专题03 第三章 函数的概念与性质（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

人教版（2024）数学高一上期中考点大串讲 串讲03 第三章 函数的概念与性质 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 知识回顾1：函数的定义 知识回顾2：函数的三要素 知识回顾3：求函数解析式 知识回顾4：函数图象的对称变换 知识回顾5：函数图象的翻折变换（绝对值变换） 知识回顾6：函数的单调性 知识回顾6：函数的单调性 知识回顾7：函数的奇偶性 知识回顾8：函数奇偶性的判断 知识回顾8：函数奇偶性的判断 知识回顾8：函数奇偶性的判断 考点一：求常规函数的定义域 【答案】C 考点二：求抽象函数的定义域 【答案】B 考点三：一次、二次、反比例函数的值域 【答案】C 考点三：一次、二次、反比例函数的值域 考点四：根式型值域 【答案】C 考点四：根式型值域 考点五：分式型值域 考点五：分式型值域 考点六：求函数的解析式（待定系数法） 考点六：求函数的解析式（待定系数法） 考点七：求函数的解析式（换元法） 【答案】C 考点七：求函数的解析式（换元法） 【答案】B 考点八：求函数的解析式（方程组（消去）法） 考点八：求函数的解析式（方程组（消去）法） 【答案】D 考点九：函数图象识别 【答案】B 考点九：函数图象识别 【答案】D 考点十：判断并证明函数的单调性 考点十一：求函数的单调区间 【答案】D 考点十二：求复合函数的单调区间 【答案】C 考点十三：根据函数单调性求参数 【答案】D 考点十三：根据函数单调性求参数 【答案】B 考点十四：判断函数的奇偶性 考点十五：利用函数奇偶性求参数，求值 【答案】A 考点十六：利用函数奇偶性解不等式 考点十七：函数的对称性和周期性 【答案】C 考点十八：利用函数奇偶性求解析式 考点十八：利用函数奇偶性求解析式 考点十九：求分段函数的单调区间 【答案】C 考点二十：根据分段函数的单调性求参数 【答案】A 考点二十：根据分段函数的单调性求参数 【答案】A 考点二十一：分段函数的值域或最值问题 考点二十一：分段函数的值域或最值问题 考点二十二：二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 考点二十二：二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 考点二十二：二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 考点二十三：恒成立与能成立问题 考点二十三：恒成立与能成立问题 考点二十三：恒成立与能成立问题 考点二十三：恒成立与能成立问题 考点二十四：抽象函数综合问题 考点二十四：抽象函数综合问题 考点二十四：抽象函数综合问题 考点二十五：函数基本性质中的新定义问题 考点二十五：函数基本性质中的新定义问题 考点二十五：函数基本性质中的新定义问题 考点二十五：函数基本性质中的新定义问题 注意：定义域是指单独一个“x”的取值范围 注意：本题容易忽视定义域而错解 注意：本题要先求定义域，再求单调减区间 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 6.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 6.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 7.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 7.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 8.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 8.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 8.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】的定义域为， ，解得：， 的定义域为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3-1】（23-24高一上·北京朝阳·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 的值域为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式3-1】（23-24高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： (1)，； (2)，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）该函数的图象如图所示，由图可知值域为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）作出函数，的图象，如图所示，由图象可知值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意，函数的定义域为 令 故 由于为开口向下的二次函数，对称轴为 故当时，，无最小值 故函数的值域是 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式4-1】（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）函数的值域是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设则 所以 因为函数在上单调递增， 当，， 所以函数的值域为 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5-1】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-1】（23-24高一上·四川内江·期中）根据下列条件，求函数的解析式 (1)已知是一次函数，且满足； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】(1) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设， 则， 所以，解得，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-2】（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】(1) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由，设． 因为， 所以， 整理得， 则，解得． 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7-1】（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设（），则， ， 所以（）， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7-2】（23-24高一上·浙江宁波）设函数，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，则可得 所以，所以 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由①， 用代替可得②， 由①②可得. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式8-1】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由①， 令，②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9-1】（23-24高一上·河南·期中）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，，为减函数，排除AD； 当时，， 当且仅当时，取得最小值2，故排除C. B选项的图象符合题意. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）函数的图像简图可能是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 所以，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10-1】（23-24高一上·河北承德·期末）已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意可得解得 当时，函数是奇函数，所以. 在上单调递减，证明如下： ，且. 因为，所以. 所以，即， 所以在上单调递减. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）得在上单调递减. 因为为奇函数，所以在上单调递减， 所以在上单调递减. ， 故在上的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11-1】（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13-1】（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，,上单调递减，满足题意； 当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得．综上，a的取值范围为． 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式13-1】（23-24高三上·全国·阶段练习）函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当函数在区间上不单调， 则有，即， 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （4）当时，，，∴． 当时，，，∴． 当时，，，∴． 综上可知，对于定义域内的每一个都有，∴为偶函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说理． (1) ； (2)； (3)； (4) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由得定义域为，关于原点对称， ∴，此时， ∴函数为奇函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由，得定义域为，关于原点不对称， ∴为非奇非偶函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由，得，即该函数的图象由点，构成， 这两个点既关于原点对称，也关于轴对称， ∴既是奇函数又是偶函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-1】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选:  A . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16-1】（23-24高一·河南安阳·阶段练习）已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为是奇函数，所以等价于， 又函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17-1】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 又的图象由的图象向左平移一个单位长度得到， 所以的图象关于直线对称，故为偶函数， 因为4，所以， 所以是以8为一个周期的偶函数， 所以， 由，得，则. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18-1】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：， ∴，而，解得， ∴，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意，且， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以函数在上为减函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由题意，不等式可化为， 所以，解得,所以该不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式18-1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数的图象过点，且函数图象又关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）依题意，函数的图象过点和. 所以，故， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）不等式可化为. 即对一切的恒成立. 因为， 由对勾函数的性质可得函数在上单调递增， 所以，. 所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19-1】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．∪ C．和 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 函数图象如图所示， 由图可知函数的递增区间为和， 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20-1】（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式20-1】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】作出函数的图象如图所示． 由图象可知，当时，取最大值为2； 当时，取最小值为. 所以的最大值为2，最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由图象可知函数的最小值为，最大值为， 故函数的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式21-1】（23-24高一上·天津·期中）已知函数，，设函数. (1)求的解析式； (2)画出的图象，并求出其值域： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，， 所以， 当时， 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）如图所示：    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的最大值； (2)当时，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）； 当，即时，在上单调递增， ； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，； 当时，在上单调递减， ； 综上所述：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的最大值； (2)当时，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知：当时，； 当时，； 综上所述：当时，的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式22-1】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围； (2)求在上的最小值的解析式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，，所以， 又因为，， 所以在上的值域为时，； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意可知，的对称轴为，且图象开口向上， ①当时，在上单调递增， 故； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故； ③当时，在上单调递减， 故． 综上所述，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时， ，此时，不符合要求， 当时，， 若不等式对任意恒成立，则有， 即，该不等式组无解， 故不存在实数，使不等式对任意恒成立； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意可得：当时，恒成立， 令，则，则， 由在上单调递增，故， 则，故； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）设， 由题意可得在上恒成立， 故有，即， 由①得或， 由②得， 即可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-2】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 方法二：由题知，即关于的不等式在上有解，令，等价于在区间上的最小值， 图象的对称轴是，根据二次函数图象对称轴和区间位置关系可知， ①当，即时，此时的最小值，则，解得； ②当，即时，的最小值，此时恒成立，所以得； ③当，即时，，则由，解得； 综上所述，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25-1】（24-25高一上·全国·开学考试）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． (1)函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） (2)已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； (3)已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）对于①， 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：①； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，则当时，随的增大而增大， ， ， 当时，则当时，随的增大而减小， ， ， 综上所述，或； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②二次函数为，对称轴为直线， 当，， 当时，， 当时，． 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去），； 若，则，解得，（舍去）； 若，则，解得（舍去）． 综上所述，或； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高二下·山东滨州）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（23-24高一下·全国·随堂练习）求函数的单调递减区间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知，解得或． 易知函数由，复合而成， 且在单调递减，在单调递减，在上单调递增； 利用复合函数单调性可得的单调递减区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得， 所以函数， 检验：，故函数为奇函数， 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）在上单调递增． 证明如下：对于任意，且， 则， 由，得， 又， 所以，即， 故函数在上单调递增； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）不等式， 是增函数，且，所以，解得， 所以t的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 故在上为增函数； 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由在上为增函数， 所以， 解得， 故原不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2． （24-25高三上·福建三明·阶段练习） 已知函数是定义在上的奇函数， 满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$