专题02 根据集合的包含关系求参数（例题+联想+图解+表格规范书写+变式训练）-【按图索骥】2024-2025学年高一数学重点微专题解题“图”+“表”法·学霸思维篇（人教A版2019必修第一册）

专题02 根据集合的包含关系求参数 例题1．已知，且，则实数的值为 ． 分析：，， 核心点：子集关系空集优先（最容易忽略的陷阱）； ①，此时，符合题意 ②，，由于，所以或 规范书写 解答说明 由题意 ， 特别强调，，子集优先，解题时容易忽视空集。 对于集合，由于最高项系数含参，解题时需养成习惯分类讨论①；②；否则容易忽略了考虑而造成误解 ①当时，，此时符合题意； ②当时， ∴或， 解得或. 综上：或或. 例题2．已知集合，集合，且，则的取值范围为 ． 分析：，， 核心点：子集关系空集优先（最容易忽略的陷阱）； ①，符合题意 ②，借助数轴参数范围（核心技巧：先确定大方向，后验证个别点） 规范书写 解答说明 由，分、讨论列不等式求参数范围即可 ②当说明思考过程如下： Ⅰ确保，即 Ⅱ确定大方向： Ⅲ验证个别点： 当时， 带入， 符合题意；当时，， 带入 符合题意 ①当，则； ②当 则，且，解得， ③综合①②，． 例题3．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 分析：，， 核心点：子集关系空集优先（最容易忽略的陷阱，但本题）； ，借助数轴参数范围（核心技巧：先确定大方向，后验证个别点） 规范书写 解答说明 若，所以 说明思考过程如下： ①确定大方向： ②验证个别点：当时， 带入，符合题意 当时，， 带入符合题意 ③综合①②得 解得 因为，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 例题4．已知集合， ．若，求实数的值． 分析：，， 核心点：子集关系空集优先（最容易忽略的陷阱）； 本题中可因式分解，至少有一个根1；故可分类讨论：①；② 规范书写 解答说明 分析 ， 本题由于集合可因式分解，故讨论时只需讨论①② ①当，，则，解得； ②，则，解得， 综上可得，或． 例题5．设集合，，若，求的取值范围． 分析：，（不可因式分解）， 核心点：写出集合的所有子集对照讨论：，，，分类讨论： ①当②当时，③当时，④当时， 规范书写 解答说明 ， 对于集合，由于集合中的方程不可因式分解，故集合的情况可以是集合的所有子集，这样集合的子集有：，，， 所以对于集合可分类讨论： ①当②当时，③当时，④当时， 本题可对比例题4，例题4为可因式分解情况，例题5不可因素分解，可对比解题方法； ①当，是的两个根，即 ，此时无解 ②当时，； ③当时，，此时无解； ④当时，，解得； 综上：的取值范围为． 一、单选题 1．若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．已知集合，，则使成立的实数m的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．已知集合，，若，则实数m组成的集合为 . 6．已知集合或，，若，则实数的取值范围 ． 7．设集合，，当时，集合的非空真子集的个数为 ；当时，实数的取值范围是 . 8．设，，且，则的取值范围为 . 四、解答题 9．集合，. （1）求集合，集合； （2）若，求实数的取值范围. 10．已知集合，，若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 根据集合的包含关系求参数 例题1．已知，且，则实数的值为 ． 分析：，， 核心点：子集关系空集优先（最容易忽略的陷阱）； ①，此时，符合题意 ②，，由于，所以或 规范书写 解答说明 由题意 ， 特别强调，，子集优先，解题时容易忽视空集。 对于集合，由于最高项系数含参，解题时需养成习惯分类讨论①；②；否则容易忽略了考虑而造成误解 ①当时，，此时符合题意； ②当时， ∴或， 解得或. 综上：或或. 例题2．已知集合，集合，且，则的取值范围为 ． 分析：，， 核心点：子集关系空集优先（最容易忽略的陷阱）； ①，符合题意 ②，借助数轴参数范围（核心技巧：先确定大方向，后验证个别点） 规范书写 解答说明 由，分、讨论列不等式求参数范围即可 ②当说明思考过程如下： Ⅰ确保，即 Ⅱ确定大方向： Ⅲ验证个别点： 当时， 带入， 符合题意；当时，， 带入 符合题意 ①当，则； ②当 则，且，解得， ③综合①②，． 例题3．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 分析：，， 核心点：子集关系空集优先（最容易忽略的陷阱，但本题）； ，借助数轴参数范围（核心技巧：先确定大方向，后验证个别点） 规范书写 解答说明 若，所以 说明思考过程如下： ①确定大方向： ②验证个别点：当时， 带入，符合题意 当时，， 带入符合题意 ③综合①②得 解得 因为，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 例题4．已知集合， ．若，求实数的值． 分析：，， 核心点：子集关系空集优先（最容易忽略的陷阱）； 本题中可因式分解，至少有一个根1；故可分类讨论：①；② 规范书写 解答说明 分析 ， 本题由于集合可因式分解，故讨论时只需讨论①② ①当，，则，解得； ②，则，解得， 综上可得，或． 例题5．设集合，，若，求的取值范围． 分析：，（不可因式分解）， 核心点：写出集合的所有子集对照讨论：，，，分类讨论： ①当②当时，③当时，④当时， 规范书写 解答说明 ， 对于集合，由于集合中的方程不可因式分解，故集合的情况可以是集合的所有子集，这样集合的子集有：，，， 所以对于集合可分类讨论： ①当②当时，③当时，④当时， 本题可对比例题4，例题4为可因式分解情况，例题5不可因素分解，可对比解题方法； ①当，是的两个根，即 ，此时无解 ②当时，； ③当时，，此时无解； ④当时，，解得； 综上：的取值范围为． 一、单选题 1．若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【解析】由，分和两种情况讨论，利用相应的不等式（组），即可求解. 【详解】由题意，集合，，因为， （1）当时，可得，即，此时，符合题意； （2）当时，由，则满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了了集合的包含关系求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记集合件的基本关系，合理分类讨论列出方程组是解答的根据，着重考查分类讨论思想，以及运算能力. 二、多选题 3．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】ABD 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意，对集合是否为空集进行分类讨论，再对参数利用元素与集合间的关系进行分类计算即可. 【详解】将整理可得， 由可得，当时，可知，此时满足题意； 当时，可知，则易知，； 又，所以是方程的根； 即，所以，解得或； 经检验符合题意； 综上可知，或或. 故选：ABD 4．已知集合，，则使成立的实数m的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先根据题意得出A，然后对集合B是空集和不是空集两种情况进行讨论，进而得到答案. 【详解】，A. 若B不为空集，则，解得， ，， 且，解得． 此时． 若B为空集，则，解得，符合题意． 综上，实数m满足或． 故选：AC. 三、填空题 5．已知集合，，若，则实数m组成的集合为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】求解一元二次方程化简集合A，分类讨论求解集合B，结合，求得m的值. 【详解】因为，且，所以或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，. 所以综上可得，实数m组成的集合为：. 故答案为： 6．已知集合或，，若，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示， 或 要使，只需或，解得或． 所以实数的取值范围或. 故答案为：或 7．设集合，，当时，集合的非空真子集的个数为 ；当时，实数的取值范围是 . 【答案】 或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】求出集合A中元素个数，即可求出非空真子集的个数；讨论和，根据集合包含关系可列出关系求解. 【详解】易得. 若，则，即A中含有个元素， 的非空真子集的个数为; ①当，即时，，； ②当时，， 因此，要使，则需，解得. 综上所述，的取值范围是或. 故答案为：；或. 8．设，，且，则的取值范围为 . 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、描述法表示集合 【解析】求得集合，根据，得到，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 因为，即， （1）当时，则满足，解得； （2）当时， ①当时，可得，解得，此时集合，不符合题意，舍去； ②当时，可得，解得，此时集合，符合题意； ③当且，此时满足，此时解集为空集, 综上可得：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及根据集合的包含关系求解参数的取值范围，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力. 四、解答题 9．集合，. （1）求集合，集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；当时，；当时，；当时，；（2） 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【解析】（1）解不等式，即可求出集合；分，和三种情况，分别解不等式，进而可求出集合； （2）由，可知，分，和三种情况，分别列出不等式，进而可求出的取值范围. 【详解】（1）由，可得，即，所以； 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，； （2）由，则， 当时，，则，即，所以； 当时，，满足题意； 当，，则，即，所以. 综上，取值范围是. 【点睛】本题考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系的应用，考查讨论思想在解题中的应用，属于中档题. 10．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【解析】分别讨论和两种情况，得到关于m的不等式组，即可求得范围. 【详解】，，且， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查通过集合的包含关系求参数的范围，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 学科网（北京）股份有限公司 $$