方程”， 且该方程的两根分别为和， 或， 当时，即， ， 当时，即， ， 综上：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$