祖暅原理课件2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

左球体是半径为30cm的西瓜，右球体是地球，两个球体各钻出了高度为10cm的位于中心位置的圆柱体，剩下的立体形状称为餐巾环（即球减去圆柱再减去两个球冠）。 你认为这两个餐巾环的体积是否相等？ 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 餐巾环问题可以追溯到江户日本，数学家关孝和（Seki Kowa，1642-1708）最早用积分形证明了左右两个餐巾环体积相等。 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 高一数学必修2 P121 杭州绿城育华学校2023级 授课人：程珍珍 祖暅原理 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 3 祖暅： 祖暅（456年—536年）,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家，祖氏父子著有《缀术》。 卡瓦列利： 西方1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异。节选自《缀术》 含义：(1)两个几何体高度相同； (2)被任意同高度的平面所截，截得的两个截面面积总相等. 则两个几何体的体积相等。 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 任务1：掌握利用祖暅原理推导柱体的体积公式. 如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？口述即可。 解：(1)棱柱，圆柱和长方体高度相同； (2)被任意同高度的平面所截，棱柱，圆柱和长方体截得的截面面积总相等，都等于底面面积S. 则 归纳总结 V柱体＝Sh. 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 任务2：掌握利用祖暅原理推导锥体的体积公式. 如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱锥和圆锥，它们的体积相等吗？说一说你的思路. 思路：只需要证明圆柱和棱柱被任意同高度的平面所截，截得的两个截面面积总相等. 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 任务2：掌握利用祖暅原理推导锥体的体积公式. 已知：如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的棱锥和圆锥，被任意同高度的平面所截，请你证明两个截面面积相等。 解：设所截平面距顶点高度为,易知 截面∽底面， ， 所以圆锥和棱锥被任意同高度的平面所截，截得的两个截面面积总相等. 归纳总结 等底等高时，V圆锥＝V棱锥 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 任务3：掌握用柱体推导锥体的体积公式. 底面积为S，高为h的三棱柱与底面积为S，高为h的三棱锥的体积有何关系吗？小组讨论，用手中的模型证明。 归纳总结 等底等高时，V棱柱＝V棱锥 V锥体＝Sh. 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 知识复习： 截心距h与球的半径R，及截面圆的半径r有如下关系： 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 任务4：掌握利用祖暅原理推导球体的体积公式或者餐巾环问题（任选其一作答）. （1）完成球体体积公式的无字证明。 归纳总结 V球体＝ 祖暅利用“缘幂势既同，则积不容异”得出球体体积，从而修正了刘徽《九章算术》中的错误。 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 任务4：掌握利用祖暅原理推导球体的体积公式或者餐巾环问题（任选其一作答）. （2）解决餐巾环问题：左球体是半径为R（R>5）的西瓜，右球体是半径为R’（R’>5）的地球，两个球体各钻出了高度为10的位于中心位置的圆柱体，剩下的立体形状称为餐巾环（即球减去圆柱再减去两个球冠），请你证明这两个餐巾环的体积相等。 能够说服你的直觉吗？ 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL 课堂小结 杭州绿城育华学校 HANGZHOU GREENTOWN YUHUA SCHOOL $$