专题01 有理数（考点清单+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版2024）

清单01 有理数（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 【清单02】有理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． (2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． (3)多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【清单03】有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【清单04】有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 【考点题型一】正数与负数 【例1】出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 【答案】(1)小李距下午出发地有6千米； (2)从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为元； 【分析】（1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以，再根据总价=单价×数量即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：（千米）， ∴小李距下午出发地有6千米； （2）解： （元） ∴从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为元； 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【变式1-1】. 聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 【答案】(1)见解析 (2)-4，1 【分析】（1）10意义是收入10元，0意义是收支平衡，-2意义是支出了2元． （2）先计算聪聪本周日的收支数等于本周的结余数-2减去周一到周六的收支总和，结果为-4，慧慧本周的结余数等于本周一到周日的收支总和，结果为1，然后填入下表． 【详解】（1）10是收入10元，0是收支平衡，-2是支出了2元． （2）聪聪周日的收支情况为：-2-（10-5.20+0-4.80+5-3）=-2-2=-4， 慧慧本周的结余情况为：8+0+0-6-1+0+0=1， 根据计算完成下表 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 -4 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 1 【点睛】本题考查了有理数加减的应用，解决问题的关键是清楚知道收支的正负，熟练进行有理数的加减运算．（1）按收入为正，支出为负回答．（2）先计算出聪聪本周日的收支数据，慧慧本周的结余数据，而后填表． 【变式1-2】. 一辆清雪车在一条东西方向的道路上进行清雪工作，清雪车早晨从A处出发，清雪结束时停留在B处．规定向东为正，当天行驶记录如下：（单位：千米） ﹣15，+8，﹣7，+18，+6，﹣12.4，+6，﹣5.1． （1）B处在A处何方？距A处多少千米？ （2）一辆清雪车每行驶1千米可清雪20立方米，求这辆清雪车这一天的清雪量． 【答案】（1）B处在A处的西方，距A处1.5千米；（2）这辆清雪车这一天的清雪量为1550立方米． 【分析】（1）根据有理数的加法运算进行解答即可； （2）先求出汽车行驶距离，然后再根据清雪量=20×行驶距离解答即可. 【详解】解：（1）∵-15+8-7+18+6-12.4+6-5.1=-1.5（千米）. 答：B处在A处的西方，距A处1.5千米； （2）15+8+7+18+6+12.4+6+5.1=77.5（千米）， 77.5×20=1550立方米. 答：这辆清雪车这一天的清雪量为1550立方米． 【点睛】本题主要考查了正数和负数的应用，掌握有理数的加法运算以及负数的意义成为解答本题关键． 【变式1-3】. 图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 【答案】（1）（+3，+4），（+2，0），D；（2）见解析；（3）10；（4）（﹣2，﹣2） 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据题意：A→M→N→Q→P，如图1； （3）分别根据各点的坐标计算总长即可； （4）令M→A与M→N对应的横纵坐标相减即可得出． 【详解】：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，-2）； 故答案为：（+3，+4），（+2，0），D； （2）解：P点位置如图1所示； （3）解：如图2， 根据已知条件可知： A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10； （4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N， 所以，N→A应记为（﹣2，﹣2） 【点睛】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点． 【考点题型二】有理数 【例2】将下列各数填入相应的括号里： 20，，0，，+，86%，，0.020020002，0.010010001…，． 负数集合{　　…}； 分数集合{　　…}； 正整数集合{　　…}； 无理数集合{　　…}． 【答案】，，；﹣4.8，+，86%，0.020020002，；20；0.010010001… 【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】负数集合{，，…}； 分数集合{，+，86%，0.020020002，…}； 正整数集合{20…}； 无理数集合{0.010010001……}． 故答案为：，，；﹣4.8，+，86%，0.020020002，；20；0.010010001…． 【点睛】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 【变式2-1】. 把下列各数分别填入相应的大括号里： 0.5， 0，， ， ， ， ， 负整数集合：{                 …}；   非负数集合：{                 …}； 正分数集合：{                 …}；   负分数集合：{                 …}． 【答案】；；0.5； 【分析】根据有理数的分类对各数进行判断，即可得出结果； 【详解】负整数集合：{ ， ， }； 非负数集合：{ 0.5，0，5 ， }； 正分数集合：{ 0.5}； 负分数集合：{}； 【点睛】本题考查了有理数的分类，正确掌握非负数、整数、分数的定义是解题的关键 【变式2-2】. 把下面各数填在相应的大括号内： ；；；；；；；；；； (1)非负整数集合______________________________ (2)负分数集合______________________________ (3)正有理数集合______________________________ 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)，，，； 【分析】（1）根据非负整数逐个判断即可得到答案； （2）根据负分数定义逐个判断即可得到答案； （3）根据正有理数定义逐个判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得： 非负整数：，，； （2）解：由题意可得， 负分数：，，； （3）解：由题意可得， 正有理数：，，，； 【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握几个定义，正确计算出含符号的数字进行判断． 【变式2-3】. 把下列各数填在相应的括号内： ，26，，，，0，，0.1008，． 正数集合{                                                         …}； 整数集合{                                                         …}； 负分数集合{                                                       …}； 非正数集合{                                                       …}； 非负整数集合{                                                     …}； 【答案】见解析 【分析】根据有理数的分类即可得到答案． 【详解】解：正数集合{26，，，0.1008…}； 整数集合{，26，，0…}； 负分数集合{，…}； 非正数集合{，，，0，…}； 非负整数集合{26，0…}． 【点睛】本题主要考查有理数的分类，注意整数、0、正数之间的区别：0是整数但不是正数． 【考点题型三】数轴 【例3】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴表示5和1两点间的距离是______；表示和3两点间的距离是______；一般地，数轴上表示数a和数b的两点间的距离是______． (2)若，则______． (3)若，，且数a和数b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是______． (4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则______， (5)利用数轴，探究：当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)4,7， (2)或 (3)最大距离是8，最小距离是2 (4)或6 (5)当时，式子的最小值为9； 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据绝对值可得：或，即可解答； （3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数x的点到和5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【详解】（1）数轴表示5和1两点间的距离是；和3两点间的距离是；数轴上表示数a和数b的两点间的距离是； （2）∵ ∴或 解得：或 （3）∵，， ∴或，或 ∴或1，或 当，时，A、B两点间的最大距离是8， 当，时，A、B两点间的最小距离是2； （4）∵表示数轴上有理数x所对应的点到和5所对应的点的距离之和， 当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或6； （5）当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值为 综上可得当时，式子的最小值为9； 【变式3-1】. 已知数轴上两点、对应的数分别为，12． (1)、两点间的距离为 ． (2)如图①，如果点沿线段自点向点以每秒2个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为秒． ①运动秒时，点对应的数为 ，点对应的数为 ；（用含的代数式表示） ②当、两点相遇时，点在数轴上对应的数是 ； ③求、相距6个单位长度时的值； (3)如图②，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点沿射线自点向点运动．当、两点相遇时，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)36 (2)①，；②；③5秒或7秒 (3)单位长度秒或2单位长度秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题中的等量关系熟练应用方程解决问题是解题的关键． （1）根据数轴直接计算即可； （2）①根据运动规律直接用代数式表示即可； ②根据相遇时对应点在同一位置列方程求出时间，进而求出对应点即可； ③分点在点左右两侧两种情况，列方程计算即可； （3）根据和在点和点两种情况相遇，先算出时间再计算出速度即可． 【详解】（1）解：由数轴知，、两点间的距离为， 故答案为：36； （2）①由题知点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，； ②当、两点相遇时，， 解得， 即点在数轴上对应的数是， 故答案为：； ③由题意，在左侧时，得， 解得， 在右侧时，， 解得， 、相距6个单位长度时的值为5秒或7秒； （3）①当，在点相遇时，运动时间是：，点运动距离为：， 此时点的运动速度为：单位长度秒， ②当，在点相遇时，运动时间是：，点运动距离为：36， 此时点的运动速度为：单位长度秒， 综上，点的运动速度为单位长度秒或2单位长度秒． 【变式3-2】. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“＞”或“＜”填空： 0，____0， 0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算： （1）由数轴可得，由此可解； （2）根据（1）中结论去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得， 因此，，， 故答案为： ；；． （2）解：由（1）得，，，， ． 【变式3-3】. 如图，已知数轴上的点C表示的数为6， 点A表示的数为， 点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（） (1)点B表示的数是 ， 秒时， 点P到达点B (2)运动过程中点P表示的数是 ． (用含x的代数式表示) (3)若另一动点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当x为多少秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度？ 【答案】(1)； (2) (3)或秒 【分析】本题考查了数轴上的两点之间的距离，列代数式，绝对值等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）由可得到点表示的数，由题意知，求解的值，即为点到达点的时间； （2）由题意知，运动过程中点P表示的数是，即为所求； （3）根据点向左匀速运动；由题意知，运动过程中点表示的数是，由可得：，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴点表示的数是 由题意知，解得， ∴秒时，点到达点． 故答案为：，． （2）解：由题意知，运动过程中点P表示的数是 故答案为：． （3）解：由题意知，点向左匀速运动， 运动过程中点表示的数是， 由可得： 即 或 解得或 当或时，点与点之间的距离为2个单位长度． 【考点题型四】绝对值 【例4】数a，b，c在数轴上的位置如图所示且； (1)求：与的值 (2)化简：． 【答案】(1)0， (2) 【分析】 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由题意得到与互为相反数，利用相反数性质计算即可得到结果； （2）由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）由数轴上点的位置得：与互为相反数， 则，； （2）由数轴得：， ，，， 则原式． 【变式4-1】. 若，． (1)分别写出a和b的值； (2)如果 ，求的值． 【答案】(1)， (2)4或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义以及有理数的乘法，理解绝对值的定义是解答此题的关键． （1）利用绝对值的定义可得a，b的值； （2）根据，确定a，b的值，代入即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴，或，， ∴或． ∴的值为4或． 【变式4-2】. （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查绝对值，整式的代入求值； （1）把，代入计算即可得出答案； （2）根据绝对值的非负性得出、、的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1）把，代入得 ； （2）∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 【变式4-3】. 我们知道，表示数a所对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离 例如数轴上数2，5对应点之间的距离为； 数轴上数2，对应点之间的距离为； 利用此结论，回答下列问题： (1)数轴上表示和3的对应两点之间的距离是____________； (2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是____________； (3)若将数轴在表示2的点处对折，则表示的点与表示____________的点重合； (4)的最小值是____________； (5)若，则满足条件的所有整数为________________； (6)若，则的取值范围为________________________． 【答案】(1)4 (2) (3) (4)6 (5)，，，0，1，2 (6)或 【分析】（1）根据两点之间的的距离公式求解即可； （2）用两点之间的的距离公式表示即可； （3）根据对称性求解即可； （4）根据绝对值的几何意义和两点之间的距离公式即可求得最小值； （5）先求出x的取值范围，然后得出整数x的值即可； （6）根据绝对值的意义，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：根据题意，数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是； （3）解：将数轴在表示2的点处对折，则表示的点与表示的点重合； （4）解：根据题意，表示数轴上表示数x的点到表示数和数1的点的距离之和， ∴当时，这个距离之和最小，最小值为． （5）解：根据题意得：表示数轴上表示数x的点到表示数和数2的点的距离之和， ∴当时，这个距离之和最小，最小值为， ∴当时，， ∴满足条件的所有整数为，，，0，1，2． （6）解：当时，， 令， 解得：， ∴当时，； 当时，， 令， 解得：， ∴当时，； 当时，， ∴当时，，不可能等于5； 综上分析可知：当或，． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，理解题意，并灵活运用所学知识解决有关数轴上两点之间距离问题是解答的关键． 【考点题型五】相反数 【例5】已知互为相反数，，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的性质，求代数式的值．根据相反数的性质和绝对值的性质，可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∵， ∴， 当时，， 当时，． 【变式5-1】. 若，b是2的相反数，求的值． 【答案】或 【分析】此题考查了有理数的乘方，相反数的概念，代数式求值， 首先根据平方和相反数的概念求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵b是2的相反数， ∴． ∴或． 【变式5-2】. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于5，求的值． 【答案】或 【分析】求得，及m的值，然后将其代入所给代数式求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴， ∵m的绝对值等于5， ∴， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，原式的值为或． 【点睛】本题考查了求代数式的值，相反数、倒数、绝对值的意义，结合已知条件求得，及m的值是解题的关键． 【变式5-3】. 如图，这是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的两个数互为相反数． (1)__________，__________，__________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）本题考查正方体的表面展开图，以及相反数的定义，根据正方体的表面展开图特点找到、、相对的数字，再根据相反数的概念即可解题． （2）本题考查已知字母的值，求代数式的值，将（1）中、、的值代入中求解，即可解题． 【详解】（1）解：由正方体的表面展开图特点可知， 与相对，与相对，与相对， 正方体相对面上的两个数互为相反数， ，，， 解得，，， 故答案为：，，． （2）解：将，，代入中， 有． 【考点题型六】有理数大小比较 【例6】在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．    (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． (3)用“＞”“=”或“＜”填空：_________a，_________b，_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的意义即可解答； （2）根据在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较即可； （3）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数得出答案即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：， （3）解：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数． 【变式6-1】. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两个数关于原点对称，找到，，的位置； （2）根据数轴右边的数总比左边的数大可得答案． 【详解】（1）解：如图，    （2）解：由（1）可知，． 【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值，解题的关键是掌握数形结合的思想求解． 【变式6-2】. 已知，，求，的值，并比较它们的大小． 【答案】见解析 【分析】先依据绝对值的性质求得、的值，然后再比较大小即可． 【详解】解：，， ，． 当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的性质、比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键． 【变式6-3】. 在数轴上表示下列各数：0，，，，，，并用“＜”号连接． 【答案】图见解析； 【分析】先去括号，去绝对值符号，在数轴上表示出各数，根据各数在数轴上的位置从左到右用“＜”号把它们连接起来． 【详解】解：，，如图所示： 故． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 【考点题型七】有理数的加减 【例7】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则和加法的运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （2）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （3）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （4）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式7-1】. 数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加法，把有关的数正确的拆项是解决问题的关键． （1）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可； （2）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-2】. 在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了绝对值、有理数加减法的结合律，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）①根据去掉绝对值符号即可得； ②根据去掉绝对值符号即可得； （2）先去掉绝对值符号，再利用有理数加减法的结合律进行计算即可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：． （2）解： ． 【变式7-3】. 用适当的方法计第，并写清解题过程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据观察可得，即有25个相乘，再求解即可； （2）先把整数部分相加，再把分数部分相加即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，根据式子的特点找出计算的简便方法是解题的关键． 【考点题型八】有理数的乘除 【例8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)27 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律． （1）利用乘法分配律简便计算即可； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式8-1】. 探究规律： (1)计算： ① ② ③ ④ (2)根据上面结果猜想： ① ② ③ 【答案】(1)①1；②1；③1；④1； (2)①1；②1；③64 【分析】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． （1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： ，计算即可． 【详解】（1）解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = =． 【变式8-2】. 在一次数学测验中，七年（2）班的平均分为87分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是该班一个小组10名同学的成绩变化情况： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩变化 0 (1)该小组10名同学的成绩最低分是多少？最高分是多少？ (2)最高分比最低分高多少？ (3)该组10名同学的成绩总分是多少？ (4)若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励，那么该组10名同学是否受到奖励？若奖励，共奖励多少个本？ 【答案】(1)最低分为72分，最高分为100分 (2)28分 (3)890分 (4)该组10名同学受到奖励，共奖励40个本 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）分别求出各同学的成绩即可； （2）由（1）中同学的成绩求出最高分与最低分的差即可； （3）根据10名同学的平均分为87分，再由这些同学成绩的变化情况进行解答； （4）由该班10名同学的总分求出其平均分，再根据若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励即可得出结论． 【详解】（1）解：∵1号同学的成绩：（分）； 2号同学的成绩：（分）； 3号同学的成绩：（分）； 4号同学的成绩：（分）； 5号同学的成绩：（分）； 6号同学的成绩：（分）； 7号同学的成绩：（分）； 8号同学的成绩：（分）； 9号同学的成绩：（分）； 10号同学的成绩：（分）， ∴最低分为72分，最高分为100分； （2）解：∵最低分为72分，最高分为100分， ∴（分）； 答：最高分比最低分高28分； （3）解：∵七年（2）班的平均分为87分， ∴10名同学的总成绩（分）； （4）解：∵该组10名同学的总成绩是890分， ∴，（本）， ∴该组10名同学受到奖励，共奖励40个本． 【变式8-3】. 阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是 例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【答案】(1)8 (2)3 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可得出结果； （2）利用非负数的性质求出和的值，原式利用题中新定义变形，整体代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由得，， ∴，， ． 【考点题型九】有理数的乘方 【例9】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-1】. 计算： (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）先把减法转化为省略加号的加法，再用加法交换律和结合律进行计算； （2）先计算乘法、绝对值，再计算乘法，最后再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式9-2】. 计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先进行乘方及括号内运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，即可求解；掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式9-3】. 探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【答案】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． 【考点题型十】科学计数法表示较大的数 【例10】据统计截止2021年12月31日，全国共有学生团员48310000名，48310000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 【详解】解：48310000用科学记数法表示为 故答案为： 【变式10-1】. 根据地区生产总值统一核算结果，2024年一季度合肥市生产总值亿元，其中数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故答案为：． 【变式10-2】. 2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课．本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过万人次．数据万用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的具体要求． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】万 故答案为： 【变式10-3】. 2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：3802亿， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 有理数（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 【清单02】有理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． (2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． (3)多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【清单03】有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【清单04】有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 【考点题型一】正数与负数 【例1】出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 【变式1-1】. 聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 【变式1-2】. 一辆清雪车在一条东西方向的道路上进行清雪工作，清雪车早晨从A处出发，清雪结束时停留在B处．规定向东为正，当天行驶记录如下：（单位：千米） ﹣15，+8，﹣7，+18，+6，﹣12.4，+6，﹣5.1． （1）B处在A处何方？距A处多少千米？ （2）一辆清雪车每行驶1千米可清雪20立方米，求这辆清雪车这一天的清雪量． 【变式1-3】. 图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 【考点题型二】有理数 【例2】将下列各数填入相应的括号里： 20，，0，，+，86%，，0.020020002，0.010010001…，． 负数集合{　　…}； 分数集合{　　…}； 正整数集合{　　…}； 无理数集合{　　…}． 【变式2-1】. 把下列各数分别填入相应的大括号里： 0.5， 0，， ， ， ， ， 负整数集合：{                 …}；   非负数集合：{                 …}； 正分数集合：{                 …}；   负分数集合：{                 …}． 【变式2-2】. 把下面各数填在相应的大括号内： ；；；；；；；；；； (1)非负整数集合______________________________ (2)负分数集合______________________________ (3)正有理数集合______________________________ 【变式2-3】. 把下列各数填在相应的括号内： ，26，，，，0，，0.1008，． 正数集合{                                                         …}； 整数集合{                                                         …}； 负分数集合{                                                       …}； 非正数集合{                                                       …}； 非负整数集合{                                                     …}； 【考点题型三】数轴 【例3】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴表示5和1两点间的距离是______；表示和3两点间的距离是______；一般地，数轴上表示数a和数b的两点间的距离是______． (2)若，则______． (3)若，，且数a和数b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是______． (4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则______， (5)利用数轴，探究：当______时，的值最小，最小值是______． 【变式3-1】. 已知数轴上两点、对应的数分别为，12． (1)、两点间的距离为 ． (2)如图①，如果点沿线段自点向点以每秒2个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为秒． ①运动秒时，点对应的数为 ，点对应的数为 ；（用含的代数式表示） ②当、两点相遇时，点在数轴上对应的数是 ； ③求、相距6个单位长度时的值； (3)如图②，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点沿射线自点向点运动．当、两点相遇时，直接写出点的运动速度． 【变式3-2】. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“＞”或“＜”填空： 0，____0， 0； (2)化简：． 【变式3-3】. 如图，已知数轴上的点C表示的数为6， 点A表示的数为， 点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（） (1)点B表示的数是 ， 秒时， 点P到达点B (2)运动过程中点P表示的数是 ． (用含x的代数式表示) (3)若另一动点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当x为多少秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度？ 【考点题型四】绝对值 【例4】数a，b，c在数轴上的位置如图所示且； (1)求：与的值 (2)化简：． 【变式4-1】. 若，． (1)分别写出a和b的值； (2)如果 ，求的值． 【变式4-2】. （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【变式4-3】. 我们知道，表示数a所对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离 例如数轴上数2，5对应点之间的距离为； 数轴上数2，对应点之间的距离为； 利用此结论，回答下列问题： (1)数轴上表示和3的对应两点之间的距离是____________； (2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是____________； (3)若将数轴在表示2的点处对折，则表示的点与表示____________的点重合； (4)的最小值是____________； (5)若，则满足条件的所有整数为________________； (6)若，则的取值范围为________________________． 【考点题型五】相反数 【例5】已知互为相反数，，求的值 【变式5-1】. 若，b是2的相反数，求的值． 【变式5-2】. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于5，求的值． 【变式5-3】. 如图，这是一个正方体的表面展开图，且正方体相对面上的两个数互为相反数． (1)__________，__________，__________； (2)求的值． 【考点题型六】有理数大小比较 【例6】在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．    (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． (3)用“＞”“=”或“＜”填空：_________a，_________b，_______． 【变式6-1】. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【变式6-2】. 已知，，求，的值，并比较它们的大小． 【变式6-3】. 在数轴上表示下列各数：0，，，，，，并用“＜”号连接． 【考点题型七】有理数的加减 【例7】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-1】. 数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【变式7-2】. 在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． (2)计算：． 【变式7-3】. 用适当的方法计第，并写清解题过程． (1) (2) 【考点题型八】有理数的乘除 【例8】计算： (1)； (2)． 【变式8-1】. 探究规律： (1)计算： ① ② ③ ④ (2)根据上面结果猜想： ① ② ③ 【变式8-2】. 在一次数学测验中，七年（2）班的平均分为87分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是该班一个小组10名同学的成绩变化情况： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩变化 0 (1)该小组10名同学的成绩最低分是多少？最高分是多少？ (2)最高分比最低分高多少？ (3)该组10名同学的成绩总分是多少？ (4)若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励，那么该组10名同学是否受到奖励？若奖励，共奖励多少个本？ 【变式8-3】. 阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是 例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【考点题型九】有理数的乘方 【例9】计算 (1) (2) 【变式9-1】. 计算： (1)． (2)． 【变式9-2】. 计算： 【变式9-3】. 探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【考点题型十】科学计数法表示较大的数 【例10】据统计截止2021年12月31日，全国共有学生团员48310000名，48310000用科学记数法表示为 ． 【变式10-1】. 根据地区生产总值统一核算结果，2024年一季度合肥市生产总值亿元，其中数据亿用科学记数法表示为 ． 【变式10-2】. 2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课．本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过万人次．数据万用科学记数法表示为 【变式10-3】. 2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$