专题01 高一上期中真题精选（常考60题9类考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题01 高一上期中真题精选（常考60题9类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 集合的概念 · 集合间的基本关系 · 集合的基本运算 · 充分性与必要性 · 全称量词与存在量词 · 基本不等式 · 二次函数与一元二次方程、不等式 · 函数的概念及其表示 · 函数的基本性质 一、集合的概念（共6小题） 1．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24高一上·四川成都·期中）集合（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆·期中）将集合用列举法可以表示为（　　） A．1，2 B． C． D． 4．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（多选）（23-24高一上·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 二、集合间的基本关系（共5小题） 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 2．（多选）（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，且，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”.给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 三、集合的基本运算（共6小题） 1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知集合，则“”是“”（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·河南·期中）已知非空集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合. 5．（22-23高一上·山东枣庄·期中）已知，.若，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合，，． (1)求； (2)若是的必要条件，求a的取值范围． 四、充分性与必要性（共5小题） 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 3．（23-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知集合． (1)当时，请判断“”是“”的什么条件；（选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一） (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 五、全称量词与存在量词（共5小题） 1．（23-24高一上·北京·期中）命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 . 六、基本不等式（共5小题） 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 3．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）若a与b均为正数，且，求的最小值． 七、二次函数与一元二次方程、不等式（共6小题） 1．（多选）（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·江苏·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 6．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点都在二次函数的图象上． (1)试求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 八、函数的概念及其表示（共9小题） 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A． B．函数与不是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数，则， 6．（23-24高一上·天津·期中）设函数则 ． 7．（23-24高一下·北京石景山·期中）对于函数，，若则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B．若，且，则实数a的取值范围是 ． 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 9．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数，函数. (1)若，求的值域； (2)若： （ⅰ）解关于的不等式：； （ⅱ）设，若实数满足，比较与的大小，并证明你的结论. 九、函数的基本性质（共10小题） 1．（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 4．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 . 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数． (1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）． 7．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 8．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 10．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. $$专题01 高一上期中真题精选（常考60题9类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 集合的概念 · 集合间的基本关系 · 集合的基本运算 · 充分性与必要性 · 全称量词与存在量词 · 基本不等式 · 二次函数与一元二次方程、不等式 · 函数的概念及其表示 · 函数的基本性质 一、集合的概念（共6小题） 1．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数. 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 2．（23-24高一上·四川成都·期中）集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合 【分析】先解不等式，再根据元素是自然数求出集合内的元素即可. 【详解】解不等式，解得， 又因为，所以满足的的值有， 所以集合为， 故选：C 3．（23-24高一上·重庆·期中）将集合用列举法可以表示为（　　） A．1，2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的描述法和列举法分析求解. 【详解】对于方程，解得或， 所以，故C正确，ABD错误. 故选：C. 4．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数 【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当， 当， 当， 当， 当， 当， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B 5．（多选）（23-24高一上·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可. 【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确； 对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 二、集合间的基本关系（共5小题） 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由集合且，得，所以. 故选：D 2．（多选）（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值. 【详解】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 故选：ABD 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合间的关系可得解. 【详解】由合，，且， 则， 故答案为：. 4．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”.给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6 【知识点】集合新定义 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意可知，“孤立元”即为在集合中无与之相邻的元素， 故满足条件的集合有，共6个集合. 故答案为：6 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【答案】，，，． 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集. 【详解】当时，， 集合A的所有子集有，，，． 三、集合的基本运算（共6小题） 1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知集合，则“”是“”（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的充分不必要条件 【分析】由集合间的包含关系即可判断. 【详解】 所以, 所以“”是“” 的充分不必要条件. 故选：C 2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】分析集合的元素特性，求出集合的关系，再结合交集、并集的定义判断即得. 【详解】集合中元素，是奇数， 集合中元素，是整数，因此，ACD错误； ，B正确. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用子集的含义求解即可. 【详解】因为，又因为，所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·河南·期中）已知非空集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】补集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）代入求出集合，解一元二次不等式的到集合，再由补集和并集的运算得到结果； （2）把问题转化为是的真子集，再列不等式组求解即可； 【详解】（1）当时，. 由,得,则 或， 所以或 （2）有题意得⫋, 则得, 所以的取值集合为 5．（22-23高一上·山东枣庄·期中）已知，.若，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算 【分析】根据题中条件，考虑和两种情况，列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，若， 当时，满足题意，此时，解得； 当时，则或，解得； 综上所述：的取值范围为. 6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合，，． (1)求； (2)若是的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）直接求出集合，根据集合交并补即可得到答案； （2）转化为，再分和讨论即可. 【详解】（1）因为或， ， 所以， . （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故的取值范围为. 四、充分性与必要性（共5小题） 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 【答案】A 【知识点】充分条件的判定及性质 【分析】根据不等式表示的范围大小得出和的包含关系，即可得出结论. 【详解】易知集合是集合的真子集， 即可得，所以是的充分而不必要条件. 故选：A 3．（23-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）当时，可得，结合集合的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据给定条件，转化成集合的真包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）当时，可得， 因为集合， 则 又由或， 则或或. （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得， 因为，， 可得且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算 【分析】（1）解不等式得到，求出补集，从而利用交集概念求出答案； （2）是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）时，， ，故或， 故或； （2）“”是“”必要不充分条件，故是的真子集， ，， 故，解得， 故实数的取值范围是 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知集合． (1)当时，请判断“”是“”的什么条件；（选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一） (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)充分不必要条件 (2) 【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式、根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）分别求出集合A和B，即可判断； （2）因为命题“”是真命题，所以， 然后分类讨论求出集合B，即可判定. 【详解】（1）由，得，所以， 当时，由，得，所以， 因为为的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. （2）因为命题“”是真命题，所以， 由，得， ①若，则，，舍去， ②若，则，，舍去， ③若，则，因为，所以， 综上，的取值范围是． 五、全称量词与存在量词（共5小题） 1．（23-24高一上·北京·期中）命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可. 【详解】因为命题，，所以：，. 故选：C 2．（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】当时，， 则当时，取得最大值，依题意，，解得， 因此命题“，”为真命题的充要条件是，C不是； 显然，分别是该命题为真命题的一个充分不必要条件，AB不是； 是该命题为真命题的一个必要不充分条件，D是． 故选：D 3．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可. 【详解】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有 故选：ABC 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】计算出的范围后，再找其真子集即可得到. 【详解】因为命题“，使”是真命题， 所以大于等于在上的最小值，即， 选项中及都是的充分不必要条件，故BD正确. 故选：BD. 5．（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】取得到，恒成立，得到答案. 【详解】取，则，恒成立，故“”为假命题. 故答案为： 六、基本不等式（共5小题） 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 2．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 3．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C. 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、条件等式求最值 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）若a与b均为正数，且，求的最小值． 【答案】3 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】a与b均为正数，且，则， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为3. 七、二次函数与一元二次方程、不等式（共6小题） 1．（多选）（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的求解方法逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由，得，解得，所以A正确， 对于B，由，解得或，所以B正确， 对于C，，因为，所以不等式的解集为，所以C错误， 对于D，，因为，所以不等式的解集为，所以D正确， 故选：ABD 2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， . 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 3．（23-24高一上·江苏·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【详解】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，，然后求出两不等式的公共部分即可． 【分析】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且，解得且． 故答案为：且． 4．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可. 【详解】结合题意知．即解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）结合条件，代入解析式求解即可； （2）将问题转化为求的解集，讨论的范围即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 即. （2）由，可得不等式，即， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 6．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点都在二次函数的图象上． (1)试求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)实数的取值范围为. 【知识点】求二次函数的解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）利用点在二次函数图象上，列出方程组求解即得. （2）利用一元二次不等式恒成立，列出不等式求解即得. 【详解】（1）由点都在二次函数的图象上，得， 所以. （2）由（1）知， 不等式恒成立，即恒成立， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 八、函数的概念及其表示（共9小题） 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据题意求出的解析式，由二次根式内部的代数式大于等于0即可求解的定义域. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 则的定义域为； 故选：A 2．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】解分段函数不等式、函数新定义 【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可. 【详解】令，解得， 当时，，，即，且，解得； 当时，，，即，且，解得， 当时，， ，而为正实数，则此种情况无解， 所以正实数的取值范围为或. 故选：A 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】分和两种情况求解不等式即可. 【详解】解：①当时，由，得， 即，所以，解得； ②当时，由，得， 所以，解得，或（舍去）， 综上：， 故选：B． 5．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A． B．函数与不是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数，则， 【答案】BCD 【知识点】抽象函数的定义域、已知f（g（x））求解析式、判断两个函数是否相等 【分析】对于A，利用集合和元素的关系进行判断；对于B，利用是否为同一个函数的依据进行判断；对于C，利用抽象函数定义域的求法进行求解；对于D，利用配凑和换元求解析式即可. 【详解】对于A，代表的是自然数集，显然-5不是自然数，故A错误； 对于B，虽然两个函数的定义域一致，但是，与的对应关系不同，因此不是同一个函数，故B正确； 对于C，若的定义域为，则在中，即， 的定义域为，故C正确； 对于D，由，令，， 则，， ，，故D正确； 故选：BCD. 6．（23-24高一上·天津·期中）设函数则 ． 【答案】/ 【知识点】求分段函数值 【分析】先计算出，进而计算出. 【详解】，. 故答案为： 7．（23-24高一下·北京石景山·期中）对于函数，，若则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B．若，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、函数新定义 【分析】理解时，它表示方程与方程有相同的实根，根据这个分析得出求出a的值． 【详解】∵，∴方程有实根， 时，符合题意， 时，则，∴． 又，所以方程，即的左边有因式， 从而有． ∵，∴要么没有实根，要么实根是方程的根． 若没有实根，时，符合题意， 时，则，∴； 若有实根且实根是方程的根， 则由方程，得， 代入，有，由此解得， 再代入得 ，由此， 故a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛： 本题中方程与方程有相同的实根，关键点在于的因式分解，由不一定是二次函数，要考虑是否等于0. 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、解分段函数不等式 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 9．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数，函数. (1)若，求的值域； (2)若： （ⅰ）解关于的不等式：； （ⅱ）设，若实数满足，比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ）当且时，；当或时，，证明见解析 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域. （2）利用即可求出不等式的解集，然后证明，再代入解析式证明，最后判断不等号两边相等的条件即可. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 而，故为奇函数， 当时，; 当时，，而在上的值域为, 故此时，结合为奇函数可得的值域是. （2）若： （ⅰ） 由于， 故不等式等价于，即或. 由是负数，知原不等式的解集为； （ⅱ） 由于关于的方程有解，故关于的方程有解. 如果，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即. 从而和这两个结论中，至少有一个成立. 但当时，亦有. 故一定成立，所以. 同理，所以. 故，所以. 所以由，即可得到. 根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当且. 综上，比较的结果为： 当且时，； 当或时，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式. 九、函数的基本性质（共10小题） 1．（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值 【分析】先依次解出不等式、和的解，进而得函数的解析式，再通过研究函数单调性即可得解. 【详解】因为；；， 所以可得， 又将代入得；将代入得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 将代入得，将代入得， 所以函数在处取得最大值为，无最小值. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调增函数，则. 故选：B 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式. 【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数， 由对任意的，当时，有成立， 得在上单调递减， 因此函数在上单调递增，由，得， 不等式，因此，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】分离参数得，再设新函数，求出其最小值即可. 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令，因为在区间上单调递减， 则在区间上也单调递减， 所以， 所以，则实数m的最小值是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据奇函数定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. （3）当时，， 则， 其对称轴为， 当时，即，则， 当时，即，则， 故. 6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数． (1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、解含有参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）不等式 在 上恒成立, 转化为 在 上恒成立, 求出 在 上的最小值即可求出 的取值范围； （2） 将不等式 化为 ,讨论 的取值即可求解不等式的解集. 【详解】（1）， 不等式化为， 即， 不等式在上恒成立， 在上恒成立， 即在上恒成立， ， 设，，根据对勾函数的性质知其在上单调递减，在上单调递增， 当；当；当， ， ，即的取值范围是. （2）不等式化为， 即， 即， ①当时，不等式为，不等式解集为， ②当时，即时，不等式为，不等式解集为; ③当时，，不等成解集为; ④当时，，不等式解集为 ⑤时，不等式解集为. 7．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知函数类型求解析式、由奇偶性求函数解析式、求二次函数的解析式 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）由（1），利用奇函数定义求出函数的解析式. 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 8．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 10．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求解析式中的参数值 【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. $$