专题01 第一章 集合与常用逻辑用语（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

人教版（2024）数学高一上期中考点大串讲 串讲01 第一章 集合与常见逻辑用语 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 知识回顾1：元素与集合的关系 知识回顾2：集合元素的三大特性 知识回顾3：集合的表示方法 知识回顾4：子集 知识回顾5：真子集的含义 知识回顾6：并集 知识回顾7：交集 知识回顾8：全集与补集 知识回顾9：充分条件、必要条件与充要条件的概念 知识回顾10：全称量词命题和存在量词命题的否定 考点一：元素与集合的关系 考点一：元素与集合的关系 【答案】C 考点二：根据元素与集合的关系求参数 考点二：根据元素与集合的关系求参数 考点三：根据集合中元素的个数求参数 考点三：根据集合中元素的个数求参数 考点四：集合中元素的特性 【答案】ABD 考点四：集合中元素的特性 考点五：列举法，描述法 考点五：列举法，描述法 【答案】C 考点六：子集（真子集）个数 【答案】A 考点六：子集（真子集）个数 【答案】0或2或18 考点七：根据集合关系求参数 考点七：根据集合关系求参数 考点八：集合的综合运算 考点八：集合的综合运算 考点九：根据集合的运算结果求参数 考点九：根据集合的运算结果求参数 考点十：实际问题中的集合问题 考点十一：充分性，必要性的判断 【答案】BCD 考点十一：充分性，必要性的判断 考点十二：根据充分性，必要性求参数 考点十二：根据充分性，必要性求参数 考点十三：根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 考点十三：根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 考点十四： 【答案】A 考点十四： 考点十五： 【答案】D 考点十五： 考点十六： 集合中的新定义题（解答题） 考点十六： 集合中的新定义题（解答题） 考点十六： 集合中的新定义题（解答题） (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. （1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去； （2），解得或； （3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去； 综上可知，实数a的取值可以为或或； 【例1-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知，则实数 【答案】，或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系 【详解】因为， 【变式1-1】（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即.故选:C. 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，.故答案为： 【例2-1】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】若，即时，，不满足互异性， 【变式2-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？ 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A的元素. 【例3-1】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至少有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【详解】解：（1）若中只有一个元素， 则当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程为一元二次方程，，即， 故当或时，原方程只有一个解； （2）中至少有一个元素， 即中有一个或两个元素， 由得综合（1）当时中至少有一个元素； （3）中至多有一个元素， 即中有一个或没有元素 当， 即时原方程无实数解， 结合（1）知当或时中至多有一个元素. 【变式3-1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}． （1）若A中只有一个元素，求集合A； （2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 【详解】(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意； 当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意． 综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}． (2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意； 当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0. 所以a≤ 综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a的取值范围为. 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错. 故选：ABD 【例4-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错； 当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对； 当时，集合中只有两个元素1，4，不合题意，舍去， 当时，集合中含有三个元素1，4，，符合题意， 综上，或.故答案为：或5 【变式4-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）设集合中含有三个元素1，，，若，则 . 【详解】因为集合中含有三个元素1，，，且， 所以，或， 当时，得，此时集合中含有三个元素1，4，25，符合题意， 当时，得或， 【例5-1】（23-24高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) 【详解】（1），∴或，； （2），，． 【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，解得， 所以. 故选：C 【例6-1】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为集合有7个真子集， 所以集合中包含3个元素， 所以， 解得.故选：A 【变式6-1】.（23-24高一上·上海嘉定）若集合有且仅有两个子集，则实数 ； 【详解】∵集合有且仅有两个子集, ∴集合中有且仅有一个元素, 即方程有一个根或者两个相等的实数根. 当时, 方程仅有一个实数根, 满足题意; 当时, 令, 解得或. 综上, 或或. 故答案为：0或2或18. 【例7-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【答案】或 【详解】由题意知，若，则，解得， 若， ，解得或， 当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去， 当时，则方程为，解得，，不合题意，舍去， 当，即，解得或，则由题意知， 则1,4为方程两根，根据韦达定理得， 综上所述的范围是或. 【变式7-1】.10．（23-24高一上·广东东莞）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【例8-1】（23-24高三下·河南·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得， 故选：B 【变式8-1】（23-24高一上·陕西宝鸡）设集合，，求，， . 【详解】由集合，， 则  ，或 因此可得或 又或， 因此或或或. 【例9-1】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）. 当时，. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以集合B可能为，，或. 当时，只需，解得：； 当或，则必有，所以或. 若，有，不符合题意；若，有，不符合题意； 当时，则1和2是的两根. 所以，无解. 故实数的取值范围为. 【变式9-1】.（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）设集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. （1）由可知，， 即是方程的解， 所以， 即，解得：或， 当时，则，解得， 此时，满足， 当时，则，解得， 此时，满足. 所以实数的值是或； （2）， 所以 ，对于方程， ①当，即时，此时，满足条件； ②当时，，即，，不满足条件； ③当时，即时，此时只需且， 将2代入方程得，解得或， 将代入方程得，解得， 所以且且， 综上可知，的取值范围是： 或或或或 【例10-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A．3 B．9 C．19 D．14 【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得： ，解得，所以只参加一项比赛的有人， 故选：C． 所以，解得， 综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为， 故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意. 【例11-1】（多选）（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，若“”是真命题， 当时，则，即，解得或， 当时，则由题意可得方程有两个非负实数根， 【变式11-1】（23-24高一上·江苏苏州）在上有解的一个必要不充分条件可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为在上有解等价于：在上有解， 而函数的最小值在时取得，最小值为， 所以在上有解的充要条件是， 因此在上有解的一个必要不充分条件可以是，故答案为： 【例12-1】（23-24高一上·湖南益阳·阶段练习）已知合，或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为，所以或或， 又因为，所以. （2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 又因为，或， 所以或，故或， 故实数m的取值范围为. 【变式12-1】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数k的取值范围； (2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围． 【详解】（1）易得． 由知，．所以，解得． （2）p是q的必要不充分条件等价于BA． ①当时，，解得，满足． ②当时，原问题等价于（不同时取等号） 解得．综上，实数k的取值范围是． 【例13-1】（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【详解】由题意得时，， 则，解得，故答案为： 【变式13-1】（23-24高一上·广西南宁·期中）已知命题：，.若命题为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】命题：，， 则：，， 因为命题为假命题，所以命题为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【例14-1】（2024高一·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，由得，则. 令，则根据对勾函数单调性知，在上是减函数， 所以时，则，所以的取值范围是. 故选：A. 【变式14-1】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，不等式为，显然成立； 当时，记，为二次函数，对称轴为， 当时，由，得， 由题意得，解得； 当时，由，得， 由题意得，解得， 综上，. 故答案为：. 【例15-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 【变式15-1】（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可得“”是真命题， 当，即时，命题成立； 当时，得，解得， 综上，符合题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 【例16-1】（23-24高一上·上海黄浦）设，若，则称A为集合M的元“好集”． (1)写出实数集的一个二元“好集”； (2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由； (3)求出正整数集上的所有三元“好集”． 【详解】（1）因为， 所以是实数集的一个二元“好集”. （2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设， 则有，故，得， 因为，所以，而，显然不成立，矛盾，所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”. （3）设正整数集上的一个三元“好集”为，则，不妨设， 则有，故， 又因为且，所以， 将其代入得，故， 所以正整数集上的所有三元“好集”为. 【例16-2】（23-24高一上·北京）给定数集A，若对于任意a，，有，，则称集合A为闭集合. (1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合C，D为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合C，D为闭集合，且，，证明：. 【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，，则且，所以，同理，，故B为闭集合； （2）结论：不一定； 不妨令，，则由（1）可知， D为闭集合，同理可证为闭集合，因为2，3，，因此，不一定是闭集合，所以若集合C，D为闭集合，则不一定为闭集合； （3）不妨假设，则由，可得存在且，故.同理，存在且，故，因为，所以或.若，则由C为闭集合且，得，与矛盾.若，则由D为闭集合且，得，与矛盾， 综上，不成立，故. 易错1．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，，且，则实数的值是 . 【答案】或0 【详解】当时，，符合题意； 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 故答案为：或. 易错2．（24-25高三上·辽宁·开学考试）设，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【详解】由可得, 由于,故, 因此， ， ， 故实数的取值集合为， 故答案为： 1．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求：m的值及其对应a的取值范围． 【详解】由题可知，，时，，则，不合题意，故；由于由得，， ①若，若，则，不合题意，则， 当时，即，则， 若，则，解得； 当时，即，则， 若，则，解得； ②若，时，， 当时，，联立解得； 若，则，解得； 当时，，联立解得； 若，则，解得； ③若，时，即， 由得，， 由根与系数关系得，，解得， ，符合题意， 若，则，解得； 综上所述，当，则， 当，则， 当，则， 当，则， 当，则． 2．（2024高三·北京·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【详解】（1）因为， 所以或或， 解得或或， 所以； （2）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式组无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 3．（23-24高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合，，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，集合，或. 所以：，. （2）∵，∴. 若，则，此时成立； 若，则. 综上：或. 所以的取值范围为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$