专题04 二次函数与一元二次方程、不等式（考点清单+知识导图+ 9个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单04 二次函数与一元二次方程、不等式 （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】四个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单02】一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【清单03】分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 【解题方法】十字相乘法+分类讨论法 【例1-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数，． (1)解关于的不等式； 【变式1-1】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； 【例1-2】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式. 【变式1-2】（2024高一·全国·专题练习）求不等式的解集． 【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 【解题方法】十字相乘法+分类讨论法 【例2-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）解关于x的不等式. 【变式2-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)解关于x的不等式． 【例2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式. 【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 【解题方法】法 【例3-1】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式. 【变式3-1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数与不等式的关系，在时，求解实系数一元二次不等式． 【例3-2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值与最小值； (2)求不等式的解集. 【变式3-2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数. (1)若的解集为，求实数的值； (2)若，求不等式的解集. 【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【解题方法】根与系数的关系 【例4-1】（多选）（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（23-24高一上·湖北·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【例4-2】（23-24高三上·上海徐汇）已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 【变式4-2】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【考点题型五】解分式不等式 【解题方法】转化为一元二次不等式 【例5-1】（23-24高二上·陕西宝鸡）不等式的解集是 . 【变式5-1】（23-24高一上·广东·开学考试）不等式：的解为 ． 【例5-2】（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【变式5-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【考点题型六】一元二次不等式在上恒（能）成立 【解题方法】判别法+分类讨论法 【例6-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【变式6-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）二次函数的图象恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 . 【例6-2】（23-24高一上·广东珠海·期中）命题：，为真命题，则实数的取值范围为 . 【变式6-2】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）关于x的不等式，其中． (1)当时，求该不等式的解集 (2)若存在，成立，求实数a的取值范围 【考点题型七】不等式在区间上恒（能）成立 【解题方法】变量分离法 【例7-1】（2024高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 【变式7-1】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【例7-2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【变式7-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设函数．已知关于的不等式的解集为 (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数m的取值范围. 【考点题型八】一元二次不等式的实际问题 【解题方法】分解因式解不等式 【例8-1】（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【变式8-1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【例8-2】（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【变式8-2】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【考点题型九】一元二次不等式中的新定义问题 【例9-1】（23-24高一上·江苏扬州）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足:，都有，则称这个函数是点A的“界函数”. （1）若函数是点的“界函数”，求需满足的关系； （2）若点在函数的图象上，是否存在使得函数是点B的“界函数”? 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【例9-2】（23-24高一上·北京大兴·期中）对于非空有限整数集X，，定义，对现有两个非空有限整数集A，B，已知且． (1)当时求集合B； (2)证明：； (3)当且时，任取构造函数问：当a，b取何值时，的最小值最小? 提升训练 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（多选）（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·福建南平·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江衢州）“”成立的一个充分不必要条件是（  ） A．或 B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 三、填空题 11．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 12．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 13．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知函数，． (1)当时，，求的最小值； (2)当时，，求关于x的不等式的解集． 14．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数． (1)对任意函数恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 二次函数与一元二次方程、不等式 （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】四个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单02】一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【清单03】分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 【解题方法】十字相乘法+分类讨论法 【例1-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数，． (1)解关于的不等式； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）因式分解得到，分，和三种情况，求出不等式的解集； 【详解】（1）不等式即为， ∴， 方程的两根分别为2和， 当时，解不等式可得， 当时，不等式无解， 当时，解不等式可得， 综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 【变式1-1】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； 【答案】(1)答案见解析； 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）将不等式因式分解，对参数a进行讨论即可； 【详解】（1）,即，即， 当时,原不等式解得; 当时，原不等式无解; 当时,原不等式解得; 综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【例1-2】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】利用因式分解，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【详解】原不等式可化为. 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式1-2】（2024高一·全国·专题练习）求不等式的解集． 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据二次函数图象性质对参数进行分类讨论即可. 【详解】不等式，可化为， 即， 令，解得，， 当时，，解集为或； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 【解题方法】十字相乘法+分类讨论法 【例2-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】先将不等式变形，然后分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】不等式化为， ①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式2-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由不等式的解集为，得出1，2是方程的根且，代入求解即可； （2）分类讨论，当，，，，，结合一元一次不等式及一元二次不等式的解法求解即可． 【详解】（1）∵的解集为， ∴1，2是方程的根且， ∴， ∴， ∴． （2）当时，，∵，∴，∴； 当时，，即，即， 当时，，∴或； 当时，， （ⅰ）当时，无解； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，； 综上所述：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 【例2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，不等式可化为一次不等式：，则有. 当时，不等式可化为二次不等式. ①当时，，可得或； ②当时. 时，则； 时，解集为； 时，则. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 【解题方法】法 【例3-1】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，由，不等式的解集是. （2）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. （3）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. （4）当时，因为， 方程的两相等根为，不等式的解集是. （5）当时，因为， 方程无实根，所以不等式的解集是. 综上所述： 当时， 不等式的解集是. 当时， 不等式的解集是. 当时，不等式的解集是. 当时，不等式的解集是；. 当时， 不等式的解集是. 【变式3-1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数与不等式的关系，在时，求解实系数一元二次不等式． 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】令，，分、和三种情况，利用的图象，即可求出结果. 【详解】令，因为，所以图象开口向下， 又， 当时，无解，图象恒在轴下方，此时的解集为， 当时，恰有一解，图象与轴有一个交点， 此时的解集为， 当，有两解，，且， 此时的解集为或， 所以，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 【例3-2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值与最小值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据二次函数的单调性来求最值； （2）分，，讨论，分别求解即可. 【详解】（1）对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， ， ； （2）易知函数的判别式， ①当时，等价于， 则的解集为； ②当时，，方程的两根分别为 ，且， 则的解集为； ③当时，，则的解集为. 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【变式3-2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数. (1)若的解集为，求实数的值； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）的解集为即且和是方程的两根，列式求解即可； （2）根据图像与x轴的交点情况分类讨论，确定解集. 【详解】（1）由题设知，且和是方程的两根， 所以，解得. （2）①若，则，此时图像恒在x轴上方，所以的解集为； ②若，则，此时的图像开后向上且与x轴只有一个交点，所以的解集为； ③若，则，此时图像与x轴有两个交点， 令，解得， 所以此时的解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【解题方法】根与系数的关系 【例4-1】（多选）（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合根与系数关系，逐一判断即可. 【详解】根据题意不等式的解集为,可得， 由得，， 即，，,,,． 故选： 【变式4-1】（多选）（23-24高一上·湖北·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函数有最大值，A正确；由可知即B正确；利用韦达定理可得，即可知C错误；易知不等式可化为，解得可知D正确. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 函数开口向下，有最大值，A正确； 又，函数值即B正确； 又是关于的二次方程的两根，则， 所以，则C错误； 不等式即为，即， 解得或，，D正确. 故选：ABD. 【例4-2】（23-24高三上·上海徐汇）已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 【答案】9 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由已知，的最小值为0，可得到的关系.由的解集为，可得对应一元二次方程的两根之差为6，根据韦达定理可得关系式，两式联立，即可求得的值. 【详解】因为函数的值域为， 所以的最小值为0， 即，则， 不等式的解集为，即解集为， 则的两个根、分别为、， 所以两根之差为， 由韦达定理得，， 因为， 将代入得， ，解得． 故答案为：9. 【变式4-2】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】由不等式的解集可求出的值，代入不等式求解即可. 【详解】依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 【考点题型五】解分式不等式 【解题方法】转化为一元二次不等式 【例5-1】（23-24高二上·陕西宝鸡）不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，进而利用不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式，可得或. 不等式组，解得，即； 不等式组，解得，即. 综上可知，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式5-1】（23-24高一上·广东·开学考试）不等式：的解为 ． 【答案】或 【知识点】方程与不等式、分式不等式 【分析】根据题意结合有理数的除法法则可得或，再解不等式组即可． 【详解】由，得或，解得或， 所以不等式的解为或. 故答案为：或 【例5-2】（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 【变式5-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）（2）（3）将分式不等式转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解即可. 【详解】（1）由于，所以， 解得或，所以的解集为：或. （2）由于，所以， 解得，所以的解集为：. （3）由于，所以， 所以，解得或， 所以的解集为：或. 【考点题型六】一元二次不等式在上恒（能）成立 【解题方法】判别法+分类讨论法 【例6-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先由题得，有，接着按时和时两种情况分类讨论即可得解. 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以，使得， 当时，有，符合； 当时，则有即， ， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）二次函数的图象恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意可得在R上恒成立，则，解不等式即可得出答案. 【详解】因为二次函数的图象恒在直线的上方， 所以， 即在R上恒成立， 所以，即， 解得：. 故答案为：. 【例6-2】（23-24高一上·广东珠海·期中）命题：，为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据条件将问题转化不等式在上有解，利用判别式求解. 【详解】因为命题：，为真命题， 所以不等式在上有解， 当时，不等式可化为，得，符合题意； 当时，由题意得，即， 解得，结合，得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）关于x的不等式，其中． (1)当时，求该不等式的解集 (2)若存在，成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)或 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）解出对应二次方程的两根，结合图像，即可得；（2）存在，成立，即，与x轴有两个交点，，故即可. 【详解】（1）根据题意，当时，原式为， 解得， 因此不等式的解集为 （2）由题意知，有解， 即，与x轴有两个交点， 则 解得或， 所以实数a的取值范围是或 【考点题型七】不等式在区间上恒（能）成立 【解题方法】变量分离法 【例7-1】（2024高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】6 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据二次函数的性质求解最值即可求解. 【详解】由题意得，， 令， 则，所以，即实数的最小值为6. 故答案为：6 【变式7-1】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可； （2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可； 【详解】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 【例7-2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 【变式7-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设函数．已知关于的不等式的解集为 (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据题意，和1是方程的两个根，由韦达定理求解； （2）将问题转化在区间内有解，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，不等式即的解集为， 所以和1是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， ∴. （2）∵关于的方程在区间内有解, ∴在区间内有解， 当时，，当且仅当时取等号， 则. 【考点题型八】一元二次不等式的实际问题 【解题方法】分解因式解不等式 【例8-1】（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、一元二次不等式的实际应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式. （2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解. 【详解】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 【变式8-1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1). (2). 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 【例8-2】（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)，面积最小为平方米 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得的范围. （2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积， 因为矩形的面积不大于平方米， 所以，而，所以整理得， 解得，所以的长的取值范围是. （2）矩形花坛的面积， 当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米． 【变式8-2】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、一元二次不等式的实际应用、解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值； （2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论. 【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 【考点题型九】一元二次不等式中的新定义问题 【例9-1】（23-24高一上·江苏扬州）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足:，都有，则称这个函数是点A的“界函数”. （1）若函数是点的“界函数”，求需满足的关系； （2）若点在函数的图象上，是否存在使得函数是点B的“界函数”? 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）存在， 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据二次函数的最值或值域求参数、函数新定义 【解析】（1）（2）根据点在函数的图象上，从而得出，，都有，从而讨论时，得出函数在，上的值域为，从而可得出的范围；同理，讨论和时，求出函数的值域，让该值域是集合的子集，从而可得出的范围． 【详解】（1）由函数是点的“界函数”，且函数为增函数， 当时，值域为， 因为， 所以， （2）在函数的图象上， ， ，，都有， ①，即时，在，上单调递增， ， ， ，解得，又， 这种情况不合题意； ②，即时， 由，可得或， 且， ，解得， ③，即时，在，上单调递减， ， ， ，解得，又， 这种情况不合题意， 综上得，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：考查了对“界函数”定义的理解，二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，二次函数值域的求法，子集的定义，考查了计算和推理能力，属于难题． 【例9-2】（23-24高一上·北京大兴·期中）对于非空有限整数集X，，定义，对现有两个非空有限整数集A，B，已知且． (1)当时求集合B； (2)证明：； (3)当且时，任取构造函数问：当a，b取何值时，的最小值最小? 【答案】(1)为，，，. (2)证明见详解 (3)当时的最小值为 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系、求二次函数的值域或最值、集合新定义 【分析】（1）,可得可能为，然后逐一讨论检验即可； （2）由集合的新定义，逐一取值迭代，由集合的有限性进行检验取舍； （3）由可知，中元素，必为的解，进而可得，接着可得，再求出最小值，即可得到a，b取何值时，的最小值最小. 【详解】（1） 因为,，所以可能为， 当时，不满足非空，不合题意； 当时，所以， ， 当时，所以， ， 当时，所以，,, ,,,,, 又，可得为，，，. （2）设,因为，所以， 又，所以， 取则，，， 无限迭代，而为有限集，不合题意，舍去；即 取则，， 可得集合可为 ； 取则， ，， 可得集合可为； 取则，又所以 取则， ，， 可得集合可为， 取则， ，， 无限迭代，而为有限集，不合题意，舍去；即 同理当或,且时不符合为有限集，舍去； 故由上可得集合可为，，， 所以， （3）当且时 设,则， 时，不为整数，不合题意； 时，不为整数，不合题意； 所以，又则， 任取构造函数 所以， 又， ， 即当时的最小值为. 【点睛】方法点睛：从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，整体进行迁移运用. 提升训练 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】因式分解，求出不等式解集. 【详解】，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用韦达定理求出，，再将通分代入计算可得. 【详解】因为，是方程的两个根，显然， 则，， 所以. 故选：D 3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】转化为求解即可. 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 4．（多选）（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，， 故选：AC 5．（23-24高二下·福建南平·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】根据题意结合分式不等式的解法分析求解. 【详解】因为，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 6．（23-24高二上·浙江衢州）“”成立的一个充分不必要条件是（  ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】充分条件的判定及性质、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，解出不等式，然后将充分不必要条件转化为真子集关系，即可得到结果. 【详解】解不等式可得，解得或， 所以不等式的解集为或， 因此不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围是解集的真子集， 即是或的真子集. 故选：B 7．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 8．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】由，知，原不等式等价于，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集. 【详解】由，则，原不等式等价于不等式的解集， 又由，则方程的两根分别为， 当时，，故原不等式的解集为. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的解集. 【详解】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD. 【详解】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 11．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】利用可以得到，利用韦达定理可构建关于的方程，解方程即可求解. 【详解】由是关于的方程的两个实数根， 则，， 因为，故，即， 所以， 化简得， 解得或 故答案为：或. 12．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知函数，． (1)当时，，求的最小值； (2)当时，，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：因为时，，可得， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时取等号，即，时取得最小值为． （2）解：因为当时，，可得， 则， 因为，所以，则解不等式可得或， 则不等式的解集为或． 14．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数． (1)对任意函数恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）函数恒成立问题结合二次函数的性质与图象分类讨论得出参数范围； （2）分，，，，，五种情况得出解集． 【详解】（1）因为对任意函数恒成立， 即对任意恒成立，所以，， 当时，在上单调递减，所以， 所以，不满足对任意恒成立； 因为， 当时，令，解得，， 当时，，即，在上单调递减， 所以，，不满足对任意恒成立； 当时，，即， 则所以， 所以，解得或，又因为，所以； 当时，，，满足在上恒成立， 当时，，即， 则在上单调递增，所以， 满足在上恒成立， 综上所述，，即的取值范围为； （2）当时，，由，解得 当时，令，解得，． 当时，，即，， 由，解得；当时，，即， ，解得或；当时，， 由，解得；当时，，即，由，解得或； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$