清单01 有理数（期中知识清单，知识导图+15个考点清单&题型解读）七年级数学上学期新教材湘教版

清单01 有理数（17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 【清单02】数轴 数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度. 【易错点】 1）数轴是一条可向两段无限延伸直线. 2）数轴的三要素缺一不可. 3）同一数轴上的单位长度要统一. 4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定. 5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应. 【清单03】相反数 概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 【注意事项】 1）特别注意，0的相反数是0. 2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同. 意义：任何一个数都有且只有一个相反数.（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.） 几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数. 表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a. 【注意事项】 1）通常a与-a互为相反数； 2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； 3）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数. 4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0. 5）相反数等于它本身的数只有0. 多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负. 【清单04】绝对值 概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小. 代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【扩展】 1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a. 2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a. 3) 一个数的绝对值不可能为负数. 4) 一个负数的绝对值是它的相反数. 性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0. 2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0.（扩展：绝对值最小的数是0） 3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|. 4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b. 5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a. 6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0. 7）若|a|/a=1，则a>0, 若|a|/a=−1，则a<0. 【清单05】实数比较大小 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单06】加法法则 有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算） 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） 4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a 【清单07】加法运算定律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a； 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。 运用有理数加法的运算律进行计算时，通常： 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 【清单08】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单09】乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2）任何数同0相乘，都得0。 3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单10】乘法运算定律 1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba 2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单11】 倒数 1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单12】除法法则 1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单13】乘方法则运算 1）正数的任何次幂都是正数 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3）0的任何正整数次幂都是0 【清单14】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【清单15】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【考点题型一】有理数 【例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，－3.14，0，18%，，2019，，，－1 整数：______________________________； 正分数：______________________________； 非负有理数：______________________________． 【变式1-1】把下列各数填在相应的横线上：2023，，0，，，，，，，． (1)正数：______________________________． (2)负数：______________________________． (3)整数：______________________________． 【变式1-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： 4.5，5，，30%，，，0，， (1)正整数集合{     …} (2)分数集合{     …} (3)负有理数集合{    …} (4)整数集合{     …} 【考点题型二】数轴的三要素及其画法 【例2】下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-3】下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型三】数轴上两点之间的距离 【例3】在数轴上有A、B两点，点A距离原点3个单位长度，且在原点左侧，若间距离为5，则点B表示的数是 ． 【变式3-1】有理数在数轴上对应的两点分别是． 计算，两点之间的距离公式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】点、在数轴上，且点为原点，若，则点表示的数为 . 【变式3-3】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【考点题型四】数轴上的动点问题 【例4】已知：c=10，且a，b满足(a+26)2+|b+c|=0，请回答问题： （1）请直接写出a，b，c的值：a=　 　，b=　 　； （2）在数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C，记A、B两点间的距离为AB，则AB=　 　，AC=　 　； （3）在（1）（2）的条件下，若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点M到达点C时，点M停止；当点M运动到点B时，点N从点A出发，以每秒3个单位长度向右运动，点N到达点C后，再立即以同样的速度返回，当点N到达点A时，点N停止．从点M开始运动时起，至点M、N均停止运动为止，设时间为t秒，请用含t的代数式表示M，N两点间的距离． 【变式4-1】如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式x3﹣3xy29﹣20的常数项是a，次数是c． 我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作AB． （1）求a，c的值； （2）若数轴上有一点D满足CD＝2AD，则D点表示的数为　　　　　； （3）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，AB＝BC，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，2AB－m×BC的值不随时间t的变化而改变，直接写出m的值． 【变式4-2】【阅读材料】 我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）． 例如：若点表示的数是－6，点表示的数是－9，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是－2020，点表示的数是2020，求线段的长； 【拓展应用】 如图，数轴上有三个点，点表示的数是－2，点表示的数是3，点表示的数是．    （2）当，，三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，求的值； （3）在点左侧是否存在一点，使点到点，点的距离和为19？若存在，求出点表示的数：若不存在，请说明理由． 【变式4-3】阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【考点题型五】相反数的概念 【例5】的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-1】的相反数是（   ） A． B． C．2023 D． 【变式5-2】如图，数轴上M，N点表示的数互为相反数，则点N表示的数为（    ）    A． B．0 C．9 D．无法确定 【变式5-3】A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ） A． B． C． D． 【考点题型六】相反数的性质运用 【例6】已知与2互为相反数，那么 ． 【变式6-1】数轴上，若点A、B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离是8，则点B表示的数是 ． 【变式6-2】若a与1互为相反数，则 ． 【变式6-3】若和互为相反数，则x的值是 . 【考点题型七】绝对值定义、绝对值的性质 【例7】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式7-1】若，且，则的值是（    ） A．或8 B．或 C．2或 D．2或 【变式7-2】设x为有理数，若，则（   ） A．x为正数 B．x为负数 C．x为非正数 D．x为非负数 【变式7-3】的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 【考点题型八】绝对值的非负性 【例8】若．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】若，且，则 ． 【变式8-2】如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 【变式8-3】若，则 ． 【变式8-4】若，则 ． 【考点题型九】化简绝对值 【例9】有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【变式9-1】若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式9-2】已知为有理数，则的最小值是 ． 【变式9-3】若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【考点题型十】有理数的大小比较 【例10】数，2，0，中最大的是（    ） A． B．2 C．0 D． 【变式10-1】有理数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式10-2】在数轴上表示下列有理数，并用“<"把它们连接起来． 、、、、 【变式10-3】比较大小： （填“＞”、“＜”或“﹦”）． 【考点题型十一】有理数的加减运算 【例11】计算： (1)； (2)． 【变式11-1】是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 【变式11-3】计算： (1)； (2)． 【考点题型十二】有理数的乘除运算 【例12】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式12-1】下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式12-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【考点题型十三】有理数的乘方运算 【例13】已知，则 ，若， ． 【变式13-1】计算： ， ， ． 【变式13-2】计算： 【变式13-3】规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定， ． 【考点题型十四】科学记数法 【例14】中国总人口在年达到了亿，亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式14-2】据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗剂次，将正常表示为（   ） A．万 B．千 C．万 D．千 【变式14-3】中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十五】有理数混合运算 【例15】计算： (1)； (2)； (3) (4) 【变式15-1】计算： (1)； (2)． 【变式15-2】．用简便方法计算： (1) (2) 【变式15-3】用简便方法计算：． 【考点题型十六】算“24”点 【例16】你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 【变式16-1】有1、3、4、6四个数字，通过加、减、乘、除四则运算，可以使用括号，怎么样能得到24点 ． 【变式16-2】如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 【变式16-3】例如：对1，2，3，4可运算，也可以写成，但视作相同的方法．现有郑、付两同学的手中分别握着四张扑克牌（见下图）：若红桃♥、方块◆上的点数记为负数，黑桃♠、梅花♣上的点数记为正数．请你对郑、付两同学的扑克牌的按要求进行记数，并按前面“二十四点”运算方式对郑、付两同学的记数分别进行列式计算，使其运算结果均为24． (1)郑同学四张牌依次记为：________、________、________、________． (2)付同学四张牌依次记为：________、________、________、________． (3)帮助郑同学列式计算：________________． (4)帮助付同学列式计算：________________． 【考点题型十七】有理数实际应用 【例17】如下表是某市机动车道路泊位收费标准： 停车场地等级 白天（）（元/辆·小时） 夜间（次日）（元/辆） 备注 一级 10 5 （1）白天时段停车1小时内按1小时计费，超过1小时后以半小时为计费单位，收费标准相应减半． （2）夜间时段内停车，不论时间长短，均按每辆5元计费． 二级 8 三级 6 (1)某天下午，在社区工作的王阿姨开车去超市（地处二级场地），付了20元停车费，这次购物最多花了多长时间？ (2)当天傍晚，王阿姨又去了社区（地处三级场地），她把车停在小区外的道路泊车位上，下车时是傍晚6点整，晚上9点20分开车离开，王阿姨这一天一共需要缴纳停车费多少元？ 【变式17-1】“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午一共收入多少元？ 【变式17-2】一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行的各段路程(单位：厘米)依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫是否回到起点P； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间？ 【变式17-3】某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 有理数（17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 【清单02】数轴 数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度. 【易错点】 1）数轴是一条可向两段无限延伸直线. 2）数轴的三要素缺一不可. 3）同一数轴上的单位长度要统一. 4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定. 5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应. 【清单03】相反数 概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 【注意事项】 1）特别注意，0的相反数是0. 2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同. 意义：任何一个数都有且只有一个相反数.（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.） 几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数. 表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a. 【注意事项】 1）通常a与-a互为相反数； 2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； 3）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数. 4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0. 5）相反数等于它本身的数只有0. 多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负. 【清单04】绝对值 概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小. 代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【扩展】 1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a. 2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a. 3) 一个数的绝对值不可能为负数. 4) 一个负数的绝对值是它的相反数. 性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0. 2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0.（扩展：绝对值最小的数是0） 3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|. 4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b. 5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a. 6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0. 7）若|a|/a=1，则a>0, 若|a|/a=−1，则a<0. 【清单05】实数比较大小 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单06】加法法则 有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算） 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） 4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a 【清单07】加法运算定律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a； 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。 运用有理数加法的运算律进行计算时，通常： 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 【清单08】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单09】乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2）任何数同0相乘，都得0。 3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单10】乘法运算定律 1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba 2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单11】 倒数 1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单12】除法法则 1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单13】乘方法则运算 1）正数的任何次幂都是正数 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3）0的任何正整数次幂都是0 【清单14】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【清单15】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【考点题型一】有理数 【例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，－3.14，0，18%，，2019，，，－1 整数：； 正分数：； 非负有理数：． 【答案】，0，2019，－1；18%，，；0，18%，，2019， 【分析】根据整数（包括正整数，0和负整数），正分数（大于0的分数）以及非负有理数（包括0和正有理数）的定义解答即可． 【详解】解：，， 整数：； 正分数：； 非负有理数：． 故答案为：，0，2019，－1；18%，，；0，18%，，2019，． 【点睛】本题考查的是有理数的分类，多重符号的化简，绝对值的含义，掌握有理数的分类是解题的关键，难点是非负有理数的理解. 【变式1-1】把下列各数填在相应的横线上：2023，，0，，，，，，，． (1)正数：______________________________． (2)负数：______________________________． (3)整数：______________________________． 【答案】(1)2023，，，，， (2)，， (3)2023，，0， 【分析】本题主要考查了有理数的分类； （1）根据正数的定义进行解答即可； （2）根据负数的定义进行解答即可； （3）根据整数的定义进行解答即可； 解题的关键是熟练掌握有理数的定义，分类方法，“整数和分数统称为有理数”． 【详解】（1）解：正数有：2023，，，，，； 故答案为：2023，，，，，． （2）解：负数有：，，； 故答案为：，，； （3）解：整数有：2023，，0，． 故答案为：2023，，0，． 【变式1-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： 4.5，5，，30%，，，0，， (1)正整数集合{    …} (2)分数集合{    …} (3)负有理数集合{    …} (4)整数集合{    …} 【答案】(1)5， (2)4.5，，30%，， (3)，， (4)5，，0， 【分析】根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】（1）正整数集合{5，，…} 故答案为：5，； （2）分数集合{4.5，，30%，，，…} 故答案为：4.5，，30%，，； （3）负有理数集合{，，，…} 故答案为：，，； （4）整数集合{5，，0，，…} 故答案为∶ 5，，0，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 【考点题型二】数轴的三要素及其画法 【例2】下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对数轴的考查，熟记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度以及数轴上的数的特点是解题的关键． 【详解】解：A．从左向右点所表示的数依次增大，故A错误； B．符合数轴的三要素原点、单位长度，正方向，故B正确； C．单位长度不一致，故C错误； D．画成射线了，故D错误． 故选：B． 【变式2-1】下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的认识，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此作答即可． 【详解】 解：A、  的正方向错了，故该选项是错误的； B、  的数值标错了，故该选项是错误的； C、  没有正方向，故该选项是错误的； D、  原点、正方向、单位长度都正确，故该选项是正确的； 故选：D 【变式2-2】下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，解题的关键是熟记数轴的三要素．根据“数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线”，即可求解． 【详解】解：A、有原点和正方向，没有单位长度，所以该选项不正确，不符合题意； B、正、负数的位置反了，所以该选项不正确，不符合题意； C、没有规定正方向，所以该选项不正确，不符合题意； D、有原点、单位长度和正方向，所以该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式2-3】下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对数轴的考查，熟记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度以及数轴上的数的特点是解题的关键． 【详解】解：A．从左向右点所表示的数依次增大，故A错误； B．符合数轴的三要素原点、单位长度，正方向，故B正确； C．单位长度不一致，故C错误； D．画成射线了，故D错误． 故选：B． 【考点题型三】数轴上两点之间的距离 【例3】在数轴上有A、B两点，点A距离原点3个单位长度，且在原点左侧，若间距离为5，则点B表示的数是 ． 【答案】或/或 【分析】根据在数轴上，点所表示的数为，可以得到点的距离等于5个单位长度的点B所表示的数是什么，本题得以解决． 【详解】解：点A距离原点3个单位长度，且在原点左侧， 点所表示的数为， 间距离为5， 到点的距离等于5个单位长度的点B所表示的数是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，知道到一个点的距离为5个单位长度的点表示的数有两个． 【变式3-1】有理数在数轴上对应的两点分别是． 计算，两点之间的距离公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上的两点距离，熟练掌握数轴上的两点距离公式是解题的关键；因此此题可根据数轴上的两点距离公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：两点之间的距离公式是； 故选D． 【变式3-2】点、在数轴上，且点为原点，若，则点表示的数为 . 【答案】或8/8或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴上两点间的距离，要注意分类讨论：点B在点A的左边和右边这两种情况，据此即可作答． 【详解】解：依题意，当点B在点A的左边， ∵点为原点，若， ∴ ∴点表示的数为； 当点B在点A的右边， ∵点为原点，若， ∴ ∴点表示的数为； 综上点表示的数为或8． 【变式3-3】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上点的平移：向左平移，表示的数减小，向右平移，表示的数增大，平移距离等于增加或减少的数，向右平移7个单位，即增加7，向左平移就减少7．掌握数轴上的点平移法则是解题关键． 【详解】解：如果A向右平移得到，点B表示的数是：， 如果A向左平移得到，点B表示的数是：， ∴点B表示的数是4或． 故答案为：4或． 【考点题型四】数轴上的动点问题 【例4】已知：c=10，且a，b满足(a+26)2+|b+c|=0，请回答问题： （1）请直接写出a，b，c的值：a=　 　，b=　 　； （2）在数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C，记A、B两点间的距离为AB，则AB=　 　，AC=　 　； （3）在（1）（2）的条件下，若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点M到达点C时，点M停止；当点M运动到点B时，点N从点A出发，以每秒3个单位长度向右运动，点N到达点C后，再立即以同样的速度返回，当点N到达点A时，点N停止．从点M开始运动时起，至点M、N均停止运动为止，设时间为t秒，请用含t的代数式表示M，N两点间的距离． 【答案】（1）－26；－10；（2）16； 36；（3）见解析； 【分析】（1）根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以解答本题； （2）①根据数轴上两点的距离公式：AB=xB-xA，可得AB和AC的长； ②同理可以表示AP和PC的长； （3）先计算t的取值，因为点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，且AC=36，所以需要36秒完成，又因为当点M运动到B点时，即16秒后，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，所以点N还需要运动24秒，所以一共需要40秒，再分别计算M、N两次相遇的时间，分五种情况讨论，根据图形结合数轴上两点的距离表示MN的长． 【详解】（1）∵c是最小的两位正整数，a，b满足（a+26）2+|b+c|=0， ∴c=10，a+26=0，b+c=0， ∴a=-26，b=-10，c=10， 故答案为-26，-10，10； （2）①∵数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C， ∴点A表示的数是-26，点B表示的数是-10，点C表示的数是10， 所画的数轴如图1所示； ∴AB=-10+26=16， AC=10-（-26）=36； 故答案为16，36； ②∵点P为点A和C之间一点，其对应的数为x， ∴AP=x+26，PC=10-x； 故答案为x+26，10-x； （3）点N运动的总时间为：2（36÷3）=12×2=24， 24+16=40， 设t秒时，M、N第一次相遇， 3（t-16）=t， t=24， 分五种情况： ①当0≤t≤16时，如图2，点M在运动，点N在A处，此时MN=t， ②当16＜t≤24时，如图3，M在N的右侧，此时MN=t-3（t-16）=-2t+48， ③M、N第二次相遇（点N从C点返回时）：t+3（t-16）=36×2， t=30， 当24＜t≤30时，如图4，点M在N的左侧，此时MN=36×2-t-3（t-16）=-4t+120， ④当30＜t≤36时，如图5，点M在N的右侧，此时MN=3（t-16）-36-（36-t）=4t-120， ⑤当36＜t≤40时，如图6，点M在点C处，此时MN=3（t-16）-36=3t-84， 【点睛】本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，有难度． 【变式4-1】如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式x3﹣3xy29﹣20的常数项是a，次数是c． 我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作AB． （1）求a，c的值； （2）若数轴上有一点D满足CD＝2AD，则D点表示的数为　　　　　； （3）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，AB＝BC，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，2AB－m×BC的值不随时间t的变化而改变，直接写出m的值． 【答案】（1）a=-20,c =30；（2）-70或； （3）①或10；②m=3. 【分析】（1）根据多项式的概念即可求出答案； （2）设点D表示的数为x，分三种情况讨论即可得到点D表示的数是-70或； （3）①根据路程=速度×时间，以及两点间的距离公式即可求解； ②根据题意列式得6-2m=0时，由上式的值不随时间t的变化而改变，可得m=3. 【详解】（1）∵多项式x3﹣3xy29﹣20的常数项是a，次数是c． ∴a=-20,c =30; （2）分三种情况讨论， 当点D在点A的左侧， ∵CD=2AD， ∴AD=AC=50， 点D点表示的数为-20-50=-70， 当点D在点A，C之间时， ∵CD=2AD， ∴AD=AC=， 点D点表示的数为-20+=-， 当点D在点C的右侧时， AD＞CD与条件CD=2AD相矛盾，不符合题意， 综上所述，D点表示的数为-70或; （3）①如下图所示： 当t=0时，AB=21，BC=29. 下面分两类情况来讨论： a.点A，C在相遇前时， 点A，B之间每秒缩小1个单位长度，点B，C每秒缩小4个单位长度. 在t=0时，BC -AB=8, 如果AB=BC，那么AB-BC=0，此时t=秒， b.点A，C在相遇时，AB=BC， 点A，C之间每秒缩小5个单位长度， 在t=0时，AC=50， 秒， c.点A，C在相遇后，BC大于AC，不符合条件. 综上所述，t= ②当时间为t时， 点A表示得数为-20+2t， 点B表示得数为1+t， 点C表示得数为30+3t， 2AB-m×BC=2[（1+t）-(-20+2t)]-m[(30+3t)-(1+t)]， =(6-2m)t+(42-29m)， 当6-2m=0时，上式的值不随时间t的变化而改变， 此时m=3. 【点睛】本题主要考查了数轴及数轴上两点间的距离公式的运用，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．解题时注意分类思想的运用． 【变式4-2】【阅读材料】 我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）． 例如：若点表示的数是－6，点表示的数是－9，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是－2020，点表示的数是2020，求线段的长； 【拓展应用】 如图，数轴上有三个点，点表示的数是－2，点表示的数是3，点表示的数是．    （2）当，，三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，求的值； （3）在点左侧是否存在一点，使点到点，点的距离和为19？若存在，求出点表示的数：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4040；（2）0.5，−7或8；（3）-9． 【分析】（1）根据题意，用点表示的数减去点表示的数加以计算即可； （2）根据题意分①点是线段的中点、②点是线段的中点、③点是线段的中点三种情况进一步分析讨论即可； （3）设点表示的数是，然后分别表示出AQ与BQ，根据“点到点，点的距离和为19”进一步求解即可. 【详解】（1）; （2）①当点是线段的中点时，则． 所以．解得：； ②当点是线段的中点时，则． 所以．解得：； ③当点是线段的中点时，则． 所以．解得：； 综上所述，的值为0.5、或8； （3）设点表示的数是，则：QA=，QB=， ∵， ∴． 解得：． ∴在点左侧存在一点，使点到点，的距离和为19．且点表示的数是－9. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题与数轴上两点之间的距离，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式4-3】阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)或或． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边； 本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： 因为：经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 所以：，， ∵， ∴，， ∴，， 所以：， 所以的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得：， 当时，点在还点处， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 综上所述，、两点间的距离为或或． 【考点题型五】相反数的概念 【例5】的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数；根据相反数的意义即可求解． 【详解】解：的相反数是2， 故选A． 【变式5-1】的相反数是（   ） A． B． C．2023 D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此进行判断即可． 【详解】解：有理数的相反数是2023， 故选：C． 【变式5-2】如图，数轴上M，N点表示的数互为相反数，则点N表示的数为（    ）    A． B．0 C．9 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵数轴上M，N点表示的数互为相反数，点M表示的数为， ∴点N表示的数为9， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数，互为相反数． 【变式5-3】A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，并且在原点的两侧，可知只有B答案正确． 故选B． 【考点题型六】相反数的性质运用 【例6】已知与2互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键． 【变式6-1】数轴上，若点A、B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离是8，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等求出即可． 【详解】解：∵点A，B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8， ∴这两个数一个为4，另一个则为﹣4， ∵A在B的右侧， ∴点B表示的数为． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题主要考查了相反数在数轴上的几何特征，能熟记这个几何特征（数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等）是解此题的关键． 【变式6-2】若a与1互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】根据相反数的性质计算即可； 【详解】∵a与1互为相反数， ∴， ∴； 故答案是0． 【点睛】本题主要考查了相反数的性质应用，准确计算是解题的关键． 【变式6-3】若和互为相反数，则x的值是 . 【答案】－1 【分析】互为相反数的两个数的和为0. 【详解】因为若和互为相反数， 所以，解得：. 【点睛】本题考查相反数的定义，知道互为相反数的两个数的和为0是本题的关键. 【考点题型七】绝对值定义、绝对值的性质 【例7】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个，除非绝对值为0的数才有一个为0． 【详解】解：∵， ∴绝对值等于2019的数有2个，即和， 故选：C． 【变式7-1】若，且，则的值是（    ） A．或8 B．或 C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值意义及代数式求值，由得到，由确定同号，代值求解即可得到答案，熟记绝对值的意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 同号，则或， 或， 故选：C． 【变式7-2】设x为有理数，若，则（   ） A．x为正数 B．x为负数 C．x为非正数 D．x为非负数 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，根据直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴是非负数， 故选：D． 【变式7-3】的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，进行解答即可． 【详解】负数的绝对值等于它的相反数， 的绝对值是3， 故选：B． 【考点题型八】绝对值的非负性 【例8】若．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值得非负性，代入求值，根据绝对值得非负性得到，，然后求出x，y的值，代入即可解题． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故选C． 【变式8-1】若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，代入求值，根据可得的值，再根据进一步判定的值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴异号， 当时，，则； 当时，，则； 故答案为： ． 【变式8-2】如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握其性质是解题的关键．根据绝对值的非负性即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【变式8-3】若，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了非负数的性质，代数式求值，有理数的乘方运算，正确得出a，b的值是解题关键．根据平方和绝对值的非负性求得的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：1． 【变式8-4】若，则 ． 【答案】 【分析】由绝对值和偶次方的非负性可求出x，y的值，再代入计算可求解． 本题主要考查绝对值及偶次方的非负性，代数式求值，求出x，y的值是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【考点题型九】化简绝对值 【例9】有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示数，有理数的绝对值的性质，相反数的和为0，观察数轴，得出a，b，c的大小，判断各式符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 所以， 故答案为： 【变式9-1】若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，，③，，④，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况：①，，②，，③，，④，； ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，的值为：或0． 故选：C． 【变式9-2】已知为有理数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何意义求含绝对值的代数式的最值，理解绝对值的几何意义，分类讨论求解即可得到答案，熟记绝对值的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：表示的点为数轴上的一个动点，由绝对值的几何意义可知，指表示的点与表示的点的距离 表示的点与表示的点的距离，分三种情况： 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 综上所述，的最小值是为， 故答案为：． 【变式9-3】若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ① ， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 【考点题型十】有理数的大小比较 【例10】数，2，0，中最大的是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较．利用有理数的大小比较判断． 【详解】解：在有理数，2，0，中，最大的数是， 故选：D． 【变式10-1】有理数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上a、b的位置判断a、b的大小和符号，然后据此进行解答即可； 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选D. 【点睛】本题主要考查了数轴与实数的大小，掌握数轴上数的大小和有理数相关的运算法则是解题的关键. 【变式10-2】在数轴上表示下列有理数，并用“<"把它们连接起来． 、、、、 【答案】数轴表示见解析，-4＜＜0＜-（-3）＜+5 【分析】把各个数在数轴上表示出来，根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可把各个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【详解】解：在数轴上表示为： 用“＜"把它们连接起来为：-4＜＜0＜-（-3）＜+5． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是在数轴上表示出各个数字． 【变式10-3】比较大小： （填“＞”、“＜”或“﹦”）． 【答案】< 【分析】本题考查了有理数比较大小，负数的绝对值越大的数反而小，据此即可作答． 【详解】解：∵ 则 故答案为：< 【考点题型十一】有理数的加减运算 【例11】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)7 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-1】是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 【详解】 解：是应用了加法的交换律与结合律， 故选：D． 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【考点题型十二】有理数的乘除运算 【例12】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)3 (4) (5)9 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则进行计算是解决本题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算法则，把有理数乘除混合运算统一为乘法的算式，再根据有理数乘法法则进行计算即可得出答案； （2）根据有理数的乘除混合运算法则，把有理数乘除混合运算统一为乘法的算式，再根据有理数乘法法则进行计算即可得出答案； （3）根据有理数的乘除混合运算法则，把有理数乘除混合运算统一为乘法的算式，再根据有理数乘法法则进行计算即可得出答案； （4）根据有理数的乘除混合运算法则，把有理数乘除混合运算统一为乘法的算式，再根据有理数乘法法则进行计算即可得出答案； （5）根据有理数的乘除混合运算法则，把有理数乘除混合运算统一为乘法的算式，再根据有理数乘法法则进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【变式12-1】下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算．选项A利用乘法分配律进行简便计算；选项B先算小括号里面的，然后再算括号外面的；选项C先算小括号里面的，再算括号外面的乘除法；选项D从左往右依次进行计算；从而作出判断． 【详解】解：A、原式，故此选项不符合题意； B、原式，故此选项符合题意； C、原式，故此选项不符合题意； D、原式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式12-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘法和除法法则是解题的关键，注意运算顺序． （1）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可； （2）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可； （3）根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【考点题型十三】有理数的乘方运算 【例13】已知，则 ，若， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 【变式13-1】计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 【详解】解：；；． 故答案为：，4，． 【变式13-2】计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【变式13-3】规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定， ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，理解新运算是解题的关键．根据，再由新运算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 【考点题型十四】科学记数法 【例14】中国总人口在年达到了亿，亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示大于1的数，解题的关键是注意n的取值方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．先将亿写成，再将写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：亿， 故选：C． 【变式14-1】若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法—原数、科学记数法—表示较大的数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数．先确定出原数中整数位数，再确定其中0的个数即可． 【详解】解：用科学记数法表示为的原数为727000000000， 原数中“0”的个数为9． 故选：C． 【变式14-2】据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗剂次，将正常表示为（   ） A．万 B．千 C．万 D．千 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万千， 故选A． 【变式14-3】中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【考点题型十五】有理数混合运算 【例15】计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）先计算乘除法，再计算加减法即可； （2）根据有理数乘除法计算法则求解即可； （3）根据乘法分配律求解即可； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解： ． 【变式15-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据有理数的除法，乘法和加减法可以解答本题． （2）根据有理数的乘方，有理数的乘法和加减法可以解答本题． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式15-2】．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的简便计算．熟练掌握运用运算律简便计算，运算顺序和法则，是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算，再加减即可； （2）根据乘法分配律进行计算，再运用加法交换律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式15-3】用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意，运用乘法分配律展开，再根据有理数的加减法运算即可求解． 【详解】解： ． 【考点题型十六】算“24”点 【例16】你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，“二十四”点的游戏要注意运算顺序与运算符号，以及题目的要求． 【详解】解：根据题意可知答案不唯一： 如：； 或； 或； 或等； ∴凑成24的算式是， 故答案为：． 【变式16-1】有1、3、4、6四个数字，通过加、减、乘、除四则运算，可以使用括号，怎么样能得到24点 ． 【答案】 【分析】此题考查24点游戏．进一步考查学生的对算式符号的熟练运用．在四个数之间使用加减乘除符号，使列出的算式结果等于24，通常可以根据算式：，进行“两两组合”或者“一三组合”，即分别选择其中两个数组成一组，另外两个数为一组，使其最后算式的结果为24；同理，分别选择其中三个数组成一组，另外一个数为一组，使其最后算式的结果为24；由此列出算式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式16-2】如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，乘积最大，最大是 (2)其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大是625 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键． （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）这2张卡片上数字组成一个最大的数，除了有个位十位相组成之外，还有乘方； （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【详解】（1）解：， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）解：抽取两个数直接组成一个两位数，最大的为； 抽取两个数组成一个幂，最大为， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大为625； （3）解：从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 【变式16-3】例如：对1，2，3，4可运算，也可以写成，但视作相同的方法．现有郑、付两同学的手中分别握着四张扑克牌（见下图）：若红桃♥、方块◆上的点数记为负数，黑桃♠、梅花♣上的点数记为正数．请你对郑、付两同学的扑克牌的按要求进行记数，并按前面“二十四点”运算方式对郑、付两同学的记数分别进行列式计算，使其运算结果均为24． (1)郑同学四张牌依次记为：________、________、________、________． (2)付同学四张牌依次记为：________、________、________、________． (3)帮助郑同学列式计算：________________． (4)帮助付同学列式计算：________________． 【答案】(1)、7、、2 (2)7、、、3 (3) (4) 【分析】此题考查有理数的混合运算，正数和负数，解题关键在于掌握运算法则． （1）（2）根据扑克写出答案即可； （3）（4）利用有理数的运算法则写出算式即可． 【详解】（1）解：依次记为：、7、、2； （2）依次记为：7、、、3； （3）． （4）． 【考点题型十七】有理数实际应用 【例17】如下表是某市机动车道路泊位收费标准： 停车场地等级 白天（）（元/辆·小时） 夜间（次日）（元/辆） 备注 一级 10 5 （1）白天时段停车1小时内按1小时计费，超过1小时后以半小时为计费单位，收费标准相应减半． （2）夜间时段内停车，不论时间长短，均按每辆5元计费． 二级 8 三级 6 (1)某天下午，在社区工作的王阿姨开车去超市（地处二级场地），付了20元停车费，这次购物最多花了多长时间？ (2)当天傍晚，王阿姨又去了社区（地处三级场地），她把车停在小区外的道路泊车位上，下车时是傍晚6点整，晚上9点20分开车离开，王阿姨这一天一共需要缴纳停车费多少元？ 【答案】(1)2.5小时 (2)17元 【分析】（1）20元包括二级场地第一个小时的8元，那么接下来的时间按半小时收费，每小时收费（元），那么按半小时收费的钱数是（元），（个）半小时共1.5小时，则最多一共停车（小时）． （2）傍晚6点到晚上8点2个小时按白天时段收费，是（元），晚上八点到晚上属于夜间时段，不管多久共收费5元，则总共花费（元）． 此题考查有理数四则混合运算的实际应用，计费问题，解决问题的关键在于确认不同场地不同时间段的收费标准，其次是确认停放时间，分段收费． 【详解】（1）解： （小时） （小时） 答：这次购物最多花了2.5小时． （2）解：依题意， （元） 答：停车费一共17元． 【变式17-1】“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午一共收入多少元？ 【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米 (2)汽车共耗油21.2升 (3)沈师傅在上午一共收入156元 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面； （2）把记录的数字的绝对值相加，再乘以0.4，即可得答案； （3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米的费用总额，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米； （2）解： ， ∴（升）， ∴汽车共耗油21.2升． （3）解：∵共营运十批乘客， ∴起步费为：（元）， 超过3千米的收费总额为：（元）， ∴（元）， ∴沈师傅在上午一共收入156元 【变式17-2】一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行的各段路程(单位：厘米)依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫是否回到起点P； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间？ 【答案】(1)所以小虫回到起点P (2)小虫共爬行了108秒 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的四则混合运算，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）根据题意，将所给路程数据相加，根据和的符号可得结论； （2）由爬行的路程和除以速度可求得结果． 【详解】（1）解： （厘米）， 答：小虫回到起点P； （2）解： （秒）， 答：小虫共爬行了108秒． 【变式17-3】某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点，在鼓楼的东方 (2)司机一个下午的营业额是139.2元 【分析】本题主要考查了正负数在实际中的应用和有理数的加法，属于基础题型，理解题意、正确列出算式是关键． 1）将题中的数据相加，根据计算结果结合规定的正、负的意义即可解答； （2）将题中数据的绝对值相加，所得的和乘以2.4即得结果． 【详解】（1）解： 答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点，在鼓楼的东方 （2）解： (元)， 答：司机一个下午的营业额是139.2元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$