专题3.2 分式方程（考题猜想，易错，好题必刷38题6种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

专题3.2 分式方程 （易错、好题必刷38题6种题型专项训练） 目录 【题型01 分式方程的定义】 1 【题型02 解分式方程】 2 【题型03 根据分式方程解的情况求值】 5 【题型04 分式方程无解问题】 5 【题型05 列分式方程】 6 【题型06 分式方程的实际应用】 8 【题型01 分式方程的定义】 1．（20-21八年级上·甘肃平凉·期末）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（18-19八年级·北京怀柔·期末）定义：如果一个关于x的分式方程 的解等于我们就说这个方程叫和解方程. 比如 : 就是个和解方程. 如果关于x的分式方程是一个和解方程，那么 n的值是(     ) A． B． C． D． 4．（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 5．（2021八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 6．（18-19八年级上·河南驻马店·期末）解下列分式方程： （1）＝1 （2） 【题型02 解分式方程】 7．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）解下列方程： (1) (2) 8．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）（1）解分式方程：． （2）先化简，再求值：先化简：，再从，，，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）先阅读某同学解下面分式方程的具体过程． 解方程：． 解：① ② ③ ④ ⑤ 经检验，是原方程的解． 请你回答： (1)①到②的具体做法是 ______ ；②得到③的具体做法是 ______ ；得到④的理由是 ______ ． (2)上述解法对吗？若不对，请指出错误的原因，并改正． 10． （23-24八年级上·湖北荆门·期末）（1）计算：，其中．         （2）解方程： 11． （23-24八年级上·重庆渝北·期末）（1）分解因式：； （2） 解方程：． 12．（23-24八年级上·广东广州·期末）阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 【题型03 根据分式方程解的情况求值】 13．（22-23八年级上·广西贵港·期末）从，，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为t，若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解，那么这五个数中所有满足条件的t的值之和等于 ． 14．（23-24八年级上·北京·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 15．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 17．（2019·重庆·模拟预测）若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 18．（23-24九年级下·重庆万州·阶段练习）关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【题型04 分式方程无解问题】 19．（22-23八年级上·福建莆田·期末）如果关于x的方程无解，则a的值为 20．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 21．（17-18七年级下·安徽合肥·期末）若分式方程无解，则的值为（  ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 22．（24-25八年级上·全国·课后作业）若关于x的分式方程无解，求m的值． 23．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程无解，求的值． 24．（18-19七年级下·全国·单元测试）关于x的方程：－＝1. (1)当a＝3时，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求a的值． 【题型05 列分式方程】 25．（23-24八年级下·江西吉安·期末）某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是 ． 26．（22-23八年级上·云南红河·期末）昆明市区与石林风景区相距约为，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路线去石林风景区，甲比乙晚出发30分钟，最后两人同时到达石林风景区（中途停的时间忽略不计）， 已知小轿车的速度是旅游大巴速度的 1.5 倍．若设旅游大巴的速度为，则所列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·浙江台州·期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）长沙宁乡曾出土过四羊方尊、人面方鼎等国之重器，还是中国礼乐文化的中心，其周文化基因世代传承．为了丰富学生社会实践活动经历，雅礼中学组织学生乘车去距学校的炭河里青铜博物馆参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快20千米/时，回程路上所花时间比去程节省了．设去程的平均速度为千米/时，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 29．（2011·河北邯郸·中考模拟）“武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租价为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 31．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运30kg，型机器人搬运所用的时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？若设型机器人每小时搬运，可列方程： ． 32．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）某学校在某药店购买消毒液和口罩，购买消毒液共花费元，购买口罩共花费元，购买口罩数量（单位：包）是购买84消毒液数量（单位：瓶）的倍，且购买一包口罩比购买一瓶消毒液多花元． (1)求购买一瓶消毒液和一包口罩的单价各是多少元； (2)按照实际需要每个班须配备消毒液瓶，口罩包用于防疫，则购买的消毒液和口罩能够配备多少个班级？ 【题型06 分式方程的实际应用】 33．（23-24八年级上·全国·单元测试）青少年是全民国防教育的重中之重，要从培养担当民族复兴大任时代新人的高度，教育引导青少年树立国防观念．某校为了提升青少年国防素养，组织共青团员乘大巴车前往距离学校的中国人民革命军事博物馆进行参观学习，出发后前一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前了到达博物馆，则前一小时大巴车的行驶速度为 ． 34．（22-23九年级上·重庆江北·期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了，晚熟香桃树的价格高了，晚熟香桃树购买数量减少了．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ． 35．（24-25八年级上·全国·单元测试）崂山的油桃和樱珠是非常鲜美的水果，端午节期间王文同学和朋友们一起去参加采摘节，他们采摘购买了油桃和樱珠两种水果，其中油桃比樱珠多摘了12斤，且采摘购买油桃和樱珠分别用了120元，已知樱珠每斤价格是油桃每斤价格的2.5倍，问油桃和樱珠每斤各是多少元？ 36．（21-22七年级上·重庆·期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是 ． 37．（24-25八年级上·全国·单元测试）某公司承包一项整治河流的工程，要求在规定时间内完成．如果该公司第一分公司单独施工，那么正好按规定日期完成；如果该公司第二分公司单独施工，那么就要超出规定日期个月．现在两个分公司合作施工个月后，剩下的任务由第二分公司单独施工，恰好如期完工．这项工程的规定日期是几个月？ 38．（2020·四川·中考真题）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同． （1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？ （2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元． ①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？ ②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 分式方程 （易错、好题必刷38题6种题型专项训练） 目录 【题型01 分式方程的定义】 1 【题型02 解分式方程】 4 【题型03 根据分式方程解的情况求值】 10 【题型04 分式方程无解问题】 14 【题型05 列分式方程】 17 【题型06 分式方程的实际应用】 22 【题型01 分式方程的定义】 1．（20-21八年级上·甘肃平凉·期末）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答． 【规范解答】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误； 方程的根为x=2，故②正确； 方程的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 是分式方程，故④正确； 故选：B． 【考点评析】此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【规范解答】解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 3．（18-19八年级·北京怀柔·期末）定义：如果一个关于x的分式方程 的解等于我们就说这个方程叫和解方程. 比如 : 就是个和解方程. 如果关于x的分式方程是一个和解方程，那么 n的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了新定义和分式方程，弄清题中的新定义的含义、正确利用分式方程的解是解此题的关键． 根据题中和解方程的定义得出未知数x的解，把x的值代入分式方程就可求出答案． 【规范解答】关于x的分式方程是一个和解方程 根据题中新定义得： 解得： 将代入得 故选：D 4．（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 【答案】3 【思路点拨】根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【规范解答】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为3． 【考点评析】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 5．（2021八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【思路点拨】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【规范解答】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【考点评析】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 6．（18-19八年级上·河南驻马店·期末）解下列分式方程： （1）＝1 （2） 【答案】（1）x＝0；（2）x＝﹣3． 【思路点拨】（1）去分母得：x（x+2）4=（x+2）（x2），解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解； （2）去分母得：x（x+2）=3，整理得x2+2x3=0，解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解． 【规范解答】解：（1）方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）， 约去分母得：x（x+2）﹣4＝（x+2）（x﹣2）， 解之得：x＝0， 检验：当x＝0时，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x＝0是原方程的解， ∴原分式方程的解为：x＝0； （2）方程两边同乘以（x﹣1）（x+2）， 约去分母得：x（x+2）＝3， 整理得x2+2x﹣3＝0， 解之得x1＝1，x2＝﹣3， 检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x＝1不是原方程的解； 当x＝﹣3时，（x﹣1）（x+2）≠0， ∴x＝﹣3是原方程的解； ∴原分式方程的解为：x＝﹣3． 【考点评析】本题考查了解分式方程：掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【题型02 解分式方程】 7．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到的值，代入最简公分母检验即可； （2）将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到的值，代入最简公分母检验即可． 【规范解答】（1）解：去分母得：， 解得：， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）解：去分母得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：或， 当时，， ∴不是原方程的解， 当时，， ∴是原方程的解． 8．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）（1）解分式方程：． （2）先化简，再求值：先化简：，再从，，，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1） （2）， 【思路点拨】本题考查解分式方程和分式化简求值，熟练掌握解分式方程的方法和分式运算法则是解题的关键，注意解分式方程要检验根． （1）先去分母，把分式方程化成整式方程求解，然后检验即可求解； （2）先根据分式混合运算法则计算，再把使分式有意义的x值代入计算即可． 【规范解答】解：（1） 方程两边乘，得 解得 经检验， 所以，原分式方程的解为 （2）    ， ，，，时，原分式无意义， 可取． 当时，原式． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）先阅读某同学解下面分式方程的具体过程． 解方程：． 解：① ② ③ ④ ⑤ 经检验，是原方程的解． 请你回答： (1)①到②的具体做法是 ______ ；②得到③的具体做法是 ______ ；得到④的理由是 ______ ． (2)上述解法对吗？若不对，请指出错误的原因，并改正． 【答案】(1)通分；；分式值相等的条件 (2)上述解法不对，见解析 【思路点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）①到②具体做法是通分，②得到③具体做法是两边除以，得到④的原因为分式值相等的条件； （2）上述解法错误，原因为两边除以没有考虑为0的情况，写出正确的解法即可． 【规范解答】（1）解：①到②的具体做法是通分；②得到③的具体做法是两边除以；得到④的理由是分式值相等的条件； 故答案为：通分；；分式值相等的条件； （2）解：上述解法不对，两边除以时，没有考虑是否为0， 正确解法为， 变形得：， 当，即时，是分式方程的解； 当，即时，， 解得：， 经检验和都是分式方程的解． 10．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）（1）计算：，其中．           （2）解方程： 【答案】（1）；4；（2） 【思路点拨】该题主要考查了分式的化简求值以及分式方程的求解方法，解题的关键是掌握分式混合运算以及分式方程运算法则． （1）先化简分式，再代入求解即可； （2）根据分式方程的解法解答即可； 【规范解答】解：（1） ， 当时，原式． （2）， 方程两边同乘，得， 解这个一元一次方程，得． 检验： 当时，， 故是原方程的解． 11．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）（1）分解因式：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【思路点拨】本题考查因式分解，解分式方程． （1）运用平方差公式，完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得：， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 12．（23-24八年级上·广东广州·期末）阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)，理由见详解；证明见详解 (3) 【思路点拨】本题考查了整式的加减、分式的运算和分式方程，读懂题意是解题关键． （1）根据“臻美数对”的定义即可求解； （2）结合“臻美数对”的定义及整式的加减即可求解； （3）由（2）的结合分式的加减即可求解． 【规范解答】（1）解：将与各自的十位数字和个位数字交换位置可得：， ， 与是“臻美数对； （2），理由如下： 由题意得： ， 移项合并同类项可得： ， 左右两边同时除以9可得： ； 两“臻美数对”的和为： 两“臻美数对”的和是的倍数； （3）这两个数为“臻美数对”， 即 解得：， ，； ，， 这两个数分别为：． 【题型03 根据分式方程解的情况求值】 13．（22-23八年级上·广西贵港·期末）从，，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为t，若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解，那么这五个数中所有满足条件的t的值之和等于 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．不等式组中两不等式整理后，由不等式组无解确定出的范围，进而舍去不合题意的值，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由分式方程有整数解，确定出满足题意的值，求出之和即可． 【规范解答】解：不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到，即，，，1， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为整数，得到，且是整数， 因此，1，之和为， 故答案为： 14．（23-24八年级上·北京·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【思路点拨】此题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【规范解答】解：， 去分母得到， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是方程 的根， 当时，解得： 当时，解得： 故选：A． 15．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【规范解答】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：D． 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【思路点拨】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，然后根据解的情况求出的取值范围即可． 【规范解答】解：解方程，得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， ∴且； 故选D． 17．（2019·重庆·模拟预测）若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路点拨】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x＜﹣2确定出a的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件的a的个数． 【规范解答】解：解不等式组，得：， 由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2， 解得：a≥﹣3； 分式方程去分母得：1﹣y﹣a＝﹣3（y+1）， 解得：y＝， 由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得， 解得：a＜4且a≠2； ∴﹣3≤a＜4且a≠2， ∴a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3， ∴符合条件的所有整数a的个数为6个； 故选：C． 【考点评析】此题主要考查分式方程与不等式组的求解运用，解题的关键是熟知分式方程与不等式组的解法． 18．（23-24九年级下·重庆万州·阶段练习）关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解不等式组和分式方程，先解不等式组，根据不等式组至少有个整数解，确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定的值，从而求出符合条件的所有整数的和，熟练掌握不等式组的解和分式方程的解的情况是解题的关键． 【规范解答】解： 解得，， 解得，， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解得， 由分式方程两边都乘得，， 整理得，， 当时，方程的解为，且 ， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或， ∴或或或或 ∵， ∴不合，舍去， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【题型04 分式方程无解问题】 19．（22-23八年级上·福建莆田·期末）如果关于x的方程无解，则a的值为 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查分式方程的增根，熟练运用分式方程的解法是解题的关键． 先确定方程的增根，再去分母后所得整式方程，然后将增根代入计算即可． 【规范解答】解：由于关于x的方程无解，则增根为， 去分母得， ， 当时，可得：，解得：． 故答案为：1． 20．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【思路点拨】本题考查的主要是分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据增根的定义可得出，然后去分母得出：，把代入得，即可得出m的值． 【规范解答】解：∵分式方程有增根， ∴， 原方程去分母可得：， 把代入可得：， 解得：． 故选：A． 21．（17-18七年级下·安徽合肥·期末）若分式方程无解，则的值为（  ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【答案】C 【思路点拨】存在两种情况会无解： （1）分式方程无解，则得到的解为方程的增根； （2）分式方程转化为一元一次方程后，方程无解 【规范解答】情况一：解是方程的增根 分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18 移项并合并同类项得：(6－m)x=18   解得： ∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根 要想是分式方程的增根，则x=3或x=0 显然不可能为0，则   解得：m=0 情况二：转化的一元一次方程无解 由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18 要使上述一元一次方程无解，则6－m=0   解得：m=6 故选：C 【考点评析】本题考查分式无解的情况：（1）解分式方程的过程中，最常见的错误是遗漏检验增根，这一点需要额外注意；（2）一元一次方程ax+b=0中，当a=0，b≠0时，方程无解． 22．（24-25八年级上·全国·课后作业）若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】1或 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 【规范解答】解：， 方程两边乘，得， 整理，得． 当，即时，分式方程无解． 当时，，分式方程无解． 把代入整式方程，得，解得． 综上，m的值为1或． 23．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【思路点拨】本此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0． 方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得或，分别求出a值即可． 【规范解答】解：方程两边同乘，得，即． ①当，即时，原方程无解，由，解得． ②当时，整式方程无解， ∴当时，原方程无解． 综上所述，当或时，原方程无解． 24．（18-19七年级下·全国·单元测试）关于x的方程：－＝1. (1)当a＝3时，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求a的值． 【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3. 【思路点拨】（1）将a=3代入,求解－＝1的根,验根即可, （2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值. 【规范解答】解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1, 方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1， 解这个整式方程得x＝－2， 检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0， ∴x＝－2是原分式方程的解． (2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1， 若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1， 将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3. 【考点评析】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键. 【题型05 列分式方程】 25．（23-24八年级下·江西吉安·期末）某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据甲、乙同学速度间的关系，可得出甲同学的速度是米分，利用时间路程速度，结合乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【规范解答】解：甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，且设乙同学的速度是米分， 甲同学的速度是米分． 根据题意得：． 故答案为：． 26．（22-23八年级上·云南红河·期末）昆明市区与石林风景区相距约为，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路线去石林风景区，甲比乙晚出发30分钟，最后两人同时到达石林风景区（中途停的时间忽略不计）， 已知小轿车的速度是旅游大巴速度的 1.5 倍．若设旅游大巴的速度为，则所列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】设旅游大巴的速度为，根据乙所用的时间甲所用的时间，列方程即可． 本题主要考查了列分式方程解应用题．读懂题意，找出等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：若设旅游大巴的速度为，根据题意可得 ． 故选：B． 27．（23-24八年级上·浙江台州·期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键． 由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可． 【规范解答】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为， ∴汽车的速度为， 根据题意得：． 故选：B． 28．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）长沙宁乡曾出土过四羊方尊、人面方鼎等国之重器，还是中国礼乐文化的中心，其周文化基因世代传承．为了丰富学生社会实践活动经历，雅礼中学组织学生乘车去距学校的炭河里青铜博物馆参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快20千米/时，回程路上所花时间比去程节省了．设去程的平均速度为千米/时，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用回程路上所花时间比去程节省了，得出方程是解题关键． 根据去程的平均速度为千米/时，得出回程的平均速度千米/时，再利用回程路上所花时间比去程节省了，得出分式方程即可． 【规范解答】解：设去程的平均速度为千米/时，则回程的平均速度千米/时，根据题意，得 故选：A． 29．（2011·河北邯郸·中考模拟）“武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租价为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清楚题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．设原来参加游览的人数有x人，根据每个成员比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系从而列出方程． 【规范解答】解：根据题意，得． 故选：D． 30．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键． 利用已知条件建立分式方程，并全面地进行分类讨论即可得出． 【规范解答】解：当时，， ， 不是整数，与题设矛盾， ， 令， 由题设m、n为正整数， 设， 由①得， 代入②，整理得， 是正整数， 或2或3， 又， 或， 当时， 由①②解得，（不合题意，舍去）， 当时， 由①②解得，， ． 故答案为：8. 31．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运30kg，型机器人搬运所用的时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？若设型机器人每小时搬运，可列方程： ． 【答案】 【思路点拨】根据实际应用题的解法“设、列、解、答”，由设型机器人每小时搬运，找到等量关系型机器人搬运所用的时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程即可得到答案． 【规范解答】解：设型机器人每小时搬运，则种机器人每小时搬运化工原料，由题意得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 32．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）某学校在某药店购买消毒液和口罩，购买消毒液共花费元，购买口罩共花费元，购买口罩数量（单位：包）是购买84消毒液数量（单位：瓶）的倍，且购买一包口罩比购买一瓶消毒液多花元． (1)求购买一瓶消毒液和一包口罩的单价各是多少元； (2)按照实际需要每个班须配备消毒液瓶，口罩包用于防疫，则购买的消毒液和口罩能够配备多少个班级？ 【答案】(1)购买一瓶消毒液元、一包口罩元 (2)购买的消毒液和口罩能够配备个班级 【思路点拨】（1）根据题意设一瓶消毒液x元，则一包口罩元，可列出分式方程，解得，即可得到结果 （2）根据（1）所求单价，可分别计算出消毒液和口罩的数量，然后按照每个班级配备的数量，即可求得可以配备多少个班级 【规范解答】（1）设一瓶消毒液x元，则一包口罩元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， ∴， 答：购买一瓶消毒液元、一包口罩元 （2）由（1）知：购买一瓶消毒液元、一包口罩元， ∴共购买了消毒液瓶，口罩包， ∵每个班须配备消毒液瓶，口罩包用于防疫， ∴，， 答：购买的消毒液和口罩能够配备个班级 【考点评析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意、列出方程是解决问题的关键 【题型06 分式方程的实际应用】 33．（23-24八年级上·全国·单元测试）青少年是全民国防教育的重中之重，要从培养担当民族复兴大任时代新人的高度，教育引导青少年树立国防观念．某校为了提升青少年国防素养，组织共青团员乘大巴车前往距离学校的中国人民革命军事博物馆进行参观学习，出发后前一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前了到达博物馆，则前一小时大巴车的行驶速度为 ． 【答案】60 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设大巴车前一小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为，再列方程求解即可． 【规范解答】设大巴车前一小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为， 依题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴大巴车前一小时的行驶速度为． 故答案为：60 34．（22-23九年级上·重庆江北·期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了，晚熟香桃树的价格高了，晚熟香桃树购买数量减少了．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ． 【答案】 【思路点拨】设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵，根据三个村民小组各需两种果树之和的比为列出方程求出，，从而求出三个村民小组种植两种果树的情况；设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元，分别表示出预算总费用，实际两种果树的费用和实际两种果树的总费用，再根据预算总费用和实际总费用相等求出，然后代值计算即可得到答案． 【规范解答】解：设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵 ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴红锦村需要晚熟香桃树棵； 设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元， ∴预算总费用为 ， 实际购买晚熟香桃树的费用为 ， 实际购买高山脆李的费用为 实际总费用为， ∴， ∴，即 ∴实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 35．（24-25八年级上·全国·单元测试）崂山的油桃和樱珠是非常鲜美的水果，端午节期间王文同学和朋友们一起去参加采摘节，他们采摘购买了油桃和樱珠两种水果，其中油桃比樱珠多摘了12斤，且采摘购买油桃和樱珠分别用了120元，已知樱珠每斤价格是油桃每斤价格的2.5倍，问油桃和樱珠每斤各是多少元？ 【答案】油桃每斤是6元，樱珠每斤是15元 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设油桃每斤是元，樱珠每斤是元，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案． 【规范解答】解：设油桃每斤是元，樱珠每斤是元， 根据题意，可得， 解得 （元）， 经检验，是该分式方程的解， 所以，该分式方程的解为， 所以（元）． 答：油桃每斤是6元，樱珠每斤是15元． 36．（21-22七年级上·重庆·期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是 ． 【答案】20：21 【思路点拨】设去年12月份腊肠的单价为3x，则去年12月份腊舌，腊肉的单价分别为3x，2x，今年1月份腊肠的单价为3.6x，去年12月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉的销售数量分别为5y、3y，1月份腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z；先求出去年12月份的销售额为，1月份腊肉的销售额为，从而得到今年1月份的总销售额为，再由今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的，推出，即可求出今年1月份的总销售额为，腊肉的销售额，则腊肠今年1月份的营业额为，设今年1月份出售腊肠与腊肉的数量分别为a和b，可以得到，由此求解即可． 【规范解答】解：设去年12月份腊肠的单价为3x，则去年12月份腊舌，腊肉的单价分别为3x，2x，今年1月份腊肠的单价为3.6x，去年12月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉的销售数量分别为5y、3y，1月份腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z， ∴去年12月份的销售额为，1月份腊肉的销售额为， ∴今年1月份的总销售额为， ∵今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的， ∴， ∴（经检验，符合分式方程有意义的条件）， ∴今年1月份的总销售额为，腊肉的销售额 ∵腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5， ∴腊舌今年1月份增加的营业额为， ∴腊舌今年1月份的营业额为， ∴腊肠今年1月份的营业额为， 设今年1月份出售腊肠与腊肉的数量分别为a和b， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20：21． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意设出相应的未知量，然后推导出对应的关系式． 37．（24-25八年级上·全国·单元测试）某公司承包一项整治河流的工程，要求在规定时间内完成．如果该公司第一分公司单独施工，那么正好按规定日期完成；如果该公司第二分公司单独施工，那么就要超出规定日期个月．现在两个分公司合作施工个月后，剩下的任务由第二分公司单独施工，恰好如期完工．这项工程的规定日期是几个月？ 【答案】这项工程的规定日期是6个月 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的实际应用，设这项工程的规定日期是x个月，则第一分公司的工作效率为，第二分公司的工作效率为，再根据两个分公司合作施工个月后，剩下的任务由第二分公司单独施工，恰好如期完工列出方程求解即可． 【规范解答】解：设这项工程的规定日期是x个月， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定日期是6个月． 38．（2020·四川·中考真题）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同． （1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？ （2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元． ①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？ ②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用． 【答案】（1）甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；（2）①甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能；②当甲平整52天，乙平整2天时，费用最低，最低费用为107000元 【思路点拨】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可． （2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400   ①，且2000x+1500y≤110000   ②把问题转化为不等式解决即可． ②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元， 由题意，＝， 解得x＝2000， 经检验，x＝2000是分式方程的解． 答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元． 故答案为甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元； （2）①设甲平整x天，则乙平整y天． 由题意，45x+30y＝2400 ①，且2000x+1500y≤110000   ②， 由①得到y＝80﹣1.5x③， 把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000， 解得，x≥40， ∵y＞0， ∴80﹣1.5x＞0， x＜53.3， ∴40≤x＜53.3， ∵x，y是正整数， ∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8，或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2． ∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能． 故答案为共有7中可能； ②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000， ∵﹣250＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）． 答：最低费用为107000元． 故答案为：最低费用为107000元． 【考点评析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，是利润问题中的综合题，考查较为全面，对于一次函数而言，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$