专题3.8 整式及其加减-实际应用【8大题型】-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

专题3.8 整式的加减--实际应用【7大题型】 （北师大版2024） 题组一 周长问题 1 题组二 面积问题 7 题组三 行程问题 9 题组四 数据统计 11 题组五 销售问题 13 题组六 分段计费 15 题组七 其他类问题 17 题组一 周长问题 1．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为a，宽为b）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则b的值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得x+2y＝a， 则两块阴影部分的周长和为2a+2[b﹣（x+2y﹣b）]＝2a+2[2b﹣（x+2y）]＝4b＝24， ∴b＝6． 故选：B． 2．如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A．4m﹣8n B．3m﹣5n C．2m﹣4n D．4m﹣10n 【解答】解：根据题意得：新长方形的长为m﹣n，宽为m﹣3n， 则新长方形的周长为2[（m﹣n）+（m﹣3n）]＝2（2m﹣4n）＝4m﹣8n． 故选：A． 3．三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形ABCD中，将图中的两个空白小长方形分别记为S1，S2，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（　　） A．a+2b＝m B．小长方形S1的周长为a+m﹣b C．S1与S2的周长和恰好等于长方形ABCD的周长 D．只需知道a和m的值，即可求出S1与S2的周长和 【解答】解：A、由图可知，a+2b≠m，故本选项结论错误，不符合题意； B、小长方形S1的周长为：2（m﹣b）+2a＝2m﹣2b+2a，故本选项结论错误，不符合题意； C、小长方形S1的周长为2m﹣2b+2a，小长方形S2的周长为：2（m﹣2a）+2b＝2m﹣4a+2b， 所以S1与S2的周长和为：2m﹣2b+2a+2m﹣4a+2b＝4m﹣2a＝2m﹣2a+2m， 长方形ABCD的周长为：2m+2n＝2m﹣2a+4a+2b， 如果S1与S2的周长和恰好等于长方形ABCD的周长，那么2m＝4a+2b，即m＝2a+b，但是图中a+2b≠m， 故本选项结论错误，不符合题意； D、由C知，S1与S2的周长和为4m﹣2a， 所以只需知道a和m的值，即可求出S1与S2的周长和， 故本选项结论正确，符合题意． 故选：D． 4．如图，某长方形花园的长为（x+y）米，宽为（x﹣y）米．现根据实际需要对该花园进行整改，长方形花园的长增加（x﹣y）米，宽增加（x﹣2y）米，则整改后该花园的周长为（　　） A．（4x﹣3y）米 B．（4x﹣6y）米 C．（8x﹣3y）米 D．（8x﹣6y）米 【解答】解：整改后的花园周长为： 2[（x+y+x﹣y）+（x﹣y+x﹣2y）] ＝2（2x+2x﹣3y） ＝2（4x﹣3y） ＝（8x﹣6y）米， 故选：D． 5．将图1中周长为24的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为36的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　） A．30 B．28 C．26 D．24 【解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y， 则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y， 5号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x， 由图1中长方形的周长为24，可得，y+2 （x+y）+（2x+y）＝12， 解得：x+y＝3， 如图，图2中长方形的周长为36， ∴AB+2 （x+y）+2x+y+y﹣x＝18， ∴AB＝18﹣3x﹣4y， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长， ∴2 （AB+AD） ＝2（18﹣3x﹣4y+x+y+2x+y+y﹣x） ＝2 （18﹣x﹣y） ＝36﹣2 （x+y） ＝36﹣6 ＝30， 故选：A． 6．如图，长方形ABCD被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形CEFG，若小长方形CEFG的两边，则大长方形的两边的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设EC＝3x，EF＝4x，最小正方的边长为a， 则其余四个正方形的边长从小到大依次为3x，3x+a，3x+2a，3x+3a， ∴AB＝3x+a+3x+2a＝6x+3a，BC＝4x+3x+3x+a＝10x+a，AD＝3x+2a+3x+3a＝6x+5a， ∵矩形ABCD中，AD＝BC， ∴10x+a＝6x+5a， 解得a＝x， ∴AB＝9x，BC＝11x， ∴， 故选：D． 7．在边长为8的正方形ABCD底座中，放置两张大小相同的正方形纸板，边EF在AB上，点K，I分别在BC，CD上，若区域I的周长比区域II与区域Ⅲ的周长之和还大4，则正方形纸板的边长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【解答】解：设EI＝x， ∵在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD＝8， ∴∁I＝AD+AE+ER+HR+HI+ID，CII+CⅢ＝2（MN+NG）+2（FN+NK）， ∴∁I＝8+8+2ID＝8+8+2（8﹣x）＝32﹣2x，CII+CⅢ＝2（x+x）＝4x， ∵区域I的周长比区域II与区域Ⅲ的周长之和还大4， ∴32﹣2x＝4x+4， ∴解得：． 故选：B． 8．已知某三角形第一条边长为（2a﹣b）cm，第二条边比第一条边长（a+b）cm，第三条边比第一条边的2倍少（a﹣b）cm．若4a﹣b＝7cm，则这个三角形的周长为（　　） A．7cm B．10.5cm C．14cm D．21cm 【解答】解：由题意知，第二条边长为：（2a﹣b）+（a+b）＝3a cm， 第三条边长为：2（2a﹣b）﹣（a﹣b）＝（3a﹣b）cm， 则周长为：（2a﹣b）+3a+（3a﹣b）＝（8a﹣2b）cm， ∵4a﹣b＝7cm， ∴8a﹣2b＝14cm， 即这个三角形的周长为14cm， 故选：C． 9．如图所示是长方体的平面展开图，设AB＝x，若AD＝4x，AN＝3x． （1）求长方形DEFG的周长与长方形ABMN的周长（用字母x进行表示）； （2）若长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求x的值； （3）在第（2）问的条件下，求原长方体的容积． 【解答】解：（1）∵AB＝x，若AD＝4x，AN＝3x， ∴长方形DEFG的周长为2（x+2x）＝6x， 长方形ABMN的周长为2（x+3x）＝8x； （2）依题意，8x﹣6x＝8， 解得：x＝4； （3）原长方体的容积为x•2x•3x＝6x3， 将x＝4代入，可得容积6x3＝384． 题组二 面积问题 1．两个正方形如图摆放，大正方形的边长是4，小正方形边长是2，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则两阴影部分的面积差（a﹣b）为（　　） A．14 B．12 C．10 D．无法计算 【解答】解：设空白部分的面积为x． 根据题意，得a+x＝16，b+x＝4， 则a＝16﹣x，b＝4﹣x， 所以a﹣b＝16﹣x﹣（4﹣x）＝16﹣x﹣4+x＝12． 故选：B． 2．如图，四边形的面积为9，五边形的面积为17，两个阴影部分的面积分别为a，b（a＜b），则b﹣a的值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【解答】解：设重叠部分面积为c， b﹣a＝（b+c）﹣（a+c）＝17﹣9＝8． 故选：B． 3．由两块a×b的长方形和一块边长为c的正方形拼成如图图形． （1）如图1，用含a，b，c的式子表示出该图形的面积（直接写出结果）． （2）已知b＝1，c＝3． ①如图2，分别用两种不同的方式连接图形中的三个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影三角形的面积分别记作S1和S2，试通过计算比较S1与S2的大小关系； ②如图3，P是边长为c的正方形四条边上的一个动点，M，N是图形上如图中所示的两个顶点，则三角形PMN面积的最大值为 　2a+1.5　；三角形PMN面积的最小值为 　　．（用含a的式子表示） 【解答】解（1）c2+ab+ab＝c2+2ab； （2）①∵S1＝（1+3）•（2a+3）﹣﹣ ＝4a+6﹣4.5﹣a ＝3a+1.5， S2＝3×3+•2a﹣•（2a+3） ＝3a+3， ∴S1＜S2； ②如图3， ∵过△PMN的面积等于MN与MN上的高的一半，所以其面积大小取决于当过P点与MN平行的直线与MN之间的距离， ∴当图形P在P1处，面积最大，当P点在P2时，面积最小， 由上知， 面积最大＝2a+1.5， 面积最小＝a， 故答案是2a+1.5，． 题组三 行程问题 1．有甲、乙、丙三条公路，乙公路的路线长度是甲公路的6倍多3千米，丙公路的路线长度是甲公路的2倍少2千米，则丙公路的路线长度的3倍比乙公路的路线长度（　　） A．多1千米 B．少5千米 C．少9千米 D．少12千米 【解答】解：设甲公路的路线长为x千米，则乙公路路线长为（6x+3）千米，丙公路路线长为（2x﹣2）千米， 根据题意得： 3（2x﹣2）﹣（6x+3） ＝6x﹣6﹣6x﹣3 ＝﹣9． 即丙公路的路线长度的3倍比乙公路的路线长度少9千米． 故选：C． 2．A、B、C、D四个车站的位置如图所示，车站B距车站A、D的距离分别为（a+b）km、（5a+3b）km，车站C与车站D的距离为（3a+2b）km．其中a，b是不为0的实数． （1）求B、C两站之间的距离（用含a、b的代数式表示）． （2）若B、D两个车站之间的距离比A、B两个车站之间的距离长8km，求出B、C两个车站相距多少km？ 【解答】解：（1）BC＝（5a+3b）﹣（3a+2b）＝5a+3b﹣3a﹣2b＝2a+b． ∴B、C两站的距离为 （2a+b）km． （2）由题意，得 （5a+3b）﹣（a+b）＝4a+2b＝8， ∴2a+b＝4， 即 BC＝2a+b＝4． 答：B、C两个车站之间的距离是4km． 3．一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（9＜x＜26，单位：km） 第一次 第二次 第三次 第四次 x x﹣5 2（9﹣x） （1）说出这辆出租车每次行驶的方向． （2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置． （3）这辆出租车一共行驶了多少路程？ 【解答】（1）解：第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西． （2）解：x+（﹣x）+（x﹣5）+2（9﹣x）＝13﹣x， ∵9＜x＜26， ∴13﹣x＞0， ∴经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是向东（13﹣x）km． （3）解：|x|+|﹣x|+|x﹣5|+|2（9﹣x）|＝x﹣23， 答：这辆出租车一共行驶了（x﹣23）km的路程． 题组四 数据统计 1．为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会．开幕式七年级（4）班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有（3m+4n+2）人，第二组比第一组的一半多6人． （1）求第三组的人数（用含m，n的式子表示）． （2）计算当m＝2，n＝1时，三组分别有多少人？ 【解答】解：（1）由题知，第二组有人， 第三组有人． （2）当m＝2，n＝1时， 第一组有3m+4n+2＝3×2+4×1+2＝12（人）， 第二组有（人）， 第三组有47﹣12﹣12＝23（人）． 2．一列高铁客车从西安北站开往郑州北站，发车时车上有乘客（288m﹣16n）人，经灵宝西站时，有四分之三的乘客下车了，同时又有一部分乘客上车，这时车上共有乘客（104m﹣24n）人，回答下列问题（m、n都是正数）． （1）从灵宝西站上车的乘客有多少人？（用含m、n的式子表示） （2）当m＝8，n＝5时，从灵宝西站上车的乘客有多少人？ 【解答】解：（1）（104m﹣24n）﹣（1﹣）×（288m﹣16n） ＝104m﹣24n﹣72m+4n ＝（32m﹣20n）人， 答：从灵宝西站上车的乘客有（32m﹣20n）人； （2）当m＝8，n＝5时， 原式＝32×8﹣20×5 ＝256﹣100 ＝156（人）， 答：从灵宝西站上车的乘客有156人． 3．教室里原有a位同学，后来有（b+2）位同学去打篮球，有（b+3）位同学去参加兴趣小组，则最后教室里还有多少人？当a＝30，b＝5时，最后教室里还有多少人？ 【解答】解：a﹣（b+2）﹣（b+3） ＝a﹣b﹣2﹣b﹣3 ＝a﹣2b﹣5， 当a＝30，b＝5时， 原式＝30﹣2×5﹣5 ＝15， 答：最后教室里还有（a﹣2b﹣5）人，当a＝30，b＝5时，最后教室里还有15人． 4．一辆客车从甲地开往乙地，车上原有（4a﹣2b）人，中途停车一次，有一些人下车，此时下车的人数比车上原有人数一半还多2人，同时又有一些人上车，上车的人数比少3人． （1）用代数式表示中途下车的人数； （2）用代数式表示中途下车、上车之后，车上现在共有多少人？ （3）当a＝10，b＝9时，求中途下车、上车之后，车上现在的人数？ 【解答】解：（1）∵车上原有（4a﹣2b）人，下车的人数比车上原有人数一半还多2人， ∴中途下车的人数为：（4a﹣2b）+2； （2）由题意可得：（4a﹣2b）﹣[（4a﹣2b）+2]+（8a﹣4b）﹣3 ＝4a﹣2b﹣2a+b﹣2+4a﹣2b﹣3 ＝6a﹣3b﹣5； 答：车上现在共有（6a﹣3b﹣5）人； （3）∵a＝10，b＝9， ∴车上现在的人数为：6a﹣3b﹣5＝60﹣27﹣5＝28（人）， 答：车上现在的人数28人． 5．某核酸检测站点有A、B、C三个检测窗口，共48人排队等候．其中A窗口有（3a+2b）人，B窗口人数的2倍比A窗口人数少（a﹣2b）人，请用含a，b式子表示C窗口的人数． 【解答】解：B窗口的人数为：， 则C窗口的人数为：48﹣（3a+2b）﹣（a+2b）＝48﹣4a﹣4b． 6．火车从北京出发时，车上有（5a﹣2b）人，途中经过武汉时下了一半人，但又上车若干人，这时车上人数有（10a﹣3b）人，问：中途上车多少人？当a＝250，b＝100时，中途上车多少人？ 【解答】解：由题意得： ＝ ＝10a﹣3b﹣2.5a+b ＝10a﹣2.5a﹣3b+b ＝7.5a﹣2b（人）， 当a＝250，b＝100，中途上车的人数为： 7.5×250﹣2×100 ＝1875﹣200 ＝1675（人）， 答：中途上车（7.5a﹣2b）人，当a＝250，b＝100时，中途上车1675人． 7．某校有A，B，C三个课外活动小组，A小组有学生（x+2y）名，B小组学生人数是A小组学生人数的3倍，C小组比A小组多3名学生，问A，B，C三个课外活动小组共有多少名学生？ 【解答】解：∵A小组有学生（x+2y）名，B小组学生人数是A小组学生人数的3倍， ∴B小组学生人数为3（x+2y）名． ∵C小组比A小组多3名学生， ∴C小组学生人数为[（x+2y）+3]名， ∴A，B，C三个课外活动小组共有（x+2y）+3（x+2y）+[（x+2y）+3]＝（5x+10y+3）名． 答：A，B，C三个课外活动小组共有（5x+10y+3）名学生 题组五 销售问题 1．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（m＞n）的价格进了同样的60包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（　　） A．盈利了 B．亏损了 C．不赢不亏 D．盈亏不能确定 【解答】解：根据题意列得：在甲批发市场茶叶的利润为40（﹣m）＝20（m+n）﹣40m＝20n﹣20m； 在乙批发市场茶叶的利润为60（﹣n）＝30（m+n）﹣60n＝30m﹣30n， ∴该商店的总利润为20n﹣20m+30m﹣30n＝10m﹣10n＝10（m﹣n）， ∵m＞n，∴m﹣n＞0，即10（m﹣n）＞0， 则这家商店盈利了． 故选：A． 2．超市原有（5x2﹣10x）桶食用油，上午卖出（7x﹣5）桶，中午休息时又购进同样的食用油（x2﹣x）桶，中午过后又卖了若干桶，下午清仓时发现该食用油只剩下5桶，请问： （1）超市中午过后一共卖出多少桶食用油？（用含有x的式子表示） （2）当x＝5时，超市这一天一共卖出多少桶食用油？ 【解答】解：（1）由题意得， （5x2﹣10x）﹣（7x﹣5）+（x2﹣x）﹣5 ＝5x2﹣10x﹣7x+5+x2﹣x﹣5 ＝6x2﹣18x， 答：超市中午过后一共卖出（6x2﹣18x）桶食用油； （2）由题意得， （5x2﹣10x）+（x2﹣x）﹣5 ＝5x2﹣10x+x2﹣x﹣5 ＝6x2﹣11x﹣5， ∴当x＝5时， 6x2﹣11x﹣5 ＝6×52﹣11×5﹣5 ＝6×25﹣55﹣5 ＝150﹣55﹣5 ＝90（桶）， 答：超市这一天一共卖出90桶食用油． 3．甲、乙两家商店8月份的销售额均为a万元，在9月份和10月份这两个月份中，甲商店的销售额平均每月增长x%，乙商店的销售额平均每月减少x%． （1）求10月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？ （2）若11月份甲商店销售额的平均增长率保持不变，而乙商店11月份的销售额在10月份的基础上增长x%，求11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？ 【解答】解：（1）根据题意列得：a（1+x%）﹣a（1﹣x%）＝a+ax%﹣a+ax%＝2ax%， 则10月份甲商店比乙商店的销售额多2ax%万元； （2）根据题意列得：a（1+x%）2﹣a（1﹣x%）（1+x%）＝a+2ax%+a（x%）2﹣a+a（x%）2＝2ax%+2a（x%）2． 则11月份甲商店比乙商店的销售额多[2ax%+2a（x%）2]万元． 题组六 分段计费 1．某超市在元旦期间对购物实行优惠，规定如下： 一次性购物货款 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过500元 九折优惠 超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 （1）若顾客一次性购物的货款为300元，他实际付款 　270　元；若顾客一次性购物货款为x元，当x超过500元时，实际付款 　（0.8x+50）　元（用含x的式子表示）； （2）若顾客两次购物的货款合计840元，第一次购物的货款为y元（200＜y＜300），则该顾客两次购物实际付款一共多少元？（用含y的式子表示） （3）小张两次购物，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），第二次购物的货款为b元（200＜b＜500）．如果他把两次购买的商品合并为一次购买，可节省26元，则他两次购物的货款一共是多少元？ 【解答】解：（1）根据题意得：300×0.9＝270（元）； 若顾客一次性购物货款为x元，当x超过500元时，实际付款500×0.9+（x﹣500）×0.8＝（0.8x+50）元． 故答案为：270，（0.8x+50）； （2）根据题意得：第一次购物的货款为y元（200＜y＜300）时，实际付款0.9y元； ∵两次购物的货款合计840元，且第一次购物的货款为y元（200＜y＜300）， ∴第二次购物的货款为（840﹣y）元（540＜840﹣y＜640）， ∴第二次购物实际付款0.8（840﹣y）+50＝（﹣0.8y+722）元． 又∵0.9y+（﹣0.8y+722）＝（0.1y+722）（元）， ∴该顾客两次购物实际付款一共（0.1y+722）元； （3）根据题意得：0.9a+0.9b﹣[0.8（a+b）+50]＝26， 解得：a+b＝760． 答：他两次购物的货款一共是760元． 2．山东省从2012年7月开始实施阶梯电价制，居民生活用电价格方案如下： 档次 月用电量 电价（单位：元/度） 第1档 月用电量≤200度 0.50 第2档 200度＜月用电量≤400度 0.55 第3档 月用电量＞400度 0.80 （1）填空：如果小华家2012年9月份的用电量为100度，则需缴电费　50　元； （2）如果小华家2012年10月份的用电量为300度，则需缴电费多少元？ （3）如果小华家2012年11、12两个月共用电700度（其中12月份的用电量达到“第3档”）．设11月份用电量为a度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（用含a的式子表示，并化简） 【解答】解：（1）根据题意得：0.5×100＝50（元）； （2）根据题意得：0.50×200+0.55×100＝155（元）； （3）如果11月份用电量在第一档，即a≤200度， 则两个月电费为0.50a+0.50×200+0.55×200+0.80×（700﹣a﹣400）＝（450﹣0.3a）元； 如果11月份用电量在第二档，即200＜a≤400， 则两个月电费为0.50×200+0.55×（a﹣200）+0.50×200+0.55×200+0.80×（700﹣a﹣400）＝（440﹣0.25a）元． 故答案为：（1）50． 3．某移动电话公司给用户提供了各种手机资费套餐，其中两个如表所示： 5G套餐使用费 （元/月） 套餐内包含国内主叫通话时长（分） 套餐外国内主叫通话单价 （元） 国内被叫 套餐内包含国内数据流量 （GB） 套餐外国内数据流量单价 （元） 19 0 0.1 免费 30 5 39 100 0.1 免费 55 5 （1）如果某用户某月国内主叫通话总时长为x分，使用国内数据流量为y GB（字节），请分别写出两种套餐收费方式下该用户应该支付的费用（假定x≥100，30≤y≤55）． （2）如果某用户某月国内主叫通话总时长为120分，使用国内数据流量36GB，通过计算说明上述两种套餐中他选哪一种较为合算． 【解答】解：（1）∵x≥100，30≤y≤55 ∴19元套餐收费方式下该用户应该支付的费用为：19+0.1x+5（y﹣30）＝0.1x+5y﹣131（元），39元套餐收费方式下该用户应该支付的费用为：0.1（x﹣100）+39＝0.1x+29（元）， ∴19元套餐0.1x+5y﹣131（元）；39元套餐收费0.1x+29（元） （2）当x＝120，y＝36时，0.1x+5y﹣131＝0.1×120+5×36﹣131＝61（元）0.1x+29＝0.1×120+29＝41（元） ∵41＜61， ∴39元套餐较为合算 题组七 其他类问题 1．小明和小亮在一起探究一个数学活动．首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和．根据图上信息，你认为可以计算出的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：设小亮的身高为x cm，小明身高为y cm，箱子的高度为z cm， 根据题意得：x+z＝y+48，y+z＝x+24， 整理得：x﹣y＝48﹣z，x﹣y＝z﹣24， 所以48﹣z＝z﹣24， 解得：z＝36， 则可以计算出箱子的高度． 故选：C． 2．某住房户型平面图如下（单位：米），其中，主卧和次卧的面积一共是35m2.现准备铺设地面，主卧次卧和书房铺设木地板，其他区域铺设地砖． （1）用含x，y的整式表示住房的总面积，直接写出化简后的结果； （2）若房子右边的宽AB是11m，住房的总面积是多少平方米？ （3）按市场价格，木地板单价为500元/平方米，地砖单价为400元/平方米，装修公司有A、B两种活动方案，如表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 3000元 B 9折 9折 免收 若主卧和次卧的面积之比为4：3． ①直接写出x，y的值； ②选择哪种活动方案，设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 【解答】解：（1）如图，延长BC，HG交于点I，延长DE交HI于点J， ∵住房的总面积S＝S长方形ABIH﹣S长方形GFEJ﹣S长方形JDCI， ∵主卧和次卧的面积一共是35m2． ∴5（2x+y）＝35， ∴2x+y＝7， ∴AH＝7+5＝12， ∴IC＝BI﹣BC＝AH﹣BC＝12﹣6＝6， ∴JE＝JD﹣DE＝IC﹣DE＝6﹣5＝1， ∵JI＝AB﹣HG﹣EF＝y+x+2y﹣5﹣（x+y）＝2y﹣5， ∴住房的总面积S＝S长方形ABIH﹣S长方形GFEJ﹣S长方形JDCI ＝12（y+x+2y）﹣1×（x+y）﹣6（2y﹣5） ＝11x+23y+30； （2）由题意，得 y+x+2y＝11， ∴x+3y＝11， 由（1）知：2x+y＝7， ∴， 解方程得， 将x＝2，y＝3代入验证，为此方程的解，并符合题意， ∴住房的总面积S＝11x+23y+30＝11×2+23×3+30＝121（平方米）， 答：住房的总面积是121平方米； （3）①由题意，得＝， 解得2y＝3x，得y＝，代入（1）的2x+y＝7， 得2x+＝7， 解得x＝2，y＝3， 代入原方程符合题意， 答：x，y的值为2，3； ②根据题意，得 铺设主卧次卧和书房需要木地板：35+5y＝35+15＝50（m2）， 铺设其他区域需要地砖：121﹣50＝71（m2）， ∴A种活动方案所需的费用：50×500×0.8+71×400×0.85+3000＝47140（元）， B种活动方案所需的费用：50×500×0.9+71×400×0.9＝48060（元）， ∵47140＜48060， 故小方家应选择A种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低． 3．某企业有A、B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时． （1）当a＝b＝1时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？ （2）第一天，该企业把5吨原材料分配到A、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？ （3）第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？ 【解答】解：（1）当a＝b＝1时，4a+1＝5，2b+3＝5． 答：当a＝b＝1时，A生产线的加工时间为5小时，B生产线的加工时间为5小时． （2）由题意可知， ， 解得：a＝2，b＝3． 答：分配到A生产线2吨，分配到B生产线3吨． （3）由题意可知， 4（2+m）+1＝2（3+n）+3， 解得：2m＝n， ， 解得：m＝2，n＝4． 答：m和n的数量关系为2m＝n，当m与n的和为6吨时，m为2吨，n为4吨 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.8 整式的加减--实际应用【7大题型】 （北师大版2024） 题组一 周长问题 1 题组二 面积问题 4 题组三 行程问题 5 题组四 数据统计 7 题组五 销售问题 8 题组六 分段计费 8 题组七 其他类问题 9 题组一 周长问题 1．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为a，宽为b）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则b的值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 2．如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A．4m﹣8n B．3m﹣5n C．2m﹣4n D．4m﹣10n 3．三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形ABCD中，将图中的两个空白小长方形分别记为S1，S2，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（　　） A．a+2b＝m B．小长方形S1的周长为a+m﹣b C．S1与S2的周长和恰好等于长方形ABCD的周长 D．只需知道a和m的值，即可求出S1与S2的周长和 4．如图，某长方形花园的长为（x+y）米，宽为（x﹣y）米．现根据实际需要对该花园进行整改，长方形花园的长增加（x﹣y）米，宽增加（x﹣2y）米，则整改后该花园的周长为（　　） A．（4x﹣3y）米 B．（4x﹣6y）米 C．（8x﹣3y）米 D．（8x﹣6y）米 5．将图1中周长为24的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为36的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　） A．30 B．28 C．26 D．24 6．如图，长方形ABCD被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形CEFG，若小长方形CEFG的两边，则大长方形的两边的值为（　　） A． B． C． D． 7．在边长为8的正方形ABCD底座中，放置两张大小相同的正方形纸板，边EF在AB上，点K，I分别在BC，CD上，若区域I的周长比区域II与区域Ⅲ的周长之和还大4，则正方形纸板的边长为（　　） A．4 B． C．5 D． 8．已知某三角形第一条边长为（2a﹣b）cm，第二条边比第一条边长（a+b）cm，第三条边比第一条边的2倍少（a﹣b）cm．若4a﹣b＝7cm，则这个三角形的周长为（　　） A．7cm B．10.5cm C．14cm D．21cm 9．如图所示是长方体的平面展开图，设AB＝x，若AD＝4x，AN＝3x． （1）求长方形DEFG的周长与长方形ABMN的周长（用字母x进行表示）； （2）若长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求x的值； （3）在第（2）问的条件下，求原长方体的容积． 题组二 面积问题 1．两个正方形如图摆放，大正方形的边长是4，小正方形边长是2，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则两阴影部分的面积差（a﹣b）为（　　） A．14 B．12 C．10 D．无法计算 2．如图，四边形的面积为9，五边形的面积为17，两个阴影部分的面积分别为a，b（a＜b），则b﹣a的值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 3．由两块a×b的长方形和一块边长为c的正方形拼成如图图形． （1）如图1，用含a，b，c的式子表示出该图形的面积（直接写出结果）． （2）已知b＝1，c＝3． ①如图2，分别用两种不同的方式连接图形中的三个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影三角形的面积分别记作S1和S2，试通过计算比较S1与S2的大小关系； ②如图3，P是边长为c的正方形四条边上的一个动点，M，N是图形上如图中所示的两个顶点，则三角形PMN面积的最大值为 　 　；三角形PMN面积的最小值为 　 　．（用含a的式子表示） 题组三 行程问题 1．有甲、乙、丙三条公路，乙公路的路线长度是甲公路的6倍多3千米，丙公路的路线长度是甲公路的2倍少2千米，则丙公路的路线长度的3倍比乙公路的路线长度（　　） A．多1千米 B．少5千米 C．少9千米 D．少12千米 2．A、B、C、D四个车站的位置如图所示，车站B距车站A、D的距离分别为（a+b）km、（5a+3b）km，车站C与车站D的距离为（3a+2b）km．其中a，b是不为0的实数． （1）求B、C两站之间的距离（用含a、b的代数式表示）． （2）若B、D两个车站之间的距离比A、B两个车站之间的距离长8km，求出B、C两个车站相距多少km？ 3．一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（9＜x＜26，单位：km） 第一次 第二次 第三次 第四次 x x﹣5 2（9﹣x） （1）说出这辆出租车每次行驶的方向． （2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置． （3）这辆出租车一共行驶了多少路程？ 题组四 数据统计 1．为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会．开幕式七年级（4）班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有（3m+4n+2）人，第二组比第一组的一半多6人． （1）求第三组的人数（用含m，n的式子表示）． （2）计算当m＝2，n＝1时，三组分别有多少人？ 2．一列高铁客车从西安北站开往郑州北站，发车时车上有乘客（288m﹣16n）人，经灵宝西站时，有四分之三的乘客下车了，同时又有一部分乘客上车，这时车上共有乘客（104m﹣24n）人，回答下列问题（m、n都是正数）． （1）从灵宝西站上车的乘客有多少人？（用含m、n的式子表示） （2）当m＝8，n＝5时，从灵宝西站上车的乘客有多少人？ 3．教室里原有a位同学，后来有（b+2）位同学去打篮球，有（b+3）位同学去参加兴趣小组，则最后教室里还有多少人？当a＝30，b＝5时，最后教室里还有多少人？ 4．一辆客车从甲地开往乙地，车上原有（4a﹣2b）人，中途停车一次，有一些人下车，此时下车的人数比车上原有人数一半还多2人，同时又有一些人上车，上车的人数比少3人． （1）用代数式表示中途下车的人数； （2）用代数式表示中途下车、上车之后，车上现在共有多少人？ （3）当a＝10，b＝9时，求中途下车、上车之后，车上现在的人数？ 5．某核酸检测站点有A、B、C三个检测窗口，共48人排队等候．其中A窗口有（3a+2b）人，B窗口人数的2倍比A窗口人数少（a﹣2b）人，请用含a，b式子表示C窗口的人数． 6．火车从北京出发时，车上有（5a﹣2b）人，途中经过武汉时下了一半人，但又上车若干人，这时车上人数有（10a﹣3b）人，问：中途上车多少人？当a＝250，b＝100时，中途上车多少人？ 7．某校有A，B，C三个课外活动小组，A小组有学生（x+2y）名，B小组学生人数是A小组学生人数的3倍，C小组比A小组多3名学生，问A，B，C三个课外活动小组共有多少名学生？ 题组五 销售问题 1．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（m＞n）的价格进了同样的60包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（　　） A．盈利了 B．亏损了 C．不赢不亏 D．盈亏不能确定 2．超市原有（5x2﹣10x）桶食用油，上午卖出（7x﹣5）桶，中午休息时又购进同样的食用油（x2﹣x）桶，中午过后又卖了若干桶，下午清仓时发现该食用油只剩下5桶，请问： （1）超市中午过后一共卖出多少桶食用油？（用含有x的式子表示） （2）当x＝5时，超市这一天一共卖出多少桶食用油？ 3．甲、乙两家商店8月份的销售额均为a万元，在9月份和10月份这两个月份中，甲商店的销售额平均每月增长x%，乙商店的销售额平均每月减少x%． （1）求10月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？ （2）若11月份甲商店销售额的平均增长率保持不变，而乙商店11月份的销售额在10月份的基础上增长x%，求11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？ 题组六 分段计费 1．某超市在元旦期间对购物实行优惠，规定如下： 一次性购物货款 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过500元 九折优惠 超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 （1）若顾客一次性购物的货款为300元，他实际付款 　 　元；若顾客一次性购物货款为x元，当x超过500元时，实际付款 　 　元（用含x的式子表示）； （2）若顾客两次购物的货款合计840元，第一次购物的货款为y元（200＜y＜300），则该顾客两次购物实际付款一共多少元？（用含y的式子表示） （3）小张两次购物，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），第二次购物的货款为b元（200＜b＜500）．如果他把两次购买的商品合并为一次购买，可节省26元，则他两次购物的货款一共是多少元？ 2．山东省从2012年7月开始实施阶梯电价制，居民生活用电价格方案如下： 档次 月用电量 电价（单位：元/度） 第1档 月用电量≤200度 0.50 第2档 200度＜月用电量≤400度 0.55 第3档 月用电量＞400度 0.80 （1）填空：如果小华家2012年9月份的用电量为100度，则需缴电费　 　元； （2）如果小华家2012年10月份的用电量为300度，则需缴电费多少元？ （3）如果小华家2012年11、12两个月共用电700度（其中12月份的用电量达到“第3档”）．设11月份用电量为a度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（用含a的式子表示，并化简） 3．某移动电话公司给用户提供了各种手机资费套餐，其中两个如表所示： 5G套餐使用费 （元/月） 套餐内包含国内主叫通话时长（分） 套餐外国内主叫通话单价 （元） 国内被叫 套餐内包含国内数据流量 （GB） 套餐外国内数据流量单价 （元） 19 0 0.1 免费 30 5 39 100 0.1 免费 55 5 （1）如果某用户某月国内主叫通话总时长为x分，使用国内数据流量为y GB（字节），请分别写出两种套餐收费方式下该用户应该支付的费用（假定x≥100，30≤y≤55）． （2）如果某用户某月国内主叫通话总时长为120分，使用国内数据流量36GB，通过计算说明上述两种套餐中他选哪一种较为合算． 题组七 其他类问题 1．小明和小亮在一起探究一个数学活动．首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和．根据图上信息，你认为可以计算出的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．某住房户型平面图如下（单位：米），其中，主卧和次卧的面积一共是35m2.现准备铺设地面，主卧次卧和书房铺设木地板，其他区域铺设地砖． （1）用含x，y的整式表示住房的总面积，直接写出化简后的结果； （2）若房子右边的宽AB是11m，住房的总面积是多少平方米？ （3）按市场价格，木地板单价为500元/平方米，地砖单价为400元/平方米，装修公司有A、B两种活动方案，如表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 3000元 B 9折 9折 免收 若主卧和次卧的面积之比为4：3． ①直接写出x，y的值； ②选择哪种活动方案，设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 3．某企业有A、B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时． （1）当a＝b＝1时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？ （2）第一天，该企业把5吨原材料分配到A、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？ （3）第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$