专题02 常用逻辑用语（考点清单+知识导图+ 6个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单02 常用逻辑用语 （6个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【清单02】从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【清单03】充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【清单04】全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 【清单05】常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【考点题型一】充分性，必要性的判断 【解题方法】小范围推大范围，大范围不能推小范围 【例1-1】（23-24高二下·浙江·期末）设为实数，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（24-25高三上·四川泸州·开学考试）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-2】（多选）（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·江苏苏州）在上有解的一个必要不充分条件可以是 . 【考点题型二】根据充分性，必要性求参数 【解题方法】数轴法，小范围推大范围，大范围不能推小范围 【例2-1】（23-24高一上·湖南益阳·阶段练习）已知合，或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【变式2-1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【例2-2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨）设：，：（），若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式2-2】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数k的取值范围； (2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围． 【考点题型三】命题的否定 【解题方法】根据含有全称（特称）量词的命题的否定原则写。 【例3-1】（24-25高一上·江西上饶·开学考试）命题“，有”的否定是（    ） A．，有 B．，有 C．，有 D．，有 【变式3-1】（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知命题，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3-2】（24-25高三上·四川泸州·开学考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知命题，则p的否定是（    ） A．B． C． D． 【考点题型四】根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【解题方法】根据命题的否定，求出真命题解题，常涉及变量分离法，判别法 【例4-1】（23-24高三上·四川南充·阶段练习）设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是 . 【变式4-1】（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【例4-2】（23-24高一上·广西南宁·期中）已知命题：，.若命题为假命题，则实数的取值范围是 . 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题p：，使得为真命题，试求实数a的取值范围． 【例4-3】（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4-4】（多选）（23-24高一上·湖北随州·阶段练习）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 【变式4-4】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若“”，“”均为真命题，则的取值范围为 ． 【考点题型五】不等式在非区间上恒（能）成立问题 【解题方法】分离变量，求最值 【例5-1】（2024高一·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例5-2】（24-25高一上·全国·课前预习）若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是 ． 【变式5-2】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为 ． 【例5-3】（多选）（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-3】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点题型六】二次函数在区间上的恒（能）成立问题 【解题方法】判别法 【例6-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【例6-2】（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）若存在，使得成立，则实数的取值范围 . 【变式6-2】（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 【考点题型七】常用逻辑用语中新定义题 【例7-1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 【例7-2】（23-24高一上·上海徐汇）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联． (1)判断函数是否是关联，并说明理由： (2)若是关联，当时，，解不等式：； (3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．任意 B．任意 C．存在 D．存在 3．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津和平）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0）∪（0，4） B．（0，4） C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[0，4] 二、多选题 9．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（23-24高一下·浙江）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 四、解答题 13．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知集合 . (1)若 ，求 ; (2)若“ ”是“ ”充分不必要条件，求实数 的取值范围. 14．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 15．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 常用逻辑用语 （6个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【清单02】从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【清单03】充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【清单04】全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 【清单05】常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【考点题型一】充分性，必要性的判断 【解题方法】小范围推大范围，大范围不能推小范围 【例1-1】（23-24高二下·浙江·期末）设为实数，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】若，而，则，充分性成立， 取，，此时，但，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高三上·四川泸州·开学考试）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由，解得或，结合充分、必要条件即可判断. 【详解】因为，解得或，所以若，则，则或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【例1-2】（多选）（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据题意分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为，，若“”是真命题， 当时，则，即，解得或， 当时，则由题意可得方程有两个非负实数根， 所以，解得， 综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为， 故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意. 故选：BCD 【变式1-2】（23-24高一上·江苏苏州）在上有解的一个必要不充分条件可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】在上有解等价于：在上有解，因此求出的最小值，可得，即可得在上有解的一个必要不充分条件. 【详解】因为在上有解等价于：在上有解， 而函数的最小值在时取得，最小值为， 所以在上有解的充要条件是， 因此在上有解的一个必要不充分条件可以是， 故答案为： 【考点题型二】根据充分性，必要性求参数 【解题方法】数轴法，小范围推大范围，大范围不能推小范围 【例2-1】（23-24高一上·湖南益阳·阶段练习）已知合，或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）代入化简集合，再利用集合的交集运算，结合数轴法可得结果； （2）利用集合与充要条件的关系得到是的真子集，结合数轴法即可求得m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以或或， 又因为， 所以. （2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 又因为，或， 所以或，故或， 故实数m的取值范围为. 【变式2-1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、交集的概念及运算 【分析】（1）当时，得，由交集运算即可求解； （2）由题可知真包含于，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，又， 所以=； （2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于， ①当时，； ②当时，由真包含于得（等号不能同时成立）， ， 综上所述，. 【例2-2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨）设：，：（），若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】设，，化简集合,再解不等式组即得解. 【详解】设，所以， 设，所以， 因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集， 即，所以. 所以实数a的取值范围为. 【变式2-2】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数k的取值范围； (2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）解出集合A，由已知得出，解出参数范围； （2）原条件等价于BA.讨论集合B是否为空集，根据集合关系解出参数范围. 【详解】（1）易得． 由知，．所以，解得． （2）p是q的必要不充分条件等价于BA． ①当时，，解得，满足． ②当时，原问题等价于（不同时取等号） 解得． 综上，实数k的取值范围是． 【考点题型三】命题的否定 【解题方法】根据含有全称（特称）量词的命题的否定原则写。 【例3-1】（24-25高一上·江西上饶·开学考试）命题“，有”的否定是（    ） A．，有 B．，有 C．，有 D．，有 【答案】C 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知命题，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得： 命题的否定是． 故选：D 【例3-2】（24-25高三上·四川泸州·开学考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由命题否定的定义即可求解. 【详解】由命题否定的定义可知，命题“”的否定是. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知命题，则p的否定是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定形式可得. 【详解】由存在量词命题的否定形式可知： 的否定为. 故选：B 【考点题型四】根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【解题方法】根据命题的否定，求出真命题解题，常涉及变量分离法，判别法 【例4-1】（23-24高三上·四川南充·阶段练习）设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题是真命题，即可根据命题得出，，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出在上的最小值，即可得出答案. 【详解】是假命题， 是真命题， ，， ，， 当时，，当且仅当时，即时，等号成立， ，可取到， ， ， 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】转化为最值问题，由一次函数性质列式求解． 【详解】由题意得时，， 则，解得， 故答案为： 【例4-2】（23-24高一上·广西南宁·期中）已知命题：，.若命题为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】写出命题的否定，则为真命题，从而得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】命题：，， 则：，， 因为命题为假命题，所以命题为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题p：，使得为真命题，试求实数a的取值范围． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】转化为命题的否定为假命题，求出其范围即可. 【详解】命题p的否定为：“对，均有”， 设，， 由题意，有 解得. 因为命题p为真命题，所以p的否定为假命题， 所以，即a的取值范围是． 【例4-3】（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 【变式4-3】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：A． 【例4-4】（多选）（23-24高一上·湖北随州·阶段练习）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 【答案】BCD 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】考虑与两种情况，结合方程有根，得到的取值范围，求出答案. 【详解】当时，，为真命题，则成立， 当时，若为真命题，则，解得且， 综上，为真命题时，的取值范围为. 故选：BCD 【变式4-4】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若“”，“”均为真命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据带量词命题的真假，结合二次函数的图象，得出参数满足的条件，求解即得. 【详解】因“”为真命题，则得，解得． 又“”为真命题，则得，解得． 综上，则得． 故答案为：. 【考点题型五】不等式在非区间上恒（能）成立问题 【解题方法】分离变量，求最值 【例5-1】（2024高一·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分离参数，把问题转化为，构造，利用单调性求得最值，即可求解范围. 【详解】当时，由得，则. 令，则根据对勾函数单调性知，在上是减函数， 所以时，则，所以的取值范围是. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】条件可转化为的根一个小于1，另一个大于2，结合二次方程区间根结论列不等式求范围. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以的根一个小于1，另一个大于2， 如图，可得，解得，    所以的取值范围是. 【例5-2】（24-25高一上·全国·课前预习）若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题意得在时恒成立，令，根据二次函数的性质求出有最小值时的取值，求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得在时恒成立， 令，所以在时恒成立， 因为二次函数图象对称轴为， 所以当时有最小值为， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分类讨论，结合一元二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，不等式为，显然成立； 当时，记，为二次函数，对称轴为， 当时，由，得， 由题意得，解得； 当时，由，得， 由题意得，解得， 综上，. 故答案为：. 【例5-3】（多选）（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AB 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可. 【详解】由，， 可得：，设， 当时，， 当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 【变式5-3】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式的恒成立问题 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 【考点题型六】二次函数在区间上的恒（能）成立问题 【解题方法】判别法 【例6-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 【变式6-1】（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意，即“”是真命题，结合二次函数的图象与性质对的符号分类讨论即可. 【详解】根据题意可得“”是真命题， 当，即时，命题成立； 当时，得，解得， 综上，符合题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 【例6-2】（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）若存在，使得成立，则实数的取值范围 . 【答案】或 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】借助一元二次函数图像位置即可求解. 【详解】根据题意即不等式有解， 由 得或 故答案为：或 【变式6-2】（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可. 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件. 故选:D. 【考点题型七】常用逻辑用语中新定义题 【例7-1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）；（2）充分非必要条件，理由见解析. 【知识点】判断命题的充分不必要条件、不等式 【分析】（1）根据已知列出不等式，计算求解即可； （2）由，分，，两种情况，根据不等式性质，依次推理可得，即可得出为充分条件，当“x比y更接近m”时，可知，观察可知，不一定成立,即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，即，解得：，则实数的取值范围是. （2）①由题意可知. 1）若，则，显然必有 那么，若，则显然，满足, 若，则必有，满足 2）同理若，则，显然必有 那么，，则显然，满足,若，则必有，满足 是“x比y更接近m”的充分条件, ②x比y更接近m，则，或, 显然存在成立. " x比y更接近m "不是的必要条件 综上是"x比y更接近m"的充分非必要条件. 【点睛】本题考查新定义"接近"的理解和运用，考查充分、必要条件的证明，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题. 【例7-2】（23-24高一上·上海徐汇）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联． (1)判断函数是否是关联，并说明理由： (2)若是关联，当时，，解不等式：； (3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． 【答案】(1)函数是关联，函数不是关联，理由见解析 (2)或 (3)必要不充分条件，证明见解析 【知识点】判断命题的必要不充分条件、抽象函数的定义域、抽象函数的值域、函数新定义 【分析】（1）根据给定的定义为时，求的取值区间即可判断作答. （2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答. （3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答. 【详解】（1）函数是关联，证明如下： 任取R，若，则， 所以函数是关联； 函数不是关联，证明如下：： 若，则， 所以函数不是关联； （2）因是关联，则，有，即， 当时，，而， 即，解得或，所以不等式的解集为或， 当时，， 所以当时，， 而，得，解得，所以不等式的解集为， 当时，或当时，，此时不等式无解； 综上得或， 所以不等式的解集为或，. （3）“是关联”是“是关联”的必要不充分条件，证明如下， 易得函数是关联，但时，所以函数不是关联； 所以充分性不成立； 当函数是关联时，即，， 则有，，即有， 又，则有，于是得， 从而得，即函数是{2}关联； 所以“是关联”是“是关联”的必要不充分条件. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数（式）大小、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解. 【详解】由可得， 由可得或， 故能得到，同时也无法推出， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．任意 B．任意 C．存在 D．存在 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可． 【详解】对于A，若，，当时，成立， 所以“，”推不出“”，A不满足条件； 对于B，，，则，即， 所以“，”“”， 若，则，不妨取，，，则， 所以“”推不出“”， 所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件； 对于C，若，则，使得，即， 即“”“，”， 所以“，”是“”的必要条件，C不满足条件； 对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立， 所以“，”推不出“”，D不满足条件. 故选：B. 3．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 4．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据题意得到命题的一个充要条件，然后将充分不必要条件转化为真子集，再结合选项即可得到结果. 【详解】命题“”为真命题， 可化为命题“”恒成立， 时显然成立． 当时只需的最小值即可．解得． 故命题“”为真命题的一个充要条件是， 由选项可知，A符合题意． 故选：A． 5．（23-24高一上·天津和平）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选：C. 6．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断、含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】先将命题“，”为假命题转化“，”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解. 【详解】命题“，”为假命题， 即命题“，”为真命题， 则，解得， 对于A：是命题“”为假命题的充要条件，即选项A错误； 对于B：是的真子集，所以是“”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B错误； 对于C：是的真子集，所以是 “”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C正确； 对于D：与无包含关系，所以是“”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D错误. 故选：C. 7．（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，等价于“任意的，使得等式成立”是真命题，又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0）∪（0，4） B．（0，4） C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[0，4] 【答案】D 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，利用判别式法即可求解． 【详解】由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0， ∴＝a2﹣4×1×a≤0，解得：a∈[0，4]． 故选：D． 二、多选题 9．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】举例判断A，利用实数运算判断B，利用配方法判断CD. 【详解】对于A项，当时，满足，A项正确； 对于B项，因为，，且，所以，B项正确； 对于C项，，，C项正确； 对于D项，因为，所以无解，D项错误. 故选：ABC. 10．（23-24高一下·浙江）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】化简得，再利用集合的关系判断得解. 【详解】，所以. 设,设选项对应的集合为, 因为选项是“”的一个充分不必要条件， 所以是的真子集. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：判断充分必要条件的常用方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断得解. 三、填空题 11．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数、几何意义解绝对值不等式 【分析】先求解绝对值不等式，由是的充分不必要条件，可得，列出不等式组，求解即可 【详解】 记 由是的充分不必要条件，可得，且 故，且等号不同时成立，解得 故答案为： 12．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据全称命题的真假求参数、已知命题的真假求参数 【分析】先求出，为真命题时的取值范围，可得与同时为真命题时的取值范围，进而即得. 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知集合 . (1)若 ，求 ; (2)若“ ”是“ ”充分不必要条件，求实数 的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、补集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 所以，所以或 （2）因为“ ”是“ ”充分不必要条件， 所以 时，，所以； 时， ，所以 ， 综上，取值范围是 14．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算 【分析】（1）根据集合的并运算法则进行运算即可； （2）依题得，分和两种情况谈论，根据条件列出不等式，解出即可. 【详解】（1）因为， 所以 因为或 所以或 或. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以, 所以①若，则，即,满足题意； ②若， 则或， 即或 所以或 综合①②知，实数的取值范围为. 15．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）若是的必要不充分条件，转化为B是A的真子集．然后用集合的知识来解题即可； （2）“”为假命题转化为命题的否定为真命题，即“”为真命题，运用关于的一次函数来解题即可. 【详解】解：（1）由是的必要不充分条件，得B是A的真子集， 或 则当时，，解得， 当时，，或，解得或， 综上所述，． （2）由题意知“”为真命题． 令， 则，即，解得 所以x的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$