专题05 双曲线（四大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（重庆专用）

专题05 双曲线 双曲线的基本概念 1．（23-24高二上·重庆·期中）张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长为6 乙：该双曲线的虚轴长为8 丙：该双曲线的焦距长为5 丁：该双曲线的一条渐近线可以为 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是 . 2．（23-24高二上·重庆·期中）双曲线：的一条渐近线方程是，则E的离心率是（    ） A．5 B． C．2 D． 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知双曲线虚轴的一个顶点为D，分别是C的左，右焦点，直线与C交于A，B两点．若的重心在以为直径的圆上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·重庆·期中多选题）如图，在圆锥中，已知高.底面圆的半径为2，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（    ） A．圆锥的体积为 B．圆的面积为 C．椭圆的长轴长为 D．双曲线两渐近线的夹角 7．（23-24高二上·重庆·期中多选题）已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（    ） A．4 B． C． D．8 8．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中多选题）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过向的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于，则下列说法正确的是（    ） A．为线段的中点 B．点在直线上 C． D． 9．（23-24高二上·重庆南岸·期中多选题）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（    ） A．C的渐近线方程为 B．过点作，垂足为H，则 C．点N的坐标为 D．四边形面积的最小值为 双曲线的离心率 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）椭圆与双曲线有相同的焦点、，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列关系式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期中）我们把形如的函数称为类双勾函数，这类函数有两条渐近线和，它的函数图像是对称轴不在坐标轴上双曲线．现将函数的图像绕原点逆时针旋转一定的角度得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是 ． 双曲线中点弦问题 1．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（    ）    A．cm B．cm C．cm D．cm 2．（23-24高二上·重庆·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 . 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 . 双曲线解答题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且. (1)求E的方程； (2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N． (1)证明：； (2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值. 4．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且．    (1)若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值； (2)求四边形面积的取值范围． 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 6．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知双曲线，点在E上． (1)求E的方程； (2)过点的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和． 7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线的渐近线为，左焦点为F，左顶点M到双曲线E的渐近线的距离为1，过原点的直线与双曲线E的左、右支分别交于点C、B，直线FB与双曲线E的左支交于点A，直线FC与双曲线E的右支交于点D． (1)求双曲线E的方程； (2)求证：直线AD过定点． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 双曲线 双曲线的基本概念 1．（23-24高二上·重庆·期中）张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长为6 乙：该双曲线的虚轴长为8 丙：该双曲线的焦距长为5 丁：该双曲线的一条渐近线可以为 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是 . 【答案】丙 【分析】根据双曲线方程中的大小关系，判断并验证即可. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，有，即有， 显然甲乙丙3人的结论中至少有两个正确，由于焦距比实轴、虚轴都长，因此丙的结论是错误的， 此时，则该双曲线的一条渐近线可以为，丁的结论也正确，符合题意， 所以结论错误的同学是丙. 故答案为：丙 2．（23-24高二上·重庆·期中）双曲线：的一条渐近线方程是，则E的离心率是（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线方程可知，据此即可求出双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，可得， 又，则，即，则.故选：B. 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 4．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】讨论双曲线焦点位置，结合已知渐近线确定双曲线参数关系，进而求离心率. 【详解】若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为， 所以； 若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为， 所以； 所以双曲线C的离心率为或. 故选：D 5．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知双曲线虚轴的一个顶点为D，分别是C的左，右焦点，直线与C交于A，B两点．若的重心在以为直径的圆上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨取，再求得两点的坐标为，从而求得重心的坐标为，进而得到，解得，由此得解. 【详解】因为双曲线，则其虚轴上的顶点为，不妨取， 联立，解得，则两点的坐标为， 所以的重心的坐标为，即， 因为△ABD的重心在以为直径的圆上，而为直径的圆的方程为， 所以，解得， 所以的渐近线方程为. 故选：D. 6．（23-24高二上·重庆·期中）如图，在圆锥中，已知高.底面圆的半径为2，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（    ） A．圆锥的体积为 B．圆的面积为 C．椭圆的长轴长为 D．双曲线两渐近线的夹角 【答案】BCD 【分析】利用圆锥的体积公式计算判断A；利用圆锥的几何性质确定圆的半径计算判断B；利用圆锥的轴截面求出判断C；建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线过的点的坐标计算判断D. 【详解】对于A，圆锥底面圆面积，圆锥体积，A错误； 对于B，圆锥中截面圆的半径为底面圆半径的一半，该圆面积为，B正确； 对于C，过作于，于是，， 因此椭圆的长轴长，C正确； 对于D，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P到底面距离相等， 于是双曲线顶点，双曲线与圆锥底面圆周的交点，设双曲线方程为， 则，解得，因此该双曲线的两条渐近线互相垂直， 即双曲线两渐近线的夹角，D正确. 故选：BCD 7．（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】BC 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 于是该双曲线的渐近线方程为，而圆的圆心为，半径， 点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为， 点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为， 所以的可能取值为. 故选：BC 8．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过向的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于，则下列说法正确的是（    ） A．为线段的中点 B．点在直线上 C． D． 【答案】BCD 【分析】选项A：根据图像和双曲线的几何性质可得； 选项B：先求渐近线和直线的方程，联立可得； 选项C：根据点坐标，利用数量积的坐标运算可得； 选项D：根据双曲线距离公式可得. 【详解】    因为双曲线：，所以，，， 则，，根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程， 选项A：直线,由可得， 同理，因为，故不是的中点，故A错误； 选项B：直线的斜率为，直线方程为， 联立得，所以正确； 选项C：由，，， 则，， 故，故C正确； 选项D：，故D正确， 故选：BCD 9．（23-24高二上·重庆南岸·期中）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（    ） A．C的渐近线方程为 B．过点作，垂足为H，则 C．点N的坐标为 D．四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；根据双曲线的光学性质可推得点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断B项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项. 【详解】对于A项，由已知可得，，所以双曲线的渐近线方程为，故A项正确； 对于B项，如图，   ，且满足，所以直线的方程为， 联立化简得，由于， 即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点. 则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以， 故B项正确； 对于C项，设，则，整理可得. 又，所以有，所以有， 解得，所以点的坐标为，故C项错误； ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，四边形面积的最小值为，故D项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用光学性质得点为的中点，结合双曲线的定义求解，注意平面几何的特性是解决此类问题的捷径. 双曲线的离心率 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案. 【详解】设，，，由，则， 显然，则整理可得，由， 则， 解得，由双曲线的定义可知：， 则，整理可得， 化简可得，由，且， 则，可得或， 解得或，所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）椭圆与双曲线有相同的焦点、，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列关系式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆、双曲线共焦点，结合对应方程得，根据离心率公式判断各项的正误. 【详解】由椭圆与双曲线焦点相同，即参数相同，而，，又， 由，所以. 当，则，此时不合要求； 当，则，不合要求； 当，则，，不一定成立； 综上，A、B不成立，C不一定成立，D一定成立. 故选：D 3．（23-24高二上·重庆·期中）我们把形如的函数称为类双勾函数，这类函数有两条渐近线和，它的函数图像是对称轴不在坐标轴上双曲线．现将函数的图像绕原点逆时针旋转一定的角度得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是 ． 【答案】 【分析】根据两条渐近线的夹角得到渐近线的倾斜角，结合离心率公式求得结果. 【详解】由题意可知，以y轴和为渐近线，其夹角为， 故旋转后双曲线的一条渐近线倾斜角为，. 故双曲线离心率． 故答案为:. 双曲线中点弦问题 1．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（    ）    A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】先作出双曲线图，根据图像代入点，求出点的坐标，最后求出的值. 【详解】如图所示，    根据题意，作出冷却塔的双曲线函数图，设双曲线方程为， 因为冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm， 所以设双曲线上的点且， 将代入可得，两式相减得， 又双曲线离心率为3，所以，所以， 代入可得，得，所以， 将点代入可得，解得， 所以冷却塔的最小直径为， 故选：C 2．（23-24高二上·重庆·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果. 【详解】因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点， 则，又，两式相减并化简可得， 又直线的斜率，即， 设直线l的方程为，联立 , 化简可得 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 所以，又， 化简得，即或， 所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为， 故答案为：. 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】 利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意， 设点、，因为若弦的中点为，则， 因为，可得，即， 所以，， 因此，直线的方程为，即. 联立可得，， 所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意， 因此，直线的方程为， 故答案为：. 双曲线解答题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且. (1)求E的方程； (2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）根据到其中一条渐近线的距离为1可求出b的值，根据可求出a的值，即可求得答案； （2）判断直线斜率存在，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，利用双曲线弦长公式结合弦长可求出直线斜率，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知双曲线：的渐近线方程为， ，， 到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线，即， 则， 又过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且， 将代入中，得， 故， 故E的方程为. （2）若直线的斜率不存在，其方程为，代入， 得，即，不符合题意；      故直线l的斜率存在，设其方程为，联立， 得， 需满足，且， 设，则， 则 ， 即，解得或， 故直线的方程为或， 即或或. 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N． (1)证明：； (2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，结合圆的知识可得，，设点，则，由，可得，即得（用双曲线的第二定义来说明，也可以），由相等弦长所对的圆心角相等，得，进而求解； （2）设直线PF的方程为，由题意可得，联立方程组，结合韦达定理可得，，由题知，直线DR的方程为，令，化简即可求解. 【详解】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则， 连接AM，PM，NF．因为在圆P中，，所以． 由题易知右焦点，设点，则，整理得． 因为， 所以，所以． 【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线为双曲线的准线，根据双曲线的第二定义，可知，即，即得．】 在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得， 所以． （2）由题知双曲线，渐近线为：，右焦点为， 直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为 因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则． 设， 联立方程组，得， 则． 由题知，直线的方程为， 令，得 ， 所以直线DR过定点. 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由椭圆方程求出双曲线的焦点，再根据给定点求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用向量垂直的坐标表示求解即得. 【详解】（1）令双曲线：的半焦距为c， 由双曲线与椭圆有相同的焦点，得，即， 由双曲线过点，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，消去y得：， ，解得，设， 则，， 由，得，即， 于是，解得， 所以的值为. 4．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且．    (1)若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值； (2)求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意可设，则，结合直线与双曲线都有两交点得，再联立双曲线求各交点坐标，应用两点式求、、、，即可求结果； （2）由题设且同（1）得，联立直线与双曲线，应用韦达定理和弦长公式求，根据及换元法求其取值范围即可. 【详解】（1）由题设，的斜率都存在且不为0，令，则， 所以，即， 联立与双曲线，得， 不妨令，同理， 由，则、、、， 所以. （2）由题设且同（1）得， 联立，则， 所以， 联立，同理可得， 所以四边形面积， 则，令， 所以 ， 而且，故，， 当时，， 当趋向于时，趋向于0，即趋向于正无穷， 所以四边形面积的取值范围是.    【点睛】关键点点睛：第二问，先求得，联立直线与双曲线求四边形对角线长度为关键. 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】 （1）由双曲线方程直接写出渐近线方程； （2）由双曲线定义有，结合已知求即可. 【详解】（1）由双曲线方程知：其渐近线方程为； （2）由双曲线定义，又，    所以，可得（负值舍）， 所以的大小为2. 6．（23-24高二上·重庆南岸·期中）已知双曲线，点在E上． (1)求E的方程； (2)过点的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）将点坐标代入，即可得出答案； （2）设出的方程为，联立直线与双曲线的方程得出，根据已知求出的范围.设，进而根据韦达定理得出的关系，表示出斜率，求和化简即可得出答案. 【详解】（1）将点代入双曲线方程可得，， 解得， 所以，E的方程为. （2）由已知易得直线的斜率一定存在，设斜率为， 则的方程为. 联立直线与双曲线的方程， 整理可得， 则， 解得且. 设， 由韦达定理可得， 则 .    7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线的渐近线为，左焦点为F，左顶点M到双曲线E的渐近线的距离为1，过原点的直线与双曲线E的左、右支分别交于点C、B，直线FB与双曲线E的左支交于点A，直线FC与双曲线E的右支交于点D． (1)求双曲线E的方程； (2)求证：直线AD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求，由此可得双曲线方程； （2）设，分别联立直线，与双曲线方程，结合关于系数关系求点A和点坐标，利用点斜式表示直线的方程，再证明直线过定点. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 因为双曲线的渐近线为，则， 又因为左顶点到双曲线E的渐近线的距离为， 解得，则， 所以双曲线的方程为． （2）设， 若，则， 故， 直线的方程为； 若，设直线的方程为， 直线的方程与双曲线联立， ． 又，则 所以，即． 同理， 则， 则直线方程为， 令，则， 即 所以直线过定点．    ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$