精品解析：华东师大版2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年华东师大版数学八年级下册期中培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合要求的一项． 1. 如果把分式中、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 2. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）． A. B. C. D. 或 4. 从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次．其中70000000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 5. 若，，，，则它们的大小关系（ ） A. a＜b＜c＜d B. b＜a＜d＜c C. a＜d＜c＜b D. c＜a＜d＜b 6. 表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线交于点，则关于不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发，家到公园的距离为，如图是小明和爸爸所走的路程与步行时间的函数图象． 小明所走路程与时间的函数关系式为：； 小明出发分钟时与爸爸第三次相遇； 在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少分钟． 以上说法中，正确的个数有（　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 若分式，则 x=________． 12. 已知，则_____． 13. 化简：______． 14. 若关于的分式方程无解，则_________． 15. 已知一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则的值是 __． 16. 已知一次函数的图象过点，．若，则_____． 17. 如图，点M为反比例函数图象上的一点，轴于点A，B为y轴负半轴上一点，且满足，连接与x轴交于点C，若，则____________. 三、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中x为方程的解． 20. 已知函数，m为常数． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若该函数的图象与直线平行，求m的值； （3）若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 21. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C． （1）求a、k的值； （2）连接，如果，求的面积． 22. 阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2. 经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化________________； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0. 23. 阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多元，用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌篮球的单价； （2）该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、 （1）求直线的解析式； （2）过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； （3）点是直线上一动点，如果面积等于，直接写出点的坐标． 25. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年华东师大版数学八年级下册期中培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合要求的一项． 1. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的、同时扩大为原来的2倍得：， ∵， ∴把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 2. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：．是最简分式； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，不符合题意； 故选A． 3. 若关于分式方程有增根，则的值是（ ）． A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边都乘以最简公分母（x-3），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值． 【详解】方程两边都乘以(x−3)得， 2−x−m=2(x−3)， ∵分式方程有增根， ∴x−3=0， 解得x=3， ∴2−3−m=2(3−3)， 解得m=−1. 故选A. 4. 从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次．其中70000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解本题的关键．本题确定，即可． 【详解】解：， 故选D 5. 若，，，，则它们的大小关系（ ） A. a＜b＜c＜d B. b＜a＜d＜c C. a＜d＜c＜b D. c＜a＜d＜b 【答案】B 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，非零的零次幂等于1，可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数大小的比较，负整数指数幂，非零的零次幂等于1，掌握理数大小的比较，负整数指数幂，非零的零次幂等于1是解题关键． 6. 表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，根据函数的图象经过的象限得到m，n，的取值逐一判断即可． 【详解】A.由函数图象可得，，，正确； B.由函数图象可得且，，产生矛盾，B错误； C.由函数图象可得且，，产生矛盾，C错误； D.由函数图象可得且，，产生矛盾，D错误； 故选A． 7. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题． 【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M， ∵轴 ∴AB⊥y轴， ∴， ∵ ∴ 解得 ∵点B在双曲线上，且B在第二象限 ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k的关系是解题的关键． 8. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小． 【详解】解：∵， ∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限， 如图所示： 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分析自变量的大小． 9. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象知，当时，， 即不等式的解集为． 故选：A． 10. 小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发，家到公园的距离为，如图是小明和爸爸所走的路程与步行时间的函数图象． 小明所走路程与时间的函数关系式为：； 小明出发分钟时与爸爸第三次相遇； 在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少分钟． 以上说法中，正确的个数有（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，先根据函数图像确定点A、B、C的坐标，然后运用待定系数法求出对应时间段的函数关系式即可判断①；求出小明爸爸的函数关系式，再分时间段联立两人的函数关系式求出t的值即可判断②；求出爸爸到达终点的时间，进而确定小明到达终点的时间，即可判断③． 【详解】解：设线段所表示的s与时间t的函数关系式为， 把代入中得：，解得， ∴， 由函数图象可知，小明在的路程保持不变，则； 设线段所表示的s与时间t的函数关系式为， 把，代入中得， 解得：， ∴线段所表示的s与时间t的函数关系式为． 综上所述，小明所走路程与时间的函数关系式为：，故①正确； 设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为：， 把代入中得， 解得：， ∴小明的爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：； 联立，解得， 联立，解得， 联立，解得， ∴小明出发分钟时与爸爸第三次相遇，故②正确； 在中，当时，， ∴爸爸在小明出发算起，75分钟后到达公园， ∴若小明希望比爸爸早到达公园，则小明在出发55分钟后到达公园， ∴小明在原来的基础上要早到5分钟， ∴在速度都不变情况下，小明希望比爸爸早到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少分钟，故③正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 若分式，则 x=________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的值为的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为0.这两个条件缺一不可． 【详解】解：∵分式， ∴，解得， 故答案为：． 12. 已知，则_____． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，分式的加减法，根据已知条件得出，再整体代入求值是解题的关键．首先将变形为，然后将变形为，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：19． 13. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，然后根据分式除法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 15. 已知一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则的值是 __． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：当时，， 一次函数的图象与轴交于点； 当时，，解得：， 一次函数的图象与轴交于点，． 一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 16. 已知一次函数的图象过点，．若，则_____． 【答案】－2 【解析】 【分析】把，代入，结合，即可求解． 【详解】∵一次函数的图象过点，， ∴，， ∴=2×（-1）=-2． 故答案是：-2． 【点睛】本题主要考查一次函数求值，掌握一次函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 17. 如图，点M为反比例函数图象上的一点，轴于点A，B为y轴负半轴上一点，且满足，连接与x轴交于点C，若，则____________. 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了利用图形面积求反比例函数的比例系数，连接，证明，则，得到，利用三角形中线性质得到，则，根据反比例函数图象所在象限即可得到答案. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵轴于点A，轴于点O, ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，轴于点A， ∴， ∵， ∴ ∵点M为反比例函数在第一象限图象上的一点， ∴， ∴， 故答案为：4 三、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键． （1）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可． （2）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可． 【小问1详解】 ， 原方程化为， 同时乘以得： ， 去括号得：， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的增根． 原分式方程无解． 【小问2详解】 化解可得， 方程两边同乘，得：， 去括号得：， 解得：， 经检验是原方程的解，  因此，原方程的解为． 19. 先化简，再求值：，其中x为方程的解． 【答案】，原式 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x为方程x2+2x﹣1＝0的解进行计算即可． 【详解】解：原式 ∵x为方程的解， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则、整体代入求值是解答此题的关键． 20. 已知函数，m为常数． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若该函数的图象与直线平行，求m的值； （3）若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点与两条直线平行的条件，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）根据已知条件知，关于的函数的图象经过点，所以把代入已知函数解析式列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值； （2）函数的图象平行于直线，说明，由此求得的数值即可； （3）根据题意列不等式组即可得到结论． 【小问1详解】 关于的函数的图象经过原点， 点满足函数的解析式， ， 解得． 【小问2详解】 函数的图象平行于直线， ，， ； 【小问3详解】 函数是一次函数，且不经过第二象限， 且， ， 的取值范围是． 21. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C． （1）求a、k的值； （2）连接，如果，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式可求出a值，确定点B的坐标，进而求出正比例函数的关系式； （2）根据，求出点C的横坐标，求出，代入求出进而求得，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 把点代入反比例函数得，， 解得， ∴点， 将点B代入得，， ∴正比例函数的关系式为； 【小问2详解】 当时，代入得，， 解得， ∴， 当代入得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 22. 阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2. 经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0. 【答案】（1）；（2）；（3）x＝－. 【解析】 【分析】（1）将所设的y代入原方程即可； （2）将所设的y代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设y＝，将原方程化为y−＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可． 【详解】（1）将y＝代入原方程，则原方程化为−＝0； （2）将y＝代入方程，则原方程可化为y−＝0； （3）原方程可化为－＝0，设y＝，则原方程可化为y－＝0， 方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1， 经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解； 当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－， 经检验，x＝－是原分式方程的解， 所以原分式方程解为x＝－. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． 23. 阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多元，用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌篮球的单价； （2）该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球？ 【答案】（1）甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元 （2）最多可购买个乙种品牌的篮球 【解析】 【分析】本题考查分式方程和不等式的应用； （1）设甲种品牌篮球的单价是x元，乙种品牌的单价是元，根据“用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍”，列出关于x的分式方程，解之经检验后即可． （2）设本次购买m个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球，根据“甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元”，列出关于m的一元一次不等式，解之取最大的正整数即可． 【小问1详解】 设甲种品牌篮球的单价是元，乙种品牌的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际意义， ， 答：甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元， 【小问2详解】 设本次购买个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球， 根据题意得： ， 解得：， 因为为正整数，所以的最大值为， 答：最多可购买个乙种品牌的篮球． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、 （1）求直线的解析式； （2）过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； （3）点是直线上一动点，如果面积等于，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，考查了过两点确定一条直线，考查了知道直线斜率和一点求直线， （1）设过点A，B的直线，代入坐标后求得b，k从而求得直线解析式； （2）先求出直线的的解析式，再由平行设直线的解析式为，代入，求得c则得到直线解析式，最后求点的坐标即可； （3）设，表示出面积，并求出的面积，再根据面积关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设直线为， 代入点，得， 解得 所以直线为． 【小问2详解】 解：设解析式为，把，代入， 则， 解得：． 则， 当时，，则， ∵ ∴设直线的解析式为， 代入点，得 ∴直线为， 当时，， 则点E为 【小问3详解】 解：∵点是直线上一动点， ∴设， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵面积等于， ∴，解得， ∴或． 25. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， xx令，则，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$