高一上期中考前必刷卷01（范围：第1章～第3章 基础卷）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

高一上期中考前必刷卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 5．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得对恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．函数当时，恒成立，则实数的取值范围为 14．已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 16．（15分） 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 17．（15分） 已知函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 18．（17分） 已知函数，满足. (1)求值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； (3)设当时，函数的最小值为，求的解析式. 19． （17分） 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”． (1)写出集合的一个“有趣的”四元子集： (2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集： (3)证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○…… ………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ____________ __ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 高一上期中考前必刷卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 5．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得对恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．函数当时，恒成立，则实数的取值范围为 14．已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 16．（15分） 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 17．（15分） 已知函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 18．（17分） 已知函数，满足. (1)求值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； (3)设当时，函数的最小值为，求的解析式. 19． （17分） 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”． (1)写出集合的一个“有趣的”四元子集： (2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集： (3)证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上期中考前必刷卷01 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D A D D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AB CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．511 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围. 【详解】（1）因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 16．（15分） 【答案】(1) (2)， 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论. 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，， 由函数性质可知当时单调递增，所以当时，， 当时，， 由不等式性质可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 综上当时，. 17．（15分） 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析 【知识点】已知函数值求自变量或参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）应用定义法证明单调性. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴，∴，在上的单调递减. 18．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知函数值求自变量或参数、求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解； （3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为二次函数满足， 则，解得. （2）由（1）可知：， 若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为开口向上，对称轴为， 可知在上单调递减，则，可得， 所以实数m的取值范围为. （3）因为是对称轴为，开口向上的二次函数， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可知； 综上所述：. 19． （17分） 【答案】(1)（符合要求即可） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据四元整数集定义写出即可； （2）假设可以划分成两个不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可； （3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可. 【详解】（1）（符合要求即可）： （2）假设可以划分， 和一定是一个奇数一个偶数， 中至多两个偶数. 则对于的一种符合要求的划分和 每个四元子集中均有两个偶数． 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求： 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求： 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求； 综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集， （3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集． 每个子集中至多两个偶数，又中恰有个偶数， 每个子集中均有两个偶数， 对于， 可设其中是偶数，为奇数， 再由奇偶性，只能是． 且 矛盾． 不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一上期中考前必刷卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上期中考前必刷卷01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案. 【详解】由，可得, 又，可得. 故选：A 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【详解】不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数的定义域. 【详解】由，可得，故且 则函数的定义域是 故选：D 4．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 【答案】A 【知识点】容斥原理的应用 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 5．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】问题转化为不等式的解集为，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值. 【详解】因为命题为真命题，所以不等式的解集为. 所以：若，则不等式可化为，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：. 综上可知： 故选：D 6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上单调递增，即可得求解. 【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增. 函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增. 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故选：D 7．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 8．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】因式分解得到，对分类讨论，求出不等式的解，再根据条件，即可求出结果. 【详解】由，得到， 当时，不等式的解为，又不等式的解集中恰有4个正整数解，所以， 当时，不等式的解为，不满足题意， 当时，不等式的解为，最多含1个正整数解，不满足题意， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，， ，，， ，即，A正确； 对于B，， ，，， ，即，B正确； 对于C，当，，，时，，C错误； 对于D，当，，，时，，D错误. 故选：AB. 10．已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可. 【详解】由，解得. 要满足题意，只需在的子集中确定即可， 显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB. 11．已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得对恒成立 【答案】CD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、比较函数值的大小关系 【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由条件①得是偶函数，所以，条件②得在上单调递增，所以，故A错误； 若，则，故B错误； 若，在上单调递增，在上单调递减， 则或，因为，所以或，所以或，故C正确； 因为定义在上函数的图象是连续不断的，是偶函数，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确； 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 【答案】 【知识点】求函数值、解析法表示函数 【分析】根据函数的解析式，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故答案为：. 13．函数当时，恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】通过换元令,函数可变为将恒成立可转化为在上恒成立.求得最小值即可求解. 【详解】令，则由，得．由题意，得在上恒成立，故有． ，开口向上，对称轴为 随意 所以 故答案为： 14．已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是 【答案】511 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果. 【详解】因为为正整数，所以， 所以集合中共有9个元素， 因此所有真子集的个数为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围. 【详解】（1）因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 16．（15分） 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)， 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论. 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，， 由函数性质可知当时单调递增，所以当时，， 当时，， 由不等式性质可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 综上当时，. 17．（15分） 已知函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析 【知识点】已知函数值求自变量或参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）应用定义法证明单调性. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴，∴，在上的单调递减. 18．（17分） 已知函数，满足. (1)求值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； (3)设当时，函数的最小值为，求的解析式. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知函数值求自变量或参数、求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解； （3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为二次函数满足， 则，解得. （2）由（1）可知：， 若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为开口向上，对称轴为， 可知在上单调递减，则，可得， 所以实数m的取值范围为. （3）因为是对称轴为，开口向上的二次函数， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可知； 综上所述：. 19．（17分） 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”． (1)写出集合的一个“有趣的”四元子集： (2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集： (3)证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集． 【答案】(1)（符合要求即可） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据四元整数集定义写出即可； （2）假设可以划分成两个不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可； （3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可. 【详解】（1）（符合要求即可）： （2）假设可以划分， 和一定是一个奇数一个偶数， 中至多两个偶数. 则对于的一种符合要求的划分和 每个四元子集中均有两个偶数． 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求： 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求： 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求； 综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集， （3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集． 每个子集中至多两个偶数，又中恰有个偶数， 每个子集中均有两个偶数， 对于， 可设其中是偶数，为奇数， 再由奇偶性，只能是． 且 矛盾． 不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集． 学科网（北京）股份有限公司 $$