第4章 整式的加减（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

第4章 整式的加减（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1、整式的相关概念 1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点归纳：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点归纳：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3．整式：单项式和多项式统称为整式． 知识点2、整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点归纳：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点归纳：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点归纳：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 5．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 6．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 考点1：整式的有关概念 【例题1】（23-24七年级上·全国·单元测试）单项式的系数、次数分别是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．0不是单项式 B．一定小于0 C．最大的负有理数是 D．是二次三项式 【变式2】（23-24七年级上·全国·单元测试）多项式是 次 项式． 【变式3】（23-24七年级上·吉林·期中）已知多项式是关于的六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求的值； (2)请将该多项式按的降幂重新排列． 考点2：整式的加减运算 【例题2】（23-24七年级上·广西百色·期末）先化简再求值：若与是同类项，求的值． 【变式1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）先化简、再求值：，其中、． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）合并同类项： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算：． 思想1：整体思想 【例题3】（22-23七年级上·福建漳州·期中）已知，则代数式的值是（    ） A．99 B． C．101 D． 【变式1】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）已知，则代数式的值是 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一道题“如果式子的值为，那么式子的值是多少？”爱动脑筋的佳佳同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，则原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照佳佳的解题方法，完成下面问题： (1)已知 ，则___________； (2)已知 ，求的值； (3)已知 ，求的值． 【变式3】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 思想2：分类讨论思想 【例题4】（七年级·江西南昌·期中）如果多项式是关于x的三次三项式，代数式的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或3 【变式1】（20-21七年级上·福建泉州·期末）已知多项式（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则的值为（    ） A． B．3或 C．或4 D．或4 【变式2】（21-22七年级上·河南驻马店·期中）若多项式是关于x，y的三次多项式，则mn= ． 【变式3】（21-22七年级上·四川宜宾·期末）已知关于的多项式，． (1)若整式不含项和不含项，求、的值； (2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件． 思想3：转化思想 【例题5】（23-24七年级上·四川眉山·期末）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【变式1】（23-24七年级上·重庆合川·期末）若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A．4 B．5 C．15 D．19 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知式子的值与字母x的取值无关，则ba的值是 ． 【变式3】（23-24七年级上·山西大同·期中）小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 思想4：数形结合思想 【例题6】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）两个正方形如图摆放，大正方形的边长是4，小正方形边长是2，两阴影部分的面积分别为a，b，则两阴影部分的面积差为（       ）    A．20 B．14 C．12 D．无法计算 【变式1】（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式2】（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）有理数、、在数轴上分别对应点、、的位置如图所示，则 ． 【变式3】（23-24七年级上·广东汕尾·期末）如图，大小两个正方形的边长分别为a、b．      (1)用含a、b的代数式表示： 的面积为：__________；的面积为：__________； (2)求阴影部分的面积S； (3)如果，求阴影部分的面积． 1．（2024·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 3．（2021·四川绵阳·中考真题）整式的系数是（    ） A．-3 B．3 C． D． 4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 5．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 6．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 7．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．    8．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为 ． 9．（2021·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 10．（2012·四川乐山·中考真题）化简：． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）对于多项式，下列说法正确的是（　　） A．一次项系数是 B．最高次项是 C．常数项是 D．是四次三项式 2．（22-23七年级上·广西来宾·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）多项式是关于x，y的三次二项式，则m的值是（　　） A． B． C．1 D． 6．（22-23七年级上·广东深圳·期中）下列说法错误的是 （    ） A． 是二次三项式 B． 不是单项式 C． 的系数是 D． 的次数是 6 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下面是按一定规律排列的式子：，，，，，则第9个单项式是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·全国·单元测试）的次数是（   ） A．5 B． C．2 D．3 9．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，和是同类项，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 10．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 三、填空题 11．（23-24七年级上·重庆·期末）已知单项式与的和为单项式，则 ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如果单项式y与的和是单项式，那么的值为 ． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期中） 14．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，且对于任意有理数，代数式的值不变，则的值是 ． 15．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 16．（24-25七年级上·全国·单元测试）若与是同类项，则的值为 17．（22-23七年级上·上海·期末）如果与是同类项，那么 ． 18．（23-24七年级上·全国·单元测试）第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，第n个图案有 个三角形． 四、解答题 19．（24-25七年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2) 20．（2024七年级上·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：，． (1)化简：； (2)若，，求的值； 22．（23-24七年级上·河南商丘·期末）在数轴上，点P、Q分别表示数a、b，则点P、Q之间的距离为线段PQ的长，即． (1)如图，点A、B在以点O为原点的数轴上，点A表示的数为8，点B在原点左侧，且，求点B表示的数； (2)在（1）的条件下，设，，求代数式的值． 23．（23-24七年级上·湖南永州·期末）已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 24．（23-24七年级上·江西赣州·期末）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 25．（23-24七年级上·全国·单元测试）探索规律：观察下面算式，并解答问题． (1)试猜想= ； (2)试猜想 ； (3)请用上述规律计算：（请算出最后数值哦！并写出计算过程） 26．（23-24七年级上·山西大同·期中）今有某登山队在一次登山活动中，以大本营为基地，开始向海拔距大本营300米的顶峰冲刺，规定他们向上走为正，他们的六次行程记录如下（行程单位：米）： (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，登山队员在登山全程中都使用了氧气瓶，且每人向下行走每米要消耗氧气升，向上行走每米还要多消耗升，请你计算一下登山过程中每人消耗氧气多少升？（用含的代数式表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 整式的加减（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1、整式的相关概念 1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点归纳：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点归纳：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3．整式：单项式和多项式统称为整式． 知识点2、整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点归纳：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点归纳：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点归纳：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 5．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 6．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 考点1：整式的有关概念 【例题1】（23-24七年级上·全国·单元测试）单项式的系数、次数分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的知识，根据单项式系数及次数的定义，即可得出答案．解答本题的关键是掌握单项式次数及系数的定义． 【详解】解：单项式的系数是，次数是4． 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．0不是单项式 B．一定小于0 C．最大的负有理数是 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数，单项式，多项式的相关概念，根据相关概念逐一判断即可，熟知有理数，单项式，多项式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、0是单项式，故A不符合题意； B、可能等于0，选项错误，故B不符合题意； C、是有理数，而且比大，故最大的负有理数不是，故C不符合题意； D、是二次三项式，故D符合题意， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·全国·单元测试）多项式是 次 项式． 【答案】 四/4 三/3 【分析】此题主要考查了多项式的概念，熟练掌握多项式的概念是解答此题的关键．根据多项式的概念求解即可． 【详解】解：因为多项式是单项式，，的和， 而其中的次数最高为4， 所以多项式 是四次三项式． 故答案为：四；三． 【变式3】（23-24七年级上·吉林·期中）已知多项式是关于的六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求的值； (2)请将该多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据题意得出，，求出的值即可； （2）由（1）得出原多项式为：，再重新排列即可得到答案． 【详解】（1）解：多项式是关于的六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同， ，， 解得：，； （2）解：， 原多项式为：， 将该多项式按的降幂重新排列为： 考点2：整式的加减运算 【例题2】（23-24七年级上·广西百色·期末）先化简再求值：若与是同类项，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了同类项的定义，整式化简求值，先根据同类项定义得出，，再根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴ ． 【变式1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）先化简、再求值：，其中、． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减与化简求值．先去括号，再合并，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当、时， 原式． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算：． 【答案】(1)2 (2) 【分析】先去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】解：原式 思想1：整体思想 【例题3】（22-23七年级上·福建漳州·期中）已知，则代数式的值是（    ） A．99 B． C．101 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减及代数式求值等知识点，将的值代入原计算即可，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】当时， ， 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，先去括号、合并同类项，再将作为整体代入求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解： ， 原式． 故答案为：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一道题“如果式子的值为，那么式子的值是多少？”爱动脑筋的佳佳同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，则原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照佳佳的解题方法，完成下面问题： (1)已知 ，则___________； (2)已知 ，求的值； (3)已知 ，求的值． 【答案】(1)3； (2)； (3) 【分析】（1）根据，把化为，整体代入计算； （2）根据，把化为，整体代入计算； （3）根据，运用得结果． 本题考查了整式的加减-化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时， ； 故答案为：3； （2）解：当时， ； （3）解：∵， ， 得 ． 【变式3】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 思想2：分类讨论思想 【例题4】（七年级·江西南昌·期中）如果多项式是关于x的三次三项式，代数式的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或3 【答案】D 【分析】先根据多项式的定义求出n的值，再代入求值即可得． 【详解】多项式是关于x的三次三项式， 或， 解得或， （1）当时，； （2）当时，； 综上，代数式的值是或3， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的定义、代数式求值，熟练掌握多项式的定义是解题关键 【变式1】（20-21七年级上·福建泉州·期末）已知多项式（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则的值为（    ） A． B．3或 C．或4 D．或4 【答案】C 【分析】根据多项式及降幂排列的定义可得，，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴，或，， 当，时，； 当，时，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数 【变式2】（21-22七年级上·河南驻马店·期中）若多项式是关于x，y的三次多项式，则mn= ． 【答案】0或8． 【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的三次多项式， ∴n−2＝0，1＋|m−n|＝3， ∴n＝2，|m−n|＝2， ∴m−n＝2或n−m＝2， ∴m＝4或m＝0， ∴mn＝0或8． 故答案为：0或8． 【点睛】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键 【变式3】（21-22七年级上·四川宜宾·期末）已知关于的多项式，． (1)若整式不含项和不含项，求、的值； (2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据多相似不含项、项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出、的值． （2）根据是一个五次四项式（该多项式中，的最高次幂是五次，即，一共有四项），分类讨论得出结论． 【详解】（1）因为， 当不含项和不含项时有和， 因为，， 所以． 因为，， 所以或（不符合题意）． 所以． （2）①∵|a|+4≥4， ∴a=0，b+3=0时， 即a=0，b=-3， ②当|a|+4=5（a-1）x5+（b+3）x3是一项， ∴a-1≠0，b+3=0， ∴a=-1，b=3， ∴ 【点睛】本题考查多项式的理解和运用能力．几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中，如果不含某一项就是这一项的系数为0．明确多项式的定义，恰当使用分类思想进行分析是解本题的关键． 思想3：转化思想 【例题5】（23-24七年级上·四川眉山·期末）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了整式的值与字母无关问题．已知多项式合并后，根据结果与x的取值无关，求出a与b的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： 由结果与x的取值无关，得到，， 解得：，， ∴， 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·重庆合川·期末）若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A．4 B．5 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减的混合运算，根据代数式的值与字母x的取值无关，得到，，求出，，是解题的关键． 【详解】解： ， ∵式子的值与字母的取值无关， ∴，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知式子的值与字母x的取值无关，则ba的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项．先合并同类项，再根据题意得出，，解得代入即可． 【详解】解：， ∵式子的值与字母x的取值无关， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·山西大同·期中）小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、无关性问题等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键 （1）根据，列式计算即可． （2）由（1）得出多项式A，然后根据整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为零即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ∴． （2）解： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 思想4：数形结合思想 【例题6】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）两个正方形如图摆放，大正方形的边长是4，小正方形边长是2，两阴影部分的面积分别为a，b，则两阴影部分的面积差为（       ）    A．20 B．14 C．12 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．设空白部分的面积为，根据题意列出关系式，相减即可求出的值． 【详解】解：设空白部分的面积为． 根据题意，得，， 则，， 所以． 故选：C． 【变式1】（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，找规律，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按A，B，C的顺序 排列： A．，所以此时点A正好落在数轴上； B．，所以此时点B正好落在数轴上； C．，所以此时点C正好落在数轴上； D．，所以此时点A正好落在数轴上． 故选：B． 【变式2】（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）有理数、、在数轴上分别对应点、、的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值， 根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，， ∴ ， 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·广东汕尾·期末）如图，大小两个正方形的边长分别为a、b．      (1)用含a、b的代数式表示： 的面积为：__________；的面积为：__________； (2)求阴影部分的面积S； (3)如果，求阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值： （1）根据三角形面积公式列式求解即可； （2）根据阴影部分面积等于两个正方形面积减去和的面积进行求解即可； （3）把代入（2）所求结果中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，的面积为，的面积为； 故答案为：，； （2）解：由题意得，； （3）解：当时， ． 1．（2024·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：D． 3．（2021·四川绵阳·中考真题）整式的系数是（    ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式的系数的定义求解即可． 【详解】解：的系数为-3， 故选A． 【点睛】本题主要考查了单项式的系数，解题的关键在于能够熟练掌握单项式的系数的定义． 4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 5．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个． 故选：D 6．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 7．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．    【答案】15 【分析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可． 【详解】解：根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒， 第（2）个图形有根火柴棒， 第（3）个图形有根火柴棒， …… 第（n）个图形有根火柴棒， ∴第（7）个图案中有根火柴棒， 故答案为：15 8．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果. 【详解】解： 当时，原式， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键. 9．（2021·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入即可得． 【详解】解：原式， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 10．（2012·四川乐山·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，先去括号，再合并同类项求解即可．熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 【详解】 ． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）对于多项式，下列说法正确的是（　　） A．一次项系数是 B．最高次项是 C．常数项是 D．是四次三项式 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项、项数或次数．解题的关键是掌握：由几个单项式的和组成的代数式叫多项式，多项式中每一个单项式称为该多项式的项，次数最高的项的次数即为该多项式的次数，不含字母的项称为常数项，多项式通常说成几次几项式．据此解答即可． 【详解】解：多项式， A．一次项系数是，故此选项不符合题意； B．最高次项是，此选项符合题意； C．常数项是，故此选项不符合题意； D．是三次三项式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（22-23七年级上·广西来宾·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A．系数是2，次数是3，故本选项符合题意； B．系数是3，次数是2，故本选项不符合题意； C．系数是2，次数是4，故本选项不符合题意； D．系数是，次数是3，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查单项式问题，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：代数式：，，，，，中，，，，是单项式．共有个． 故选：C． 4．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 5．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）多项式是关于x，y的三次二项式，则m的值是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的项数和系数，根据“多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数”即可解答． 【详解】解：∵是关于x，y的三次二项式， ∴， 解得：， 故选：B． 6．（22-23七年级上·广东深圳·期中）下列说法错误的是 （    ） A． 是二次三项式 B． 不是单项式 C． 的系数是 D． 的次数是 6 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式、多项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．正确掌握相关定义是解题关键．直接利用多项式、单项式的相关定义判断得出答案． 【详解】解：A．是二次三项式，正确，故此选项不合题意； B．是多项式，不是单项式，正确，故此选项不符合题意； C．的系数是，正确，故此选项不合题意； D．，次数是4，不是6，错误，故此选项符合题意； 故选：D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下面是按一定规律排列的式子：，，，，，则第9个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式规律，根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【详解】由，，，，可得： 系数的排列规律为：1，3，5，7，9，， 指数的排列规律为：2，4，6，8，． 故第9个单项式是：． 故选：D． 8．（23-24七年级上·全国·单元测试）的次数是（   ） A．5 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查单项式，熟练掌握各字母指数和叫单项式的次数是解题的关键． 根据各字母指数和叫单项式的次数判定即可． 【详解】解：的次数是， 故选：D． 9．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，和是同类项，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，同类项，掌握绝对值有非负性、偶次方的非负性、同类项的定义是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值有非负性，偶次方的非负性，求出a、b的值，再根据所含字母相同，相同字母的指数相同的项叫同类项求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ∵和是同类项， ∴，， ∴． 故选：D． 10．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 三、填空题 11．（23-24七年级上·重庆·期末）已知单项式与的和为单项式，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查合并同类项，根据同类项求代数式的值，根据题意，得到与为同类项，进而得到，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴与为同类项， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如果单项式y与的和是单项式，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项，掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】解：单项式与的和是单项式， 与是同类项， ，， ，， ， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期中） 【答案】 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减运算，即可． 【详解】． 故答案为：． 14．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，且对于任意有理数，代数式的值不变，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是理解对于任意有理数，代数式的值不变．把和代入后去括号合并进行化简，再根据对于任意有理数，代数式的值不变求得，的值，最后计算即可求解． 【详解】解：，， ， 对于任意有理数，代数式的值不变， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 15．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了合并同类项和多项式的相关定义，先将原式进行合并同类项，根据多项式是三次二项式可知二次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后是一个三次二项式， ∴，解得， 故答案为：1． 16．（24-25七年级上·全国·单元测试）若与是同类项，则的值为 【答案】3 【分析】本题考查了同类项的定义，熟记同类项定义是解答本题的关键．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出m，n的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解∶∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为∶3． 17．（22-23七年级上·上海·期末）如果与是同类项，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查了同类项的定义，关键要注意同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同． 同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由同类项的定义可先求得m和n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：8． 18．（23-24七年级上·全国·单元测试）第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，第n个图案有 个三角形． 【答案】/ 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察不难发现，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律，根据此规律解答即可． 【详解】解：∵第1个图案中三角形的个数为个； 第2个图案中三角形的个数为个； 第3个图案中三角形的个数为个； ； ∴依规律可知第n个图案中三角形的个数为个． 故答案为：． 四、解答题 19．（24-25七年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号然后再合并同类项即可； （2）先去括号然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（2024七年级上·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的知识点是去括号原则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号原则．原式遵循从里到外的顺序，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，合并得到最简结果后，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ． 当，时， 原式． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：，． (1)化简：； (2)若，，求的值； 【答案】(1)； (2)54 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式求值： （1）根据整式的加减运算法则，进行计算即可； （2）把，，代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，时，上式， 的值为54． 22．（23-24七年级上·河南商丘·期末）在数轴上，点P、Q分别表示数a、b，则点P、Q之间的距离为线段PQ的长，即． (1)如图，点A、B在以点O为原点的数轴上，点A表示的数为8，点B在原点左侧，且，求点B表示的数； (2)在（1）的条件下，设，，求代数式的值． 【答案】(1)点表示的数是； (2)26 【分析】本题主要考查数轴的知识，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，代数式的化简求值计算方法是解题的关键． （1）根据点表示的数为8，可知的长，根据，可求出的长，根据两点之间的距离的计算方法，即可求解； （2）先化简代数式，再将，的代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为原点，点表示的数为8， ∴， ∵， ∴， 根据两点之间的距离计算方法，设点对应的数字为，且点在原点的左边， ∴，解得，，（舍去） ∴点表示的数是； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 23．（23-24七年级上·湖南永州·期末）已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【答案】(1)27 (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）根据整式的加减计算法则求出的结果，再把整体代入求解即可； （2）将在（1）的基础上，进一步化简，要使的值与a的取值无关，则令含有a的项的系数为0即可就出b的值，再带入即可求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式； （2）解；由（1）可得， ∵的值与a的取值无关， ∴， ∴， ∴。 24．（23-24七年级上·江西赣州·期末）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）， ； （3），， ，， ． 25．（23-24七年级上·全国·单元测试）探索规律：观察下面算式，并解答问题． (1)试猜想= ； (2)试猜想 ； (3)请用上述规律计算：（请算出最后数值哦！并写出计算过程） 【答案】(1)169 (2)(n+3)² (3)772 12，过程见解析 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给式子，探索出式子的规律，并运用规律进行解题是关键． （1）由已知式子规律可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后根据此规律求解即可； （2）利用（1）的规律推出一般规律即可； （3）用从1开始到2021的连续奇数的和减去从1开始到999的连续奇数的和，然后根据规律进行计算即可得解． 【详解】（1） （2） （3） 26．（23-24七年级上·山西大同·期中）今有某登山队在一次登山活动中，以大本营为基地，开始向海拔距大本营300米的顶峰冲刺，规定他们向上走为正，他们的六次行程记录如下（行程单位：米）： (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，登山队员在登山全程中都使用了氧气瓶，且每人向下行走每米要消耗氧气升，向上行走每米还要多消耗升，请你计算一下登山过程中每人消耗氧气多少升？（用含的代数式表示） 【答案】(1)没有登上顶峰，40米； (2)升． 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用、有理数混合运算的应用等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先将行程相加再结合题意即可解答； （2）将向上和向下消耗的氧气相加即可． 【详解】（1）解： （米） （米） ． 答：他们最终没有登上顶峰，他们离顶峰还差40米. （2）解： ． 答：登山过程中每人消耗氧气升． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$