7.5正态分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5 正态分布 问题引入 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.下面我们看一个具体问题. 问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下： 问题引入 (1)如何描述这100个样本误差数据的分布？ (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？ 新知探索 根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1. 观察图形可知： 误差观测值有正有负，并大致对称地分布在 X=0 的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁. 新知探索 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示. 根据频率与概率的关系，可用图中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布.例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示. 新知探索 由函数知识知，图中的钟形曲线是一个函数.那么，这个函数是否存在解析式呢？ 新知探索 新知探索 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)，某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布. 新知探索 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点： 思考1：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？ 新知探索 我们知道，函数 y=f (x-μ) 的图象可由 y=f (x) 的图象平移得到.因此，在 参数σ 取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移， 如图所示. 思考2：一个正态分布由参数 μ 和 σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？ 新知探索 新知探索 例析 例.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min,样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X，Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出和的分布密度曲线； 解：(1)随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ可以得到 (2)X和Y的分布密度曲线如图所示. 新知探索 辨析1.[多选]以下关于正态分布密度曲线的说法中正确的是( ). A.曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交 B.曲线关于直线对称 C.曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 D.曲线与轴之间的面积为1 答案：BCD. 新知探索 辨析3.下列函数是正态密度函数的是( ). A.，都是实数 B. C. D. 答案：B. 例析 例.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由. (3)应选择在给定时间时间内不迟到概率大的交通工具. 由图可知， 所以，如果有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有38min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，要选择坐公交车. 新知探索 新知探索 例1 (1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________. 20 题型一　正态曲线及性质 2 (2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　　) BCD A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 解析　由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”. 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 1.利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. 思维升华 2.“σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，数据集中程度越弱，正态曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越离散. 例2 设ξ～N(1，22)，试求： (1)P(－1≤ξ≤3)； 题型二　利用正态分布的对称性求概率 解　∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2， P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)P(3<ξ≤5). 解　∵P(3<ξ≤5)＝P(－3≤ξ<－1)， 迁移 若“本例”的条件不变，设ξ～N(1，22),试求P(ξ>5). 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 思维升华 课堂练习 课本P87T1 题型三　正态分布的实际应用 4.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4.请你估计这批袋装食盐的合格率. 课本P87T4 课堂小结 课堂小结 课堂小结 解析　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是. 所以μ＝20，＝，解得σ＝， 因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))，由此特点结合图象可求出σ. ≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. ∴P(3<ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)] ＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)] 解　P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)] ＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)] ≈×(1－0.954 5)＝0.022 75. $$