专题01 根据集合中元素的个数求参数（例题+联想+图解+表格规范书写+变式训练）-【按图索骥】2024-2025学年高一数学重点微专题解题“图”+“表”法·学霸思维篇（人教A版2019必修第一册）

专题01 根据集合中元素的个数求参数 例题1已知集合只含有一个元素，则的值是 ． 核心点：集合中只有1个元素，由方程于中最高项系数为可分类讨论①，此时方程为，有一个根；②，此时方程有两个相等的实数根，则集合中只有1个元素。 规范书写 解答说明 ①当时，集合，此时符合题意； 特别强调，对于集合，由于最高项系数含参，解题时需养成习惯分类讨论①；②；否则容易忽略了考虑而造成误解 ②当时，集合只含有一个元素，即 综上：或 例题2已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 ． 核心点：集合中至多有1个元素，可以理解为集合中有1个元素，或者有0个元素； ①此时有一个元素 ②此时集合中的方程为一元二次方程， （Ⅰ）时，集合有1个元素； （Ⅱ）时，集合有0个元素； 规范书写 解答说明 ①当时，集合，此时符合题意； 特别强调，对于集合，由于最高项系数含参，解题时需养成习惯分类讨论①；②；否则容易忽略了考虑而造成误解 ②当时，集合只含有一个元素或有0个元素，即 综上：或 例题3已知集合．若中至少有一个元素，求的取值范围． 核心点：集合中至少有1个元素，可以理解为集合中有1个元素，或者有2个元素； ①此时有1个元素 ②此时集合中的方程为一元二次方程， （Ⅰ）时，集合有1个元素； （Ⅱ）时，集合有2个元素； 规范书写 解答说明 ①当时，集合， 此时符合题意； 特别强调，对于集合，由于最高项系数含参，解题时需养成习惯分类讨论①；②；否则容易忽略了考虑而造成误解 ②当时，集合有1个元素或有2个元素，即且 综上： 一、单选题 1．已知集合只有一个元素，则a的值为 （ ） A．0 B．1 C．0或1 D．—1 二、填空题 2．已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值范围为 ． 3．若关于的方程的解集为单元素集合，则实数 ． 三、解答题 4．已知集合 （1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素； （2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围. 5．已知集合. （1）若中只有一个元素，求及； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围. 6．集合是由方程的实数解构成的. （1）若集合是空集,求的取值范围; （2）若集合中只有一个元素,求a的值. 7．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}， （1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素； （2）若A是空集，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 8．已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （2）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 根据集合中元素的个数求参数 例题1已知集合只含有一个元素，则的值是 ． 核心点：集合中只有1个元素，由方程于中最高项系数为可分类讨论①，此时方程为，有一个根；②，此时方程有两个相等的实数根，则集合中只有1个元素。 规范书写 解答说明 ①当时，集合，此时符合题意； 特别强调，对于集合，由于最高项系数含参，解题时需养成习惯分类讨论①；②；否则容易忽略了考虑而造成误解 ②当时，集合只含有一个元素，即 综上：或 例题2已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 ． 核心点：集合中至多有1个元素，可以理解为集合中有1个元素，或者有0个元素； ①此时有一个元素 ②此时集合中的方程为一元二次方程， （Ⅰ）时，集合有1个元素； （Ⅱ）时，集合有0个元素； 规范书写 解答说明 ①当时，集合，此时符合题意； 特别强调，对于集合，由于最高项系数含参，解题时需养成习惯分类讨论①；②；否则容易忽略了考虑而造成误解 ②当时，集合只含有一个元素或有0个元素，即 综上：或 例题3已知集合．若中至少有一个元素，求的取值范围． 核心点：集合中至少有1个元素，可以理解为集合中有1个元素，或者有2个元素； ①此时有1个元素 ②此时集合中的方程为一元二次方程， （Ⅰ）时，集合有1个元素； （Ⅱ）时，集合有2个元素； 规范书写 解答说明 ①当时，集合， 此时符合题意； 特别强调，对于集合，由于最高项系数含参，解题时需养成习惯分类讨论①；②；否则容易忽略了考虑而造成误解 ②当时，集合有1个元素或有2个元素，即且 综上： 一、单选题 1．已知集合只有一个元素，则a的值为 （ ） A．0 B．1 C．0或1 D．—1 【答案】C 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【详解】因为集合只有一个元素， 所以或或，选C. 二、填空题 2．已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值范围为 ． 【答案】或或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】首先采取正难则反的原则，求解有4个子集时，的取值范围，再求其补集即可，也可通过分类讨论，分1个子集和2个子集讨论. 【详解】通过分析我们知道最多有4个子集，且不会有3个子集， 若有4个子集，此时集合中有两个元素， 则有解得， 则当集合至多有2个子集是，或或 故答案为：或或. 3．若关于的方程的解集为单元素集合，则实数 ． 【答案】0或/或0/0，/，0/和0/0和 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意，方程有唯一解，分，两种情况讨论，当时，令，求解即可 【详解】由于关于的方程的解集为单元素集合， 即方程有唯一解 （1）当时，，方程有唯一解； （2）当时， 综上0或 故答案为：0或 三、解答题 4．已知集合 （1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素； （2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围. 【答案】（1），，或，；（2）或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）中只有一个元素，说明方程有唯一解，根据是否为零分类讨论求解即可； （2）中至多有一个元素，则说明方程有一个解或无解，根据是否为零分类讨论求解即可． 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意． 当时，， 解得， 此时原方程为，即． 综上可知：，，或，； （2）由（1）知当时，中只有一个元素． 当时，若中至多含有一个元素， 则一元二次方程有一个解或无解， 即解得， 此时方程至多有一个解． 综上可知，的取值范围是或． 5．已知集合. （1）若中只有一个元素，求及； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）时，；时，；（2）； 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）分和两种情况讨论，当中只有一个元素时，求的取值； （2）讨论集合或有一个元素时，的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得： ， 所以中只有一个元素，即， 当时，，解得：， ，解得：，此时 综上可知时，时. （2）当集合时，，解得： 由（1）可知集合有1个元素时，或， 综上可知：或， 即. 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，涉及一元二次方程实数根与系数的关系，意在考查讨论思想和计算能力，属于基础题型，本题容易忽略的情况. 6．集合是由方程的实数解构成的. （1）若集合是空集,求的取值范围; （2）若集合中只有一个元素,求a的值. 【答案】（1）（1，+∞）；（2）a=0或a=1. 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）集合是空集，表示方程无实数解，根据一元二次方程根的个数与的关系，易得一个与的不等式，解得的取值范围； （2）若集合中只有一个元素，表示方程为一次方程或有两个相等实数根的二次方程，分别构造关于的方程，即可求得满足条件的值. 【详解】（1）集合A是空集,即方程无实数解. ∴   且a≠0.解得a>1. ∴ 所求a的范围是（1，+∞） （2）集合A中只有一个元素,即方程只有一个实数解. ①,方程为一元一次方程,只有一个实数解. ②,则一元二次方程有两个相等的. ∴解得a=1   综上可得a=0或a=1 【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，根据题目要求分析方程根的情况，属于基础题. 7．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}， （1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素； （2）若A是空集，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或 【知识点】空集的性质及应用、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列不等式，解得结果，（3）A中至多只有一个元素就是A为空集，或有且只有一个元素，所以求（1）（2）结果的并集即可. 【详解】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根， 当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-， 当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1， （2）若A是空集， 则方程ax2+2x+1=0无解， 此时△=4-4a＜0，解得：a＞1. （3）若A中至多只有一个元素， 则A为空集，或有且只有一个元素， 由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1. 【点睛】本题考查方程的解与对应集合元素关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （2）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）当时，；当时，①当时，；②当时，；（2）． 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【详解】试题分析：（1）因题目中没有说明a是否等于零，所以分和讨论．显然当时，易解得集合有一个元素符合题意；当时，由一元二次方程有一个解知，判别式等于零求解即可；（2）集合至多有一个元素即集合为空集或只有一个元素，因此分两种情况求解．当集合为空集时，即判别式等于零；当有一个元素时，同（1），最后总结结论即可． 试题解析：（1）当时，． 当时，，即，解得． 当时，；当时，． （2）中没有元素时，，解得且； 中只有一个元素时，由（1）得或． 所以，综合得：． 考点：已知含参数的一元二次方程的解的个数求参数范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$