专题3.1 分式的运算（考题猜想，易错，好题必刷49题12种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

专题3.1 分式的运算 （易错、好题必刷49题12种题型专项训练） 目录 【题型01 分式乘法】 1 【题型02 分式除法】 2 【题型03 分式乘除混合运算】 4 【题型04 分式乘方】 6 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】 7 【题型06 同分母分式加减法】 8 【题型07 异分母分式加减法】 9 【题型08 整式与分式相加减】 10 【题型09 分式加减混合运算】 11 【题型10 分式加减的实际应用】 13 【题型11 分式加减乘除混合运算】 15 【题型12 分式化简求值】 16 【题型01 分式乘法】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 2．（23-24八年级上·山东聊城·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习） （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 4．（2024八年级上·广西·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型02 分式除法】 5．（23-24八年级下·安徽·期末）一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了． 问： (1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍； (2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运付运费20元计算） 6．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图，“优选1号”水稻试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻试验田是边长为的正方形，两块试验田的水稻的都收了．问：哪种水稻的单位面积产量更高？ 7．（23-24八年级下·河北保定·期中）嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 (1)求被墨水污染的部分； (2)嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 8．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【题型03 分式乘除混合运算】 9．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 因式分解： 10．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）计算： 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1) (2)． 12．（2024·福建宁德·一模）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 【题型04 分式乘方】 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（21-22八年级上·全国·单元测试）计算的结果是 15．（23-24八年级上·河南安阳·期末）计算： （1） （2）； （3）； （4）； 因式分解： 16．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】 17．（22-23八年级上·广西桂林·期中）计算： (1)； (2)． 18．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 19．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）计算 (1)．（化简） (2)；（因式分解） (4) ．（因式分解） (5) ． 20．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习） 计算： (1)； (2) 【题型06 同分母分式加减法】 21．（21-22八年级上·全国·单元测试）计算 (1) (2)． 22．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）若互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 23．（22-23八年级上·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． 24．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【题型07 异分母分式加减法】 25．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知的值为正整数，求整数x的值． 26．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知，则代数式 ． 27．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知． (1)化简． (2)若，满足，求此时的值． 28．（20-21八年级上·山东聊城·单元测试）计算题： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【题型08 整式与分式相加减】 29．（21-22八年级上·全国·单元测试）计算下列各式． (1) (2) 30．（23-24八年级上·山西大同·期末）观察下面的等式： (1)按上面的规律归纳出一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 31．（22-23八年级上·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 32．（23-24八年级上·山东东营·期中）计算： (1) (2) 【题型09 分式加减混合运算】 33．（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (4) ； (4)． 34．（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似的，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：＝＝，＝＝＝． 参考上面的方法解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)求分式的最大值；（其中n为正整数） (3)已知分式的值是整数，求t的整数值． 35．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3) 先化简，再求值：，其中． 36．（21-22八年级上·福建福州·期末）阅读题： 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：这样的分式是假分式；这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：， ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)将分式化为整式与真分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【题型10 分式加减的实际应用】 37．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元/，乙所购面粉的平均单价是______元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 38．（23-24七年级下·浙江·期末）甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 39．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 40．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． (1)已知，，请你用作差法比较A与B的大小． (2)甲、乙两人两次都同时到某米店买米，甲每次买米，乙每次买米100元，由于市场因素，虽然这两次米店售出同样的米，但单价却不同．若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算．问甲、乙两人谁的购粮方式更合算？为什么？ 【题型11 分式加减乘除混合运算】 41．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 42．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步                第二步                             第三步 (1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数带入求值． 43．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）计算与化简： (1) (2) 44．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【题型12 分式化简求值】 45．（23-24八年级上·山东东营·单元测试）（1）先化简，再求值：，其中． （2）化简求值：，其中 46．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，然后从，，，，中选择你喜欢的值带入求值． 47．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 48．（23-24八年级上·山东泰安·期末）（）先化简，再求值：，其中． （）先化简，再求值：，从、、三个数中选一个作为代入求值． 49．（23-24八年级上·山东济宁·期末）【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 分式的运算 （易错、好题必刷58题13种题型专项训练） 目录 【题型01 分式乘法】 1 【题型02 分式除法】 4 【题型03 分式乘除混合运算】 8 【题型04 分式乘方】 11 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】 14 【题型06 同分母分式加减法】 17 【题型07 异分母分式加减法】 20 【题型08 整式与分式相加减】 23 【题型09 分式加减混合运算】 26 【题型10 分式加减的实际应用】 31 【题型11 分式加减乘除混合运算】 35 【题型12 分式化简求值】 40 【题型01 分式乘法】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的乘法运算，先对分式的分子分母因式分解，约分后再相乘即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：原式 ． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了分式的乘方，分式的基本性质，分式的除法，熟练掌握分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，是解题的关键．根据分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，逐一计算判断即可． 【规范解答】A. ， ∵， ∴A错误； B. ， ∵， ∴B正确； C. ， ∵， ∴C错误； D. ， ∵， ∴D错误． 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路点拨】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）按照分式的乘法法则进行计算即可； （2）按照分式的除法法则进行计算即可； （3）将除法变成乘法，然后按照分式的乘法法则进行计算即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 4．（2024八年级上·广西·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【题型02 分式除法】 5．（23-24八年级下·安徽·期末）一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了． 问： (1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍； (2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运付运费20元计算） 【答案】(1)2倍 (2)货主应付甲车主运费为2160元，乙车主、丙车主的运费均为4320元 【思路点拨】本题考查了分式除法的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握分式的应用是解题关键． （1）设这批货物共有，分别求出甲车、乙车每次所运货物量，由此即可得； （2）设这批货物共有，丙车每次所运货物量为，建立方程求出的值，从而可得甲车、乙车、丙车每次所运货物量之比，由此即可得． 【规范解答】（1）解：设这批货物共有， 则甲车每次所运货物量为，乙车每次所运货物量为， ∵， ∴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的2倍． （2）解：设这批货物共有，丙车每次所运货物量为， ∵若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了， ∴，即， ∵若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴甲车、乙车、丙车每次所运货物量之比为， 则当甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付甲车主运费为（元），应付乙车主、丙车主的运费均为（元）， 答：货主应付甲车主运费为2160元，乙车主、丙车主的运费均为4320元． 6．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图，“优选1号”水稻试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻试验田是边长为的正方形，两块试验田的水稻的都收了．问：哪种水稻的单位面积产量更高？ 【答案】“优选2号”水稻的单位面积产量更高．理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式除法的运算法则和分式比较大小的方法是解决本题的关键．分别计算出两种水稻的单位面积产量，再用作商法比较那种的水稻的产量高． 【规范解答】解：由题意得，“优选1号”水稻的单位面积产量为， “优选2号”水稻的单位面积产量为． ∵， ∴， ∴“优选2号”水稻的单位面积产量更高． 7．（23-24八年级下·河北保定·期中）嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 (1)求被墨水污染的部分； (2)嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式的除法运算法则即可求出答案． （2）由原分式的值等于1可知x的值，然后根据分式有意义的条件即可判定． 【规范解答】（1）设被墨水污染的部分是， 则， 解得：； （2）不同意，理由如下： 若，则 由原题可知，当时，原式，原分式无意义， 所以当时，原分式的值不能等于1． 8．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【思路点拨】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 【题型03 分式乘除混合运算】 9．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）计算： (1) (2) (3)因式分解： 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算，分式的运算，平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，然后计算同底数幂乘法、同底数幂除法，最后合并同类项即可； （2）先利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，把除法化为乘法运算，最后约分化简即可； （3）先提公因子，然后利用完全平方公式因式分解即可； 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： 10．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．根据分式的乘除混合运算法则求解即可． 【规范解答】解：原式 ． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了分式的乘除法运算，解题的关键是掌握分式的乘除法法则． （1）根据分式的乘除法法则运算即可； （2）根据分式的除法法则运算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）原式 12．（2024·福建宁德·一模）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 【答案】(1)甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元 (2)农场选择方案一合算，见解析 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式．熟练掌握一元一次方程的应用，列代数式是解题的关键． （1）根据题意，得，计算求解，进而可求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价； （2）由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为，比较大小，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴甲种葡萄的实际销售单价为（元）， 乙种葡萄的实际销售单价为（元）． 答：甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元． （2）解：由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为， ∵． ∴农场选择方案一更合算． 【题型04 分式乘方】 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 14．（21-22八年级上·全国·单元测试）计算的结果是 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的乘方，负整指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握分式的乘方、负整指数幂、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 先根据分式的乘方法则，幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据负整指数幂的运算法则计算即可． 【规范解答】解： 故答案为：． 15．（23-24八年级上·河南安阳·期末）计算： （1） （2）； （3）； 因式分解： （4）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【思路点拨】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方以绝对值，再计算加减法即可； （2）先计算分式乘方，再根据分式的乘法计算法则求解即可； （3）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可； （4）提取公因式进行分解因式即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【考点评析】本题主要考查了分解因式，含乘方的分式乘法计算，零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数混合计算，整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 16．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先算分式的乘方，再算分式乘法即可； （2）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则以及因式分解的方法是解题的关键． 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】 17．（22-23八年级上·广西桂林·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【思路点拨】本题考查零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、含乘方的分式乘除运算． （1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案； （2）先乘方再计算乘除，再约分即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 18．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 19．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）计算 (1)．（化简） (2)；（因式分解） (3)．（因式分解） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】（1）根据分式的乘方，分式的乘除运算即可求出答案； （2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可； （3）先根据平方差公式，再对每个因式提公因式即可； （4）根据平方差公式即可求出答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点评析】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算，因式分解的方法，平方差公式的应用，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，平方差公式的应用． 20．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习） 计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，负整指数幂． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型06 同分母分式加减法】 21．（21-22八年级上·全国·单元测试）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查分式的运算，正确运用运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据同分母分式减法法则进行计算即可； （2）原式先将除法转换为乘法后再约分即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 22．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）若互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查分式化简求值，根据互为倒数，得到，再由分式减法运算、约分得到最简结果，代值即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简是解决问题的关键． 【规范解答】解：互为倒数， ， 将代入即可得到的值为， 故选：D． 23．（22-23八年级上·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查利用平方差公式化简分式， （1）根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可； （2）变式后根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可； 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 24．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)与互为“和整分式”，“和整值”为 (2)；或或 【思路点拨】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，理解新定义是解题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加减运算化简即可判断； （2）①把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“和整分式”且“和整值”求出答案； ②根据为正整数，分式的值也为正整数计算即可． 【规范解答】（1）解：，， ， 故与互为“和整分式”， “和整值”为； （2）解：①， 由于“和整值”， ， 即， ； ②， 分式的值也为正整数， 或或， 解得或或． 【题型07 异分母分式加减法】 25．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知的值为正整数，求整数x的值． 【答案】，或5 【思路点拨】此题考查了异分母分式加减法，根据分式的值求参数，先计算异分母分式加减法，根据式子的值为正整数得或2，由此求出x的值． 【规范解答】解： ∵的值为正整数， ∴或2， ∴或5． 26．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知，则代数式 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的加减，分式的化简．由可得到，将变形为，整体代入化简即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为： 27．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知． (1)化简． (2)若，满足，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查分式的加减运算，化简求值： （1）异分母化为同分母，再进行计算即可； （2）根据，得到，整体代入进行求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴原式． 28．（20-21八年级上·山东聊城·单元测试）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】（）原式两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果； （）原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结； 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型08 整式与分式相加减】 29．（21-22八年级上·全国·单元测试）计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用同分母分式减法法则计算即可； （2）通分化为同分母分式减法计算即可． 【规范解答】（1） （2） 30．（23-24八年级上·山西大同·期末）观察下面的等式： (1)按上面的规律归纳出一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】此题考查了数式规律探究，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察已知等式，归纳总结得到一般性规律即可； （2）等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得出结论， 【规范解答】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 第n个等式：． （2）解：∵左边右边， ∴． 31．（22-23八年级上·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． （1）先利用分式的性质把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，即可求解； （2）先算括号里面加减法，再把除法统一成乘法，即可求解． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 32．（23-24八年级上·山东东营·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）将括号内通分，括号外除法改为乘法，再整理约分即可； （2）先通分，然后根据分式的性质化简即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【题型09 分式加减混合运算】 33．（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 34．（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似的，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：＝＝，＝＝＝． 参考上面的方法解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)求分式的最大值；（其中n为正整数） (3)已知分式的值是整数，求t的整数值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】本题考查了分式的加减法，分式的值，能够根据分式的值为整数求出t是解题的关键． （1）按照阅读材料的例子模仿即可； （2）先化简分式，再求最大值； （3）先化简分式，然后根据分式的值为整数求出t． 【规范解答】（1）解： （2）解：原式 ∵n为正整数 ∴当时，分式有最大值，最大值为 （3）解：原式 ∵分式的值是整数， ∴ ∴或 35．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)； (2)； (3)，当时，原式． 【思路点拨】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据同分母分式的加减法则进行计算即可； （2）先通分，再把分子相加减即可； （3）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式． 36．（21-22八年级上·福建福州·期末）阅读题： 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：这样的分式是假分式；这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：， ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)将分式化为整式与真分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或或或 【思路点拨】本题主要考查了分式的运算： （1）仿照题意进行求解即可； （2）先把化为，进而得到是整数，则或，进而即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或或或． 【题型10 分式加减的实际应用】 37．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元/，乙所购面粉的平均单价是______元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】；； 【思路点拨】本题考查了列代数式，分式的减法运算．根据题意可用含，的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【规范解答】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/）， 乙购买面粉的平均单价是：（元/）， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/）， 故答案为：；；． 38．（23-24七年级下·浙江·期末）甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查分式加减的应用，解题关键是理解题意．根据题意分别算出甲乙两次购买大米的平均价格，再作差，利用完全平方公式进行比较即可求解． 【规范解答】解：依题得：甲两次购买大米的平均价格为， 乙两次购买大米的平均价格为， ， 又， ， 即，乙两次购买大米的平均价格更低，更合理． 故选：． 39．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 【答案】 2 或或 【思路点拨】本题考查了分式的混合运算的应用； （1）根据题意，可以分别写出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可． （2）根据“两种小麦种植后产量相同”得出关于的一元一次方程，解方程得，根据题意，即可求解． 【规范解答】解：（1）由图可得， “丰收1号”单位面积的产量为： “丰收2号”单位面积的产量为： ∵ ∴ ∴， 即“丰收2号”小麦单位面积产量高， 故答案为：． （2）依题意， 解得： ∵，为正整数， ∴或或． 40．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． (1)已知，，请你用作差法比较A与B的大小． (2)甲、乙两人两次都同时到某米店买米，甲每次买米，乙每次买米100元，由于市场因素，虽然这两次米店售出同样的米，但单价却不同．若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算．问甲、乙两人谁的购粮方式更合算？为什么？ 【答案】(1) (2)乙的购买粮食更划算，理由见详解 【思路点拨】本题考查了整式加减运算的应用，分式加减的运算的应用； （1）作差，即可求解； （2）设第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元，则有甲两次大米的平均价格为元，乙两次大米的平均价格为，化简后，作差法比较大小，即可求解； 会用作差法比较代数式大小是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ， ， ； （2）解：乙的购买粮食更划算； 理由如下： 设第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元，由题意得 甲两次大米的平均价格为元， 乙两次大米的平均价格为 元， ， ， 故乙的购买粮食更划算． 【题型11 分式加减乘除混合运算】 41．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键． （1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分 【规范解答】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 42．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步                第二步                             第三步 (1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数带入求值． 【答案】(1)二 (2)，当时，原式 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ； ∵， ∴， 当时，原式． 43．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）计算与化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算分式的除法运算，再计算减法运算即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； 44．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【思路点拨】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【考点评析】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 【题型12 分式化简求值】 45．（23-24八年级上·山东东营·单元测试）（1）先化简，再求值：，其中． （2）化简求值：，其中 【答案】（1），；（2）， 【思路点拨】本题考查了分式和整式的化简求值，熟练掌握分式和整式的运算法则是解题的关键． （1）先对括号内的分式通分化简，再将除法化为乘法，利用完全平方公式进行分解因式，然后约分化简得到，最后把代入求解即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开去括号，然后合并同类项化简得到，最后利用，得到，将其代入求值即可． 【规范解答】解：（1） 当，原式； （2） ， ， 原式． 46．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，然后从，，，，中选择你喜欢的值带入求值． 【答案】； 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的运算法则，将原式化简为最简分式或整式，再代入求值． 【规范解答】解：， ， ， ， 由题意得：， 当时，原式． 47．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【思路点拨】对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【规范解答】（1）①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④． （2）， 故答案为:. （3）（3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【考点评析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 48．（23-24八年级上·山东泰安·期末）（）先化简，再求值：，其中． （）先化简，再求值：，从、、三个数中选一个作为代入求值． 【答案】（），；（），． 【思路点拨】（）利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； （）利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再根据分式有意义的条件确定出的值，最后把的代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解题的关键． 【规范解答】解：（）原式 ， ， ， 当时，原式； （）原式 ， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 49．（23-24八年级上·山东济宁·期末）【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 【答案】(1)14；194 (2)；52 【思路点拨】本题考查了分式的运算，完全平方公式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）方程两边同时除以x，移项后即可求得的值；对两边平方即可求出的值，然后再平方即可求出的值； （2）根据多项式乘多项式计算法则进行计算，求出，根据得出的公式，整体代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为：14；194． （2）解： ， 即， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$