函数y＝Asinωx＋φ的图象及应用课件-2025届高三数学一轮复习

第6节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响. 3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 学习目标 课前热身 索引 考试要求 知识回顾 知识梳理 索引 3 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 索引 4 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 ωx＋φ 4、常用结论与微点提醒 索引 5 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 解　因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2. (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； 索引 (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； 列表如下： 描点、连线得图象： 索引 (3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 索引 迁移 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？ 索引 感悟提升 索引 考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 C 索引 索引 感悟提升 索引 索引 考点三　三角函数图象、性质的综合应用 索引 索引 [－1，1)∪{2} 索引 感悟提升 1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 索引 ACD 索引 索引 索引 索引 新定义 解：将的图象按平移得， 所以的解析式为 索引 函数的最小正周期为．函数在上至少有个零点， 即方程在上至少有个解， 由，，或，， 解得，，或，，相邻两个零点最少相差， 要使有最小值，则，均为零点，则在区间上一共有个零点， 则在上至少有一个零点，则， 故的最小值为 将函数的图象按向量平移指的是：当时，图形向右平移个单位，当时，图形向左平移个单位；当时，图形向上平移个单位，当时，图形向下平移个单位．已知，将的图象按平移得到函数的图象． 若函数在区间上至少含个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值； 索引 由，得，又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，得，令，则，， 在上恒成立，只需且即可，解得， 则实数的取值范围为 将函数的图象按向量平移指的是：当时，图形向右平移个单位，当时，图形向左平移个单位；当时，图形向上平移个单位，当时，图形向下平移个单位．已知，将的图象按平移得到函数的图象． 对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 索引 2.(必修一P239T2改编)为了得到函数y＝3sin(2x－)的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x _____ －＋ _____ － ______ ωx＋φ 0 ____ π _____ 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 － |φ| y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝___ f＝＝ ______ φ 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 因为－<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin. 例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式； 又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z， 解　因为x∈[0，π]，所以2x＋∈. 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 解　将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象， 再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象， 再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象. 解　因为f(x)＝2sin＝2cos＝2cos， 将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象， 再将y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象， 再将y＝cos上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos图象，即为f(x)＝2sin的图象. 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 因为T＝＝－＝π，解得ω＝2， 将代入f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1得0＝2sin＋1， 所以f(x)＝2sin＋1， 结合|φ|<及函数图象，解得φ＝， 故f＝2sin＋1＝1－. 例2 (1)(2024·新乡模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f＝(　　) A.0 B.2 C.1－ D.－1 解析　由题图可知A＝＝2，b＝＝1， 所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1. 由题知|AB|＝xB－xA＝， 两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4. 代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin＝－sin＝－. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. － 解析　对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点， 所以ω＋φ＝2π.① 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则 A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 所以－ω＋＝2kπ－，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z. 因为1<|ω|<2，故k＝0，得ω＝， 所以f(x)＝cos. 练习1、(2020·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的解析式为 _________________. f(x)＝cos 解析　由图象知π<T<2π，即π<<2π，所以1<|ω|<2. 因为图象过点，所以cos＝0， 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 角度1　图象与性质的综合应用 例3 已知函数f(x)=2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； 解　由题意知f(x)＝sin 2ωx＋1＋cos 2ωx＝2sin＋1， 因为周期T＝＝π，所以ω＝1， 所以f(x)＝2sin＋1， 即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值. 解　因为g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1， 当x∈时，－≤2x－≤， 所以当2x－＝， 因为y＝f(x)与y＝t只有一个交点，即关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解， 结合函数图象可知－1≤t<1或t＝2. 角度2　三角函数的零点(方程的根)问题 例4 已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是_____________. 解析　因为x∈，所以2x－∈， 所以2sin∈[－1，2]且当x＝时，f＝1， 所以其函数图象如图所示. 练习2 (多选)(2024·蚌埠质检)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，将 y＝f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象.若g(x)为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　　) A.函数f(x)的图象关于点中心对称 B.函数f(x)在区间上单调递减 C.不等式g(x)≥的解集为(k∈Z) D.方程f＝g(x)在(0，π)上有2个解 解得φ＝π＋kπ，k∈Z， 又－<φ<，所以当k＝－2时，φ＝－， 所以g(x)＝cos＝－sin 2x，f(x)＝cos. 解析　根据题意可得g(x)＝cos， 因为g(x)的最小正周期为π，所以＝π， 因为ω>0，所以ω＝4，即g(x)＝cos， 又g(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，k∈Z， 易知不是，k∈Z的子集，故B错误； 对于C，g(x)≥，即－sin 2x≥，得sin 2x≤－， 则－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ，k∈Z， 对于A，当x＝时，f＝cos＝0， 所以点是f(x)图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，令2kπ≤4x－≤π＋2kπ，k∈Z， 解得＋≤x≤＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故C正确； 对于D，在同一直角坐标系中分别画出y1＝f＝cos与y2＝g(x)＝－sin 2x在[0，π]上的图象，如图所示， 通过图象可知，两函数图象在(0，π)上共有2个交点，故D正确. $$