专题02 高一上期中真题精选（压轴题 11个考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题02 高一上期中真题精选（压轴题11个考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 元素与集合的关系 · 根据元素与集合的关系求参数 · 集合的基本运算 · 集合新定义问题 · 基本不等式 · 基本不等式中的恒成立问题 · 函数单调性及其应用 · 函数性质有关的恒成立，有解问题 · 与抽象函数有关的问题 · 函数性质中的新定义题 考点01 元素与集合的关系 1．（23-24高一上·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 3．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A．B．C．D． 4．（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合是集合的非空真子集，把集合中的各元素之和记为，则满足的集合的个数为 ；的所有不同取值的个数为 ． 6．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 考点02 根据元素与集合的关系求参数 1．（23-24高一上·山西大同·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 考点03 集合的基本运算 1．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（多选）（22-23高一上·山东临沂·期中）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合为闭集合，则为闭集合 3．（多选）（23-24高一上·湖北·期中）如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（    ） A．若，则； B．存在集合，使得； C．若，则； D．若，则. 4．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A： . 5．（23-24高一上·北京海淀·期中）对集合，定义 ①若的元素个数为4，则可以为： ， （写出一组即可） ②若集合满足：存在的子集，使得的元素个数不小于100，且对任意，均有，则集合的元素个数的最小值是 ． 6．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 7．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 考点04 集合新定义问题 1．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 2．（23-24高二上·北京西城·期中）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合（），表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集，若对集合的任意个不同的二元子集，，…，，均存在对应的集合满足：①；②；③（），则称集合具有性质. (1)当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值； (2)当，时，判断集合是否具有性质？并说明理由. 5．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合的生成集． (1)当时，写出集合的生成集； (2)若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由． 考点06 基本不等式 1．（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高三上·江苏泰州·期中）已知，，且，则（    ） A．的最大值是16 B．的最小值为128 C．的最小值为10 D．的最小值为 4．（多选）（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值是2 C．的最小值是18 D．的最小值是 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 考点07 基本不等式中的恒成立问题 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）命题p：，，使得不等式成立，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ． 考点08 函数单调性及其应用 1．（23-24高二上·湖南·期中）已知定义域为的函数满足，当且时，成立.若存在使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·北京海淀·期末）已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为 ． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 考点09 函数性质有关的恒成立，有解问题 1．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一下·北京石景山·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：，恒成立. (1)求不等式的解集； (2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 5．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)若，对任意，，都有成立，求的取值范围． 8．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为． (1)求的值，并证明在上单调递增； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 10．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由; (3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值. 考点10 与抽象函数有关的问题 1．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 2．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知函数的定义域为，满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 3．（多选）（23-24高二下·湖南·期中）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 4．（多选）（2024·安徽安庆·二模）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（    ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 5．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 6．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 8．（22-23高一上·全国·期中）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)解关于的不等式：. 考点11 函数性质中的新定义题 1．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（    ） A．B． C． D． 4．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．存在无数多个，有 D．存在无限实数集，对于，当时，有 5．（多选）（23-24高一上·安徽六安·期中）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．函数不存在跟随区间 B．若为的跟随区间，则 C．二次函数存在“3倍跟随区间” D．若函数存在跟随区间，则 6．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 8．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”. (1)若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围； (2)若是“一阶比增函数”，求证：，，； (3)若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解. 9．（22-23高一下·广东深圳·期中）俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”. (1)若，，求函数与的“偏差”； (2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值. 10．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数． (1)求证：是的生成函数； (2)若是的生成函数，判断并证明的单调性； (3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数． $$专题02 高一上期中真题精选（压轴题11个考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 元素与集合的关系 · 根据元素与集合的关系求参数 · 集合的基本运算 · 集合新定义问题 · 基本不等式 · 基本不等式中的恒成立问题 · 函数单调性及其应用 · 函数性质有关的恒成立，有解问题 · 与抽象函数有关的问题 · 函数性质中的新定义题 考点01 元素与集合的关系 1．（23-24高一上·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据“保均值子集”的定义，列举出所有符合题意的子集即可求得结果. 【详解】非空数集中，所有元素的算术平均数， 在所有子集中选出平均数为的子集即可， 所以集合的“保均值子集”有，，，，，，共7个： 故选：C． 2．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 【答案】B 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定义求解即得. 【详解】集合的所有非空子集为 ， 所以交替和的总和为 . 故选：B 3．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 4．（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】AC 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合是集合的非空真子集，把集合中的各元素之和记为，则满足的集合的个数为 ；的所有不同取值的个数为 ． 【答案】 6 54 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】根据非空真子集的定义结合题意求解即可. 【详解】由题意，满足的集合有：，，，，，，共6个. 对于来说，由于它是集合中的各元素之和，同时又是集合的非空真子集， 因为， 由题意，易知将取尽1到54的所有整数， 所以的所有不同取值的个数为54. 故答案为：6；54. 6．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】利用题设规定的子集的定义，将211化为的形式，从而得解. 【详解】由于， 因为集合，的子集为的第个子集，其中， 所以的第211个子集是. 故答案为：. 考点02 根据元素与集合的关系求参数 1．（23-24高一上·山西大同·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合新定义 【分析】先分析中有1个或者3个元素，即方程有一个根或者三个根，分析方程的根的情况，可得到可取的值，即可得答案. 【详解】集合，， 根据集合的新定义知：中有1个或者3个元素， 当中有1个元素时，有一个解，可得； 当中有3个元素时，易知，有三个解， 其中的两个为：， 当有一个解时，令，可得； 当有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件， 此时，显然不等于0， 所以或，解得或， 综上所述，设实数a的所有可能取值为， 所以构成集合S元素个数为5，即. 故选：C 2．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 【答案】8 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、方程与不等式 【分析】由元素与集合的关系，求出可能的取值，关于x的方程有实数解，分和两种情况，求满足条件的的值，得有序数对的个数. 【详解】已知， 时，解得或； 时，解得或； 时，解得， 又且，所以， 同理， 关于x的方程有实数解， 当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3； 当时，要使方程有实数解，需使，即， 若，则的值可以是，的个数为3； 若，则的值可以是，的个数为2； 所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8. 故答案为：8. 考点03 集合的基本运算 1．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 2．（多选）（22-23高一上·山东临沂·期中）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合为闭集合，则为闭集合 【答案】AD 【知识点】集合新定义 【分析】对于A，令，可判断错误；对于B，根据整数的和差还是整数可判断B正确；对于C，任取，则，结合新定义即可判断；对于D，令，，可判断错误. 【详解】对于A：由于，但是，故集合不为闭集合，故A错误； 对于B：由于整数加上整数或减去整数，所得结果仍是整数，所以整数集是闭集合，故B正确； 对于C：任取，则，则， 所以，， 所以集合为闭集合，故C正确； 对于D：由C可得为闭集合，同理为闭集合， 所以，则有，但，则不为闭集合，故D错误； 故选：AD． 3．（多选）（23-24高一上·湖北·期中）如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（    ） A．若，则； B．存在集合，使得； C．若，则； D．若，则. 【答案】AC 【知识点】集合新定义 【分析】按幂集的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则的子集之一就是，所以，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则的公共子集只有空集，故，故C正确； 对于D，若，不妨设，则， ，显然，故D错误. 故选：AC. 4．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A： . 【答案】或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】由题意可得 ，所以 ，分类讨论当 和 时情况，即可得出结果. 【详解】由题意，得 ，所以 . 由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1， 若 ，则 ，于是 ； 此时且 ，无正整数解； 若，集合有共同元素1和9，则， 所以 ，且，而， 所以， 当 时， ； 当 时， ； 因此满足条件的共有2个，分别为. 故答案为: 或 5．（23-24高一上·北京海淀·期中）对集合，定义 ①若的元素个数为4，则可以为： ， （写出一组即可） ②若集合满足：存在的子集，使得的元素个数不小于100，且对任意，均有，则集合的元素个数的最小值是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】根据题目中集合的新定义，结合元素与集合的关系求解即可. 【详解】设集合中元素个数为，集合中元素个数为， 根据题意可知集合的元素个数为， 若的元素个数为4，则可以为，， 若对任意，均有，则，， 又的元素个数不小于100，则，解得， 因为是集合的子集，所以集合的元素个数的最小值是. 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）， 6．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【知识点】判断两个集合的包含关系、集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 7．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3). 【知识点】集合新定义 【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得. （2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得. （3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及不等式性质求解即得. 【详解】（1）因为， 所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设，因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有，因此， 则，解得， 所以“复活集” . 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，合理利用定义，结合相关的其它知识，进行推理判断解决. 考点04 集合新定义问题 1．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义、判断两个集合的包含关系、充要条件的证明 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 2．（23-24高二上·北京西城·期中）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不一定存在，理由见解析 【知识点】集合新定义、交集的概念及运算 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，A中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果； （3）举反例和，根据题意检验即可说明. 【详解】（1）若，则，其中， 否则，， 若，当时，，， 所以，则，相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； （2）若，，， 当时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以A中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则，相差5，所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以，也至多有5个元素， 所以的最大值为10. （3）不一定存在，理由如下： 例如， 则，，，，， 则，相差不可能1，2，3，4，5，6， 这与矛盾，故不都存在； 例如，不妨令， 则，满足. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1349 【知识点】集合新定义、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1），， 集合，集合. （2），，且， T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足， ； （3）设集合满足题意，其中， 则 ， ， ，由容斥原理，， 的最小元素为0，最大元素为，， 解得 实际上时满足题意，证明如下： 设， 则， 题意有，即， m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多， 即时满足题意 综上，的最大值为1349. 【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解. 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合（），表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集，若对集合的任意个不同的二元子集，，…，，均存在对应的集合满足：①；②；③（），则称集合具有性质. (1)当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值； (2)当，时，判断集合是否具有性质？并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不具有，理由见解析 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】（1）根据集合具有性质的定义即可得出答案； （2）当，时，利用反证法即可得出结论. 【详解】（1）当时，， 集合的所有二元子集为， 则满足题意得集合可以是或或，此时， 或者也可以是或或，此时； （2）当，时，， 假设存在集合，即对任意的， 则取，（任意构造，符合题意即可）， 此时由于，若，则中必有元素， 此时，与题设矛盾，假设不成立， 所以集合是不具有性质. 【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键. 5．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合的生成集． (1)当时，写出集合的生成集； (2)若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)不存在，理由见解析. 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】(1)根据直接写出集合中元素； (2)设，且，利用生成集的定义分析中元素大小关系，不相等的元素至少有7个，再举例即可求解； (3)不存在，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾即可. 【详解】（1），所以. （2）设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以生成集B中元素个数的最小值为7. （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 也有，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 考点06 基本不等式 1．（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式不等式、条件等式求最值 【分析】利用立方和公式及换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 设，则，解得， 因为，，， 所以，解得或， 又因为， 所以，整理得，解得， 当且仅当时，等号成立. 因此，即， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用立方和公式和换元法，根据建立关于的不等式即可. 2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 3．（多选）（23-24高三上·江苏泰州·期中）已知，，且，则（    ） A．的最大值是16 B．的最小值为128 C．的最小值为10 D．的最小值为 【答案】BD 【知识点】条件等式求最值、对勾函数求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】直接由基本不等式即可判断A、B；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D. 【详解】因为，，且，所以，解得，当且仅当时等号成立，故A错误； 因为，由A选项分析可知， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 因为，，且，所以， 所以， 等号成立当且仅当，故C错误； 因为，且， 所以不妨令， 因为， 所以单调递增， 所以， 从而，等号成立当且仅当. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于A、B两个选项的判断较为简单，而C、D选项的关键是先等价变形表达式，然后利用基本不等式和对勾函数去判断. 4．（多选）（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值是2 C．的最小值是18 D．的最小值是 【答案】AC 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式. 【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确； 由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由，得， 对于，由，得， ， 当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误. 故选：AC. 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 考点07 基本不等式中的恒成立问题 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 2．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是， 故选：B. 3．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）命题p：，，使得不等式成立，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意分离参数得，，使得不等式成立，利用基本不等式求出得最小值即可得解. 【详解】由，，使得不等式成立， 即，，使得不等式成立， 而， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以是的一个充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题、不等式与多变量函数的最值 【分析】先分离常数转化成求的最小值问题，根据，把放缩成，再变形，就可以用基本不等式求最小值，即为的最大值. 【详解】因为x，y，z为正实数，所以，因为， 所以，即，又， 所以. 当且仅当时上式最右侧等号成立. 故答案为： 考点08 函数单调性及其应用 1．（23-24高二上·湖南·期中）已知定义域为的函数满足，当且时，成立.若存在使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由已知判断函数的单调性，再分离参数讨论即可. 【详解】由条件可知函数在上单调递减. 存在使得成立等价于存在使得不等式成立. 由得， ∵，∴， ∴①当时，不成立； ②当时，有解.求当时，函数的最小值. 令，则， 设,, 因为 所以，所以函数是上的减函数，所以当且仅当，即时，. 故， 故选：D. 2．（23-24高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由， 得，构造函数，则是上的减函数，对实数分类讨论即可. 【详解】因为对任意，，所以，即， 构造函数，则， 所以函数是上的减函数. 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得. 综上所述，实数的取值范围足， 故选：C. 3．（22-23高一上·北京海淀·期末）已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】解：由题意 在中，对称轴 函数在上单调减，在上单调增 ， ∵对于，均有成立 即对于，均有恒成立 在中，对称轴， 函数在上单调减，在上单调增 当即时， 函数在上单调减 函数在上单调减 ∴ 解得 当，即时， 函数在上单调减，在上单调增 函数在上单调减 ∴ ∴ 解得 当，即时， 函数在上单调增 函数在上单调减 ∴ ∴ 故不符题意，舍去. 当即时 函数在上单调增， 函数在上单调减，在上单调增， ∴ 解得 当即时 函数在上单调增， 函数在上单调减，在上单调增， 此时， ∴符合题意 当时， 函数在上单调增 函数在上单调增 ∴ 此时 ∴符合题意 综上，实数的取值范围是 故选：C. 【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性. 4．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为 ． 【答案】或 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由题可只考虑在上的单调性，分三种情况讨论即可. 【详解】由题仅考虑在上的单调性. ①当时，，其在上单调递增，不合题意； ②当时，. 任取，， 则， 因，则时，， 得在上单调递减.则； ③当时，令， 得或（舍去）. 则， 因函数，均在上单调递增，则在上单调递减，则 i当时，，则满足题意； ii当时，有. 则当时，. 综上a 的范围是或. 故答案为：或 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，． 【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）结合勾形函数的性质、绝对值的定义只要在上的最小值不小于0即可得； （2）作出函数的图象得4个单调区间，首先确定，以及区间的两个端点都不在区间上，在时有，，再由求出的范围，然后再分四个区间讨论确定范围． 【详解】（1）设，∵，∴函数分别在区间，上单调且， 要使函数分别在区间，上单调，则只需； （2）如图，可知，在、、、均为单调函数， 显然，， 若，则，，则， 若，则，令， ，因此， （Ⅰ）当时，在上单调递减， 则两式相除整理得， ∵∴上式不成立即，无解，无取值. （Ⅱ）当时，在上单调递增， 则，即在有两个不等实根， 而令则， ，，由二次函数性质可得：， （Ⅲ）当时，在上单调递减， 则，两式相除整理得 ∴，∴，∴， 由得， 则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解. （Ⅳ）当时，在上单调递增， 则，两式相除得，整理得， 又，，，即，因此不成立，所以无取值， 综上，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的单调性，由于含有绝对值符号，因此作出函数图象有助于问题的求解，通过图象确定单调性，确定，否定单调区间的三个端点不属于区间，从而很形象地指出根据四个单调区间分类讨论． 考点09 函数性质有关的恒成立，有解问题 1．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】CD 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】先把恒成立，转化成求的最小值问题，再在已知等式中解出，代入变形成，即求的最小值问题，在已知中解出用表示的关系式，代入，变形后用基本不等式求解即可. 【详解】由，所以，所以， 又因为，得，因为，所以， 所以，则， 当且仅当时，等号成立.，故， 则的最小值是，因为恒成立， 所以，即，解得.故A，B错. 故选：CD. 2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据恒成立和可求的值. （2）判断函数在上的单调性，再求值域. （3）根据恒成立问题求参数的取值范围. 【详解】（1）由题意： 所以. 又. 所以：，. （2）由（1）可知：. 设， 则， 因为，所以，，， 所以. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为：. （3）问题转化为，当时，恒成立. 若，则在上为增函数，由. 若，则，此时在上恒成立. 若，则在上为减函数，由. 综上可知：.即实数的取值范围是：. 【点睛】结论点睛：对任意的和，恒成立，可转化为在上的最大值小于等于在的最小值. 3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）去绝对值，写出分段函数，将不等式转化，即可求解； （2）分和对函数分段，然后由函数在上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数的取值范围； （3）写出分段函数，不等式对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式即可. 【详解】（1）当时，故有， 则，即为或，解得：或， ∴ 不等式的解集为 （2）， 若在上单调递增，则有 ， 解得， ∴ 若在上单调递增，则实数的取值范围为 （3）设 则 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立． ， 当时，单调递减，其值域为， 由于，所以成立． 当时，由，知， 在处取最小值， 令，得，又，所以 综上，． 4．（23-24高一下·北京石景山·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：，恒成立. (1)求不等式的解集； (2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）选择条件①代入计算即可求得值，再列出不等式解出即可；选择条件②根据二次函数的最值即可得到的值； （2）求出分段函数，再分离参数，利用基本不等式即可得到答案. 【详解】（1）若选择条件①因为， 所以，故. 所以， 因为，故， 解得或， 所以不等式解集为. 若选择条件②恒成立，故最小值为， 所以对称轴方程为，所以，故.以下同条件条件①. （2）不论是条件①或是条件②均可以得到， 因为， 根据（1）中条件①的同种方法即可得到当时，， 所以， 又因为当，不等式恒成立， 故当，不等式恒成立， 即恒成立，. 因为， 当且仅当时等号成立，故，即. 5．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得. （2）利用函数单调性的定义推理证明即可. （3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，关于数0对称，而， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由，得，，则，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，，当且仅当，即时取等号， 因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数， 因此当时，，函数的值域为，即， 由对任意的都有，得， 所以的最小值是. 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的最值求参数、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为奇函数，且， 可得，则，解得，可得， 经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称， 可得，所以是奇函数，满足题意 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增． （2）解：由题意，函数，令，可得， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是． 7．（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)若，对任意，，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减函数，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据题意，转化为，结合函数的单调性，分别求得和，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：函数在上单调递减. 证明：任取且， 则， 因为且，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （2）解：由对任意，，都有成立，即， 由（1）知，函数在区间上单调递减，所以， 因为函数在区间上为单调递增函数，所以， 即，解得，所以实数的取值范围为. 8．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求二次函数的解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为． (1)求的值，并证明在上单调递增； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）令可求出的值；再由单调性的定义证明即可； （2）令可将题意转化为，恒成立，分类讨论，，，由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以，即，解得，， 此时，，成立， 所以的值为1， 任设，则， 因为，所以， 所以，所以， 可证得在上单调递增； （2）由， 可得， 因为，由（1）知，令， 所以，恒成立 ①当时，恒成立，满足题意， ②当时，二次函数的图象开口向上， 对称轴方程为 所以当时，，解得， ③当时，二次函数的图象开口向下， 所以，解得，   综上：实数的取值范围是． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是将问题转化为恒成立，从而利用换元法与二次函数的性质即可得解. 10．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由; (3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值. 【答案】(1)的单调递增区间为； (2)见解析； (3)10. 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、判断二次函数的单调性和求解单调区间、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意，求出，然后结合二次函数的性质可求得答案； （2）根据函数奇偶性的定义判断即可； （3）对任意的，恒有成立等价于“在上恒成立”，然后分，和三种情况求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以在上递增， 当时，，所以在上递增， 因为， 所以的单调递增区间为； （2）当时，， 因为，所以为偶函数， 当时，因为，所以不是奇函数， 因为，，且， 所以，所以不是偶函数， 综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数； （3）当，时，， 所以， 整理得， 即在上恒成立， 因为对勾函数在上单调递增， 所以若，则在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 则， 所以， 当时，， 若时，则在上单调递增， 所以当时，取得最小值，则， 所以，当且仅当时，取得最大值10， 综上，的最大值为10. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，考查二次函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为“在上恒成立”，然后结合对勾函数的性质分情况讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 考点10 与抽象函数有关的问题 1．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额. 【详解】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中，， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 2．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知函数的定义域为，满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC 【知识点】抽象函数的奇偶性、由函数的周期性求函数值 【分析】利用赋值法可求周期，，结合赋值法可以排除选项B,D. 【详解】对于A，令得，，因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以一定不是奇函数，B不正确； 对于C，由得；由得； 由得；由得，， 所以的周期为2，所以，C正确； 对于D，令，，所以，D错误. 故选：AC 3．（多选）（23-24高二下·湖南·期中）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【答案】BC 【知识点】由函数的周期性求函数值、判断或证明函数的对称性、函数的周期性的定义与求解、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义、对称中心及周期性定义逐项判断得解. 【详解】对于A，令，有，而不恒为0，则，A错误； 对于B，由A知，令，有， 即，则函数为偶函数，B正确； 对于C，若，令，有， 则关于中心对称，C正确； 对于D，显然关于中心对称，又为偶函数，则， 即，因此，是周期为4的周期函数， 显然，，即， 所以，D错误. 故选：BC 4．（多选）（2024·安徽安庆·二模）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（    ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【知识点】函数对称性的应用、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】对A：借助赋值法令计算即可得；对B：借助赋值法令，计算即可得；对C：结合函数单调性的定义及赋值法令计算即可得；对D：结合函数对称性及赋值法令计算即可得. 【详解】对A：令，则有，故，故A正确； 对B：令，，则有，故，故B错误； 对C：令，则有，其中，， 令，，即有对、，当时，恒成立， 即函数为减函数，故C正确； 对D：令，则有，又， 故，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 5．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 6．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明见解析； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【知识点】求函数值、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【详解】（1）令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【详解】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 8．（22-23高一上·全国·期中）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值，即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）证明：因为函数的定义域为， 令，则，解得. 令，则，则， 所以，函数为奇函数. （2）解：任取，则， 因为当时，，则， 由（1）知，， 即，所以，函数在上单调递减， 所以，函数在上的最小值为， 因为，， ，所以，， 即函数在上的最小值为. （3）解：由（1）知，， 所以，， 因为函数在上单调递减，则，即， 解得，即不等式的解集为. 考点11 函数性质中的新定义题 1．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数新定义 【分析】利用定义判断和证明函数是否为“理想函数”. 【详解】对于选项A：若时，对，，当时， 则， 所以不为“理想函数”，故A正确； 对于选项B：若时，对，，当时， 则， 所以不是“理想函数”，故B错误； 对于选项C：时，例如， 则， 所以不为“理想函数”，故C错误； 对于选项D：若时，对，，当时， 则， 所以为“理想函数”，故D正确； 故选：D. 【点睛】思路点睛：定义型函数，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新概念.解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据“中心捺函数”的定义以及函数的单调性、奇偶性，化简不等式，求得，进而求得正确答案. 【详解】对任意，都有， 则在上单调递减. 函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数在上单调递减，则在上单调递减， 且关于对称，即是奇函数， 所以，即， 所以， 若，则，没有意义， 若，则，没有意义， 所以且， 由两边除以得， 解得，所以， 所以. 故选：C 【点睛】函数的单调性的定义有多种形式，如：任取，通过计算得到，即可判断出函数函数的单调性；也可以形如：或等形式，也可以判断出函数的单调性. 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解. 【详解】函数在上单调递增，，则，即， 由，得，即， 又函数在上单调递增，因此，于是函数在上单调递减， 而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且， 由及，得，因此或， 解，当时，，，此时不等式组无解， 当时，，，不等式组的解为， 当时，，，则有，解得，即， 因此不等式组的解为， 解，由，得，则，不等式组无解， 所以“立冬函数”的x的取值范围是. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可. 4．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．存在无数多个，有 D．存在无限实数集，对于，当时，有 【答案】BCD 【知识点】函数图象的应用、函数新定义 【分析】取特殊范围探究规律，然后作出函数图象观察即可得答案. 【详解】首先注意定义域，即，由定义可知时， 即的定义域为．故A错． 不妨取一些特殊范围进行观察： 时，，即； 时，，即； 时，，即； 接下来我们不妨找到一般性规律，且时有： 时，，即； 作出函数图象如图： 由图可知，函数的值域为，B正确； 存在无数个，使得，故C正确； 由图可知，存在无数递减区间，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】本题难点在于对新定义的理解，然后通过特殊范围探究函数规律，最后利用函数图象即可求解. 5．（多选）（23-24高一上·安徽六安·期中）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．函数不存在跟随区间 B．若为的跟随区间，则 C．二次函数存在“3倍跟随区间” D．若函数存在跟随区间，则 【答案】BC 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据函数的单调性求参数值、函数新定义 【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案. 【详解】对于A选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数， 若存在跟随区间则有，即为的两根． 即的根，故，故A错误． 对于B选项，若为的跟随区间， 因为在区间为增函数，故其值域为， 根据题意有，解得或，因为故，故B正确． 对于C选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为，当时，易得在区间上单调递增， 此时易得为方程的两根， 求解得或.故定义域，则值域为．故C正确． 对于D选项，若函数存在跟随区间， 因为为减函数， 故由跟随区间的定义可知， 即， 因为，所以． 易得． 所以， 令代入化简可得， 同理也满足， 即在区间上有两不相等的实数根． 故，解得，故D错误． 故选：BC 6．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，不是 (2)存在， 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）根据点的“界函数”的定义分析判断即可； （2）由题意得，则，都有，然后分，，和求解函数的值域，再结合求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以是点的界函数； 因为，，所以， 所以不是点的界函数； （2）因为在函数上，所以， 所以，都有. 当，即时，在上单调递减， 所以， 所以，得，解得或（舍去）； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，在上单调递增， 所以，所以，得，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)1； (3). 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数、函数新定义 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. （3）由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 8．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”. (1)若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围； (2)若是“一阶比增函数”，求证：，，； (3)若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数新定义、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由题意得在是增函数，由一次函数性质； （2）由，可得，，两式相加化简即可得结果； （3）取，满足，记，由（2）知，同理，，则一定存在，使得. 【详解】（1）由题意得在是增函数. 由一次函数性质知：当时，在（）上是增函数， （2） 是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又 ，有， ，， ，， （3）设，其中，因为是“一阶比增函数”，所以当时，. 取，满足，记，由（2）知， 同理，， 所以一定存在，使得， 所以一定有解. 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 9．（22-23高一下·广东深圳·期中）俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”. (1)若，，求函数与的“偏差”； (2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值. 【答案】(1)； (2)时，函数与的“偏差”取得最小值为 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数新定义 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差； （2）令，，结合顶点坐标和端点值分类讨论，得到不同范围下的“偏差”. 【详解】（1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ， 因为，所以，， 当，即时，此时， 则的“偏差”为，此时， 当，即时，此时， 则“偏差”为，此时，无最小值， 当，，且， 即时，则“偏差”为， 此时，无最小值， 当，，且， 即时，则的“偏差”为， 此时，无最小值， 当，，且， 即时，则的“偏差”为，此时， 当，，即时， 则的“偏差”为， 此时，无最小值， 当，，即时， 则的“偏差”为，此时， 综上， 时，函数与的“偏差”取得最小值为. 【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，解决此类问题，一般需要结合函数的性质进行分类讨论. 10．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数． (1)求证：是的生成函数； (2)若是的生成函数，判断并证明的单调性； (3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)函数在R上单调递增； (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）由生成函数的定义，判断是否满足，即可证明； （2）由题意可得，由可得，结合单调函数的定义即可求解； （3），且，设，则，由生成函数的定义可得，分两种情况讨论即可. 【详解】（1），且， ， 由，得， 则满足， 所以是的生成函数； （2）因为是的生成函数， 所以对任意区间且，使， 即，由， 得，又， 所以，即， 所以函数在R上单调递增； （3），且，设， 则，， 当时，的值域为， 对任意区间且，使且， 满足， 即， 此时是的一个生成函数. 同理，当时，的值域为， 对任意区间且，使且， 满足， 即， 此时也是的一个生成函数. 综上：是的一个生成函数. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解新定义“生成函数”的性质，以学习过的函数相关的知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题. $$