专题01 空间向量与立体几何-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（青海专用）

专题01 空间向量与立体几何 题型01 空间向量及其线性运算 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)在棱柱中，（ ） A. B. C. D. 2、（2023上·大通县·高二期中)如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 3、（2023上·大通县·高二期中)已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 4、（2023上·大通县·高二期中)向量，若，则（ ） A. B. C. D. 题型02 共线向量与共面向量 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ） A. B. C. 6 D. 5 2、（2023上·大通县·高二期中)已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 3、（2023上·西宁市·高二期中)已知四面体，空间的一点满足，若共面，则__________. 4、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)已知. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 题型03 空间向量的数量积运算 1、（2023上·大通县·高二期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 题型04 空间向量基本定理 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ） A. 对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 若，，则 D. 若所在直线两两共面，则共面 2、（2023上·海南州,共和县高二联考期中)（多选）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ） A. 若，则点在棱上 B. 若，则点在线段上 C. 若，为棱的中点 D. 若，则点在线段上 题型05 空间向量运算的坐标表示 1、（2023上·大通县·高二期中)已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2、（2023上·西宁市·高二期中)已知向量． （1）求； （2）若向量与垂直，求实数的值． 题型06 空间中直线、平面的垂直 1、（2023上·大通县·高二期中)已知，，，点，若平面ABC，则点的坐标为______． 题型07 用空间向量研究距离问题 1、（2023上·西宁市·高二期中)在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 题型08 用空间向量研究夹角问题 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中) 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2、 （2023上·海东市·高二期中)在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足（如图1），将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 题型01 开放性问题 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)试写出一个点的坐标：_________，使之与点，三点共线（与不重合）. 题型02 空间向量综合应用 1、（2023上·大通县·高二期中)如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B. 存在这样的点，使得 C. 当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为 D. 当时，点的轨迹长度为 2、 （2023上·海南州,共和县·高二联考期中)如图，在直三棱柱中，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 3、 （2023上·海南州,共和县·高二联考期中)如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点. （1）求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值； （2）求点P到平面MCN的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 题型01 空间向量及其线性运算 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)在棱柱中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法运算法则直接计算. 【详解】， 故选：B. 2、（2023上·大通县·高二期中)如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】根据题意，得； 故选：A 3、（2023上·大通县·高二期中)已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 4、（2023上·大通县·高二期中)向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 题型02 共线向量与共面向量 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】化简，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量， 又因为，且， 可得，则，解得， 所以. 故选：C. 2、（2023上·大通县·高二期中)已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可. 【详解】∵，，三向量共面， ∴存在实数，，使得，即， ∴，解得，，． 故选：B. 3、（2023上·西宁市·高二期中)已知四面体，空间的一点满足，若共面，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共面，由共面基本定理即可列方程求解，或者利用共面的结论求解. 【详解】方法一：由共面，故存在实数使得 , 故,化简得, 又，所以，解得， 方法二：因为共面，所以，解得. 故答案为:. 4、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)已知. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可； （2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可； 【小问1详解】 ，若，则，即，解得； 【小问2详解】 ，若，则，即，化简可得，解得或. 题型03 空间向量的数量积运算 1、（2023上·大通县·高二期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】根据空间向量的运算法则，易得， 又因为， 故. 故选：A． 题型04 空间向量基本定理 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ） A. 对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 若，，则 D. 若所在直线两两共面，则共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对A，由空间向量基本定理，可知只有当不共面时， 才能作为基底，才能得到，故A错误； 对B，若是空间的一个基底，则不共面， 设， 则，因为无解，所以也不共面， 所以也是空间的一个基底，故B正确； 对C，若，，则不一定平行，故C错误； 对D，若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误， 故选：ACD. 2、（2023上·海南州,共和县高二联考期中)（多选）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ） A. 若，则点在棱上 B. 若，则点在线段上 C. 若，为棱的中点 D. 若，则点在线段上 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 题型05 空间向量运算的坐标表示 1、（2023上·大通县·高二期中)已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 2、（2023上·西宁市·高二期中)已知向量． （1）求； （2）若向量与垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再根据空间向量模长的坐标运算计算即可； （2）先表示出，再根据向量垂直，数量积为零列出方程求解即可． 【小问1详解】 由已知得，， 所以． 【小问2详解】 由已知得，， 因为， 所以，解得． 题型06 空间中直线、平面的垂直 1、（2023上·大通县·高二期中)已知，，，点，若平面ABC，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用线面垂直得线线垂直，即，结合坐标运算求解即可 【详解】因为，，，，所以，，， 因为平面ABC，平面ABC， 所以 所以点的坐标为． 故答案为： 题型07 用空间向量研究距离问题 1、（2023上·西宁市·高二期中)在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可 【详解】建立空间直角坐标系，如图， 则，，，所以，， 所以在上的投影为， 所以点到直线的距离. 故选：C. 【点睛】此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题 题型08 用空间向量研究夹角问题 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中) 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值. 【详解】由，，，得，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，， 所以，， 所以，即直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 2、 （2023上·海东市·高二期中)在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足（如图1），将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）中，由余弦定理求EF，由勾股定理证，再由平面平面BEP证平面，即可证 （2）分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由向量法求出平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值，即可二面角求正弦值 【小问1详解】 证明：由题意，在图1中，，，又， 所以由余弦定理可得， 所以，所以，所以在图2中，即， 因为二面角为直二面角，即平面平面BEP， 又平面平面，平面， 所以平面．∵平面，∴； 【小问2详解】 分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则取，得 设平面的法向量为， 则取，得， ∴，， 所以二面角的正弦值为． 题型01 开放性问题 1、（2023上·海南州,共和县·高二联考期中)试写出一个点的坐标：_________，使之与点，三点共线（与不重合）. 【答案】 （满足（）即可） 【解析】 【分析】设，由三点共线，可得，列出方程组，即可求解. 【详解】设，由三点共线，可得，即， 所以，解得，，， 不妨令，可得，，，故此时点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一：满足（）即可） 题型02 空间向量综合应用 1、（2023上·大通县·高二期中)如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B. 存在这样的点，使得 C. 当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为 D. 当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，由点P到侧面的距离为定值即可判断； 对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断； 对于选项C，分当点P在侧面，侧面上时以及当点P在上底面上时，和点P在侧面，上时三种情况分类讨论即可判断； 对于选项D，分当P在底面ABCD上时和点在侧面上时分类讨论即可判断. 【详解】对于选项A，由点P到侧面的距离相等，故四棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于选项B，因为，而，，因此点P是的中点，所以这样的点P不在正方体的表面上，故B选项错误； 对于选项C，①当点P在侧面，侧面上时（不包括正方形的边界），过点P作平面的垂线，垂足为H，连AH，在中，由，可得； ②当点P在上底面上时，过点P作平面的垂线，垂足为M，若，必有，又由，有，，此时点P的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为； ③当点P在侧面，上时，点P在线段，上符合题意，此时点P的轨迹长为；由上知点P的轨迹长度为，故C选项正确； 对于选项D，①当P在底面ABCD上时，点P的轨迹为以A为圆心，为半径的圆与底面ABCD的交线，记圆与相交于点，与交于点，有，可得，， 则点的轨迹与底面的交线长为； ②当点在侧面上时，，可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心，为半径的四分之一圆，交线长为．由对称性可知，点的轨迹长度为， 故D选项正确． 故选：ACD. 2、 （2023上·海南州,共和县·高二联考期中)如图，在直三棱柱中，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算长度关系，由勾股定理先证明线线垂直，再证线面垂直，最后应用面面垂直的判定定理证明即可； （2）利用法向量求线面角. 【小问1详解】 由直棱柱的性质得平面， 又平面，所以. 因为，所以 因为， 平面，平面， 所以平面 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由直棱柱的性质得平面， 又平面，所以. 结合（1）可知，，，两两垂直，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量， 则即令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 3、 （2023上·海南州,共和县·高二联考期中)如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点. （1）求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值； （2）求点P到平面MCN的距离. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）根据点到平面距离向量法求解即可. 【小问1详解】 因为图1中，所以图2中，，又， 所以分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 因，，，DE，平面BCDE， 所以平面BCDE，所以是平面BCDE的一个法向量， 设平面MCN的法向量，由得取，则，，所以平面MCN的一个法向量， 设平面MCN与平面BCDE的夹角为，则， 所以平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知是平面MCN的一个法向量， 又， 所以点P到平面MCN的距离. 题型03 空间向量的最值问题 1、 （2023上·西宁市·高二期中)已知点，，，，点Q在直线上运动，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示，结合配方法求最小值. 【详解】点Q在直线上运动，设， 则，. 当时，取得最小值. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$