5.1.1从算式到方程教案 2024-2025学年人教版数学七年级上册

七年级上册5.1.1从算式到方程 教案 【学习目标】 1.让学生在掌握算式和简单方程的基础上,过渡到一元一次方程的学习; 2.理解方程的意义,会根据实际情境列方程; 3.掌握方程的解的概念,会判断方程的解; 4.掌握一元一次方程的概念,会判断所给方程是否为一元一次方程. 【学习重难点】 重点:掌握一元一次方程的概念. 难点:从实际问题中寻找等量关系,进而列出方程. 【教学内容】 新知探究1:方程的概念 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发,甲队从距大本营1km的一号营地出发,每小时行进1.2km;乙队从距大本营3km的二号营地出发,每小时行进0.8km,多长时间后,甲队在途中追上乙队? 你会用算术方法解决这个问题吗?列算式试试. 甲、乙两队相距 km, 甲、乙两队的速度差是 km/h, 所以甲队追上乙队需要 h. 下面,我们引入一种新的方法来解决这个问题. 思考:在这个问题中, 已知: 甲乙两队的行进速度及甲乙两队到大本营的距离. 未知: 行进的时间和路程. 如果设两队的行进时间为x h,根据“路程=速度 时间”,甲队和乙队行进路程可以分别表示为1.2x km和0.8x km. 甲队距大本营的路程:(1.2x+1)km 乙队距大本营的路程:(0.8x+3)km 想一想,甲队追上乙队时,他们距大本营的路程之间有什么关系? 甲队追上乙队时,他们距大本营的路程相等. 比较:列算式和列方程 用算术方法解题时,列出的算式只含有已知数,对于较复杂的问题,列算式比较困难; 而方程是根据问题中的等量关系列出的等式,其中既含有已知数,又含有用字母表示的未知数,解决问题比较方便. 问题探究 问题1 用买12个大水杯的钱,可以买16个小水杯,大水杯的单价比小水杯的单价多5元,两种水杯的单价各是多少元? 思考:本题的等量关系是什么? 设大水杯的单价为x元,那么小水杯的单价为(x-5)元.买12个大水杯的钱 = 买16个小水杯的钱 根据“单价 数量=总价”,可以列方程 12x = 16(x-5). 由这个含有未知数x的等式可以求出大水杯的单价,进而可以求出小水杯的单价. 思考:若将小水杯的单价设为x元?你会列方程吗? 设小水杯的单价为x元,那么大水杯的单价为 元. 买12个大水杯的钱 = 买16个小水杯的钱 根据“单价 数量=总价”,可以列方程 12(x+5) =16x. 由这个含有未知数x的等式可以求出小水杯的单价,进而可以求出大水杯的单价. 问题2 下图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其面积是4 000mm2,长和宽的比为8:5(即宽是长的). 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米? 如果设这枚纪念币的长为x mm,则纪念币的宽可以表示为x mm,依据长方形的面积公式,面积可以表示为x2 mm.已知纪念币面积为4 000mm2,所以 x2 =4 000. 由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长,进而可以求出纪念币的宽. 像这样,先设出字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,列出一个含有未知数的等式,这样的等式叫作方程. 注意:方程必须满足两个条件:(1)是等式;(2)化简后含有未知数. 二者缺一不可. 考点解析 例 下列式子中,是方程的有( ) ① 8+2=10; ② 3x+y=10; ③ x-1; ④ - =1; ⑤ x >3; ⑥ x=1; ⑦ a2-1=0; ⑧ b2 ≠-1. A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 注意:方程一定是等式,但等式不一定是方程. 巩固练习 1.下列各式中,是方程的是( ) A.4-5=-1 B.x+3y-1 C.s+2t= -5 D.a-6<3 2.下列各式中,不是方程的是 .(填序号) ①3x+1=4; ② x2+2x+1=0; ③ 4-3=1; ④ |x|-1=0; ⑤ 3x+1; ⑥ =a+1. ⑦ x>0. 3. 判断下列各式哪些是方程?是的标记“√”,不是的标记“ ”. (1) 5x+3y-6x=37 ( ) (2) 4x-7 ( ) (3) 5x ≥ 3 ( ) (4) 1+2=3 ( ) (5) 6x2+x-2=0 ( ) (6) - - m=11 ( ) 注意: (1)方程中的未知数可以用字母x表示,也可以用其他字母表示,如y、z等. (2)方程中未知数的个数可以是一个,也可以是两个或两个以上,如x+y=12等. 总结归纳 用算术方法解题时,列出的算式表示用算术方法解题的计算过程,其中只含有已知数,不含未知数; 而方程是根据问题中的相等关系列出的等式,其中既含有已知数,也含有用字母表示的未知数,这为解决许多问题带来了方便. 通过今后的学习,你会逐步认识到:从算式到方程是数学的一大进步. 新知探究2:列方程 典例解析 例1 根据下列问题,设未知数并列出方程: (1) 某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这所学校有多少名学生? 思考:本题的等量关系是什么? 女生人数-男生人数=80. 解:设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为(1-0.52)x,根据“女生比男生多80人”,列得方程0.52x - (1-0.52)x = 80. (2) 如图,一块正方形绿地沿某一方向加宽5m,扩大后的绿地面积是500m2,求正方形绿地的边长. 解:设正方形绿地的边长为x m,依据 扩大后的绿地面积= 500m2 列得方程x(x+5)=500 x2+5x=500. 巩固练习 1.《算法统宗》是我国古代数学著作,其中记载了一道数学问题,大意如下:用绳子测水井深度,若将绳子折成三等份,则井外余绳4尺;若将绳子折成四等份,则井外余绳 1尺.问绳长和井深各多少尺?设井深为x尺,则可列方程为 . 解析:根据将绳三折测之,绳多四尺,则绳长为:3(x+4); 根据绳四折测之,绳多一尺,则绳长为:4(x+1). 故3(x+4)=4(x+1). 2.甲、乙两人分别从相距30千米的A,B两地骑车相向而行,甲骑车的速度是 10千米/时,乙骑车的速度是8千米/时,甲先出发25分钟后,乙骑车出发,问乙出发后多少小时两人相遇?(只列方程) 莉莉:设乙出发后x小时两人相遇,列出的方程为25 10+8x+10x=30. 请问莉莉列出的方程正确吗?如果不正确,请说明理由并列出正确的方程. 解:莉莉列出的方程不正确. 理由:列方程时未统一单位. 正确方程:设乙出发后x小时两人相遇,等量关系为:甲的路程+乙的路程=30千米依题意得 10+10x+8x=30. 总结提升 归纳 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下: 列方程的基本思路: (1)理解题意,弄清已知是什么,未知是什么; (2)找出题目中的相等关系; (3)根据相等关系列方程。 准确找出相等关系是列方程的关键,一般可以从以下几个方面入手: (1) 根据周长、面积、体积等公式列方程; (2) 根据题目中的不变量确定相等关系; (3) 根据关键词确定相等关系,如和差关系通常用 “一共有……”、“比……多………”、“比……少……”表示, 倍数关系通常用“是……的几倍”表示. 课堂练习 根据下列问题,设未知数并列出方程: 1.甲种铅笔每支1.4元,乙种铅笔每支1.8元,用23元钱买这两种铅笔一共买了15支,两种铅笔各买了多少支? 解:设买甲种铅笔x支,则有1.4x+1.8(15-x)=23. 2.有两条电线,第一条长90m,第二条长40 m.要从第一条截下一段接在第二条上,使两条电线长度相等求截下的那段电线的长度(两条电线接头部分的长度忽略不计). 解:设截下x m,则有90-x=40+x. 根据下列问题,设未知数并列出方程: 3.某圆环形状的工件如图所示,它的面积是200cm2,外沿大圆的半径是10cm,内沿小圆的半径是多少厘米? 解:设內沿小圆半径为x cm,则有等量关系: 大圆面积-小圆面积=200 可以列方程: 102- x2 = 200 新知探究3:方程的解 列方程是解决实际问题的重要方法,要想得到实际问题的解,还需要求出方程中未知数的值. 1.2x+1= 0.8x+3 尝试将x=4,x=5,x=6分别代入方程左右两边,看看会有什么发现? 当x=4时,方程左边:1.2 4+1=5.8;方程右边:0.8 4+3=6.2. 当x=5时,方程左边:1.2 5+1=7;方程右边:0.8 5+3=7. 当x=6时,方程左边:1.2 6+1=8.2;方程右边:0.8 6+3=7.8. 可以发现只有当x=5时,方程左、右两边的值相等. 一般地,使方程左、右两边的值相的未知数的,叫作方程的解(solu-tion).例如,x=5就是方程 1.2x+1=0.8x+3的解. 求方程的解的过程,叫作解方程。 方程的解与解方程的区别与联系 典例解析 例2 (1) x=2,x= 是方程 2x=3的解吗? 解:当x=2时, 方程2x=3的左边=2 2=4,右边=3,方程左、右两边的值不相等,所以x=2不是方程2x=3的解. 当x= 时, 方程2x=3的左边=2 =3,右边=3,方程左、右两边的值相等,所以x= 是方程2x=3的解. (2) x=10,x=20是方程12x=16(x-5)的解吗? 解:当x=10时, 方程12x=16(x-5)的左边=12 10=120,右边=16 (10-5)=80,方程左、右两边的值不相等,所以x=10不是方程12x=16(x-5)的解. 当x=20时, 方程12x=16(x-5)的左边=12 20=240,右边=16 (20-5)=240,方程左、右两边的值相等,所以x=20是方程12x=16(x-5)的解. 总结提升 思考:x=60是方程x2=4 000的解吗?x=80呢? 解:当x=60时, 方程左边= 602 = 3 600=2 250. 方程右边=4 000. 因为左边≠右边,所以x=60不是方程x2=4 000的解. 当x=80时, 方程左边= 802 = 6400=4 000. 方程右边=4 000. 因为左边=右边,所以x=80是方程x2=4 000的解. 新知探究4:一元一次方程 思考:观察方程1.2x+1=0.8x+3,12x=16(x-5),0.52x-(1-0.52)x=80,它们有什么共同特征? 共同特征: 1. 只含有一个未知数; 2. 未知数的次数是1; 3. 方程两边都是整式. 一般地,如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程的三个特征: 1.只含有一个未知数; 2.等式两边都是整式; 3.未知数的次数都是1. 巩固练习 1.下列哪些是一元一次方程? ①2x +1; ②3x -5=5x+4 ; ③-3x +1.8 = 3y; ④2x2+5-2(x2+x)=3; ⑤x +2x -6=0; ⑥3a +9 > 15; ⑦ = 1 2.已知下列方程: ①;②2x=3;③ ;④x2-4x=3;⑤x=0;⑥3x+y=0. 其中是一元一次方程的有 (填序号). 3.下列方程:①x=x+5;②x+2y=1;③x- =2;④0.2x=1;⑤x2-3x=18.其中一元一次方程的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 注意:判断一个方程是不是一元一次方程,不能只看形式,如果方程不是最简形式,首先要将方程化简、整理成最简形式,然后根据一元一次方程的三个特征判断。 课堂练习 1. 判断x=2和x=4是不是方程2x-3=5 的解. 解:当x=2时,方程左边=2 2-3=1,方程右边=5;因为左边≠右边,所以x=2不是方程2x-3=5的解. 当x=4时,方程左边=2 4-3=5,方程右边=5;因为左边=右边,所以x=4是方程2x-3=5的解. 2. 下列等式中哪些是方程?哪些是一元一次方程? ①2+3=3+2;没有未知数 ②8y-9=9-y; ③ x2+2x+1=4.未知数最高次数为2 解: ② ③为方程; ②为一元一次方程. 随堂检测 1. x =1是下列哪个方程的解 ( ) A.1-x = 2 B. 2x -1 =4 -3x C. = x -2 D. x -4 =5x -2 2. 若 x =1是方程x2 -2mx +1=0的一个解,则m的值为( ) A. 0 B. 2 C. 1 D. -1 3.下列各式中,是方程的是( ) A.4-5=-1 B.x+3y-1 C.s+2t=-5 D.a-6<3 4.下列各式中,不是方程的是 .(填序号) ①3x+1=4; ②4-3=1; ③3x+1; ④x>0; ⑤x2+2x+1=0; ⑥|x|-1=0; ⑦ =a+1. 5. 某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6 1”儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.求卖出铅笔的支数. 解:设卖出铅笔x支,则卖出圆珠笔(60-x)支. 等量关系:x支铅笔的总价+(60-x)支圆珠笔的总价=87, 列方程:1.2 0.8x+2 0.9 (60-x)=87. 6. 根据下列问题,找出等量关系,设未知数列出方程,并指出其是不是一元一次方程. (1)环形跑道一周长400m,沿跑道跑多少周,可以跑3000m? 一周长 周数=总路程 解:设沿跑道跑x周. 400x=3000, 是一元一次方程. (2)甲种铅笔每支0.3 元,乙种铅笔每支0.6 元,用 9 元钱买了两种铅笔共20 支,两种铅笔各买了多少支? 买甲种铅笔用的钱+买乙种铅笔用的钱=9元 甲种铅笔支数+乙种铅笔支数=20支 解:设甲种铅笔买了x支,则乙种铅笔买了(20-x)支. 0.3x+0.6(20-x)=9,是一元一次方程. (3)一个梯形的下底比上底多2cm,高是5cm,面积是40cm2,求上底. (上底+下底) 高=梯形面积 解:设上底为x cm,则下底为(x+2)cm. (x+x+2) 5=40 化简:5x+5=40是一元一次方程. 7. 已知方程(m-2)x|m|-1+3=m-5是关于x的一元一次方程,求m的值,并写出其方程。 解:因为方程(m-2)x |m|-1 +3=m-5 所以|m|-1 = 1,且m-2≠0,得m = -2. 所以原方程为-4x +3 = -7. 课堂小结 教学反思 学科网(北京)股份有限公司 $$