专题02 常用逻辑用语问题中的参数问题三种考法讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（新高考地区专用）

专题02 常用逻辑用语问题中的参数问题三种考法 一、知识讲解 1.命题真假 利用集合元素的“三性”尤其是互异性是解决这一类问题的关键，求解过程中务必注意：用描述法表示的集合，要先认清代表元素的含义和集合的类型，是数集、点集，还是其他类型的集合。如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性. 2.充分条件、必要条件、充要条件 （1）如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件 （2）从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件（也说和等价）； 4④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 3. 含全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 二、压轴题例题及变式 类型一、根据命题的真假求参数的取值范围 例．已知命题p：方程有两个相异实根，命题q：不等式恒成立. （1）命题p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由判别式大于0即可求解； （2）分p真q假和p假q真两种情况，列不等式组即可求解. 【详解】（1）∵命题p是真命题， ∴有两个相异实根， ∴，解得. ∴实数a的取值范围为 （2）∵命题p与命题q中有且仅有一个是真命题, ∴有p真q假和p假q真两种情况. 当q是真命题时，不等式恒成立， 即有，得， 由（1）可知，当p是真命题时，实数a的取值范围为， 当p真q假时，有，. 当p假q真时，有，得. 所以实数a的取值范围为. 综上：实数a的取值范围为 【变式训练1】设，命题p：，，命题q：，. （1）若命题p是真命题，求a的取值范围； （2）若命题¬p与命题q都是真命题，求a的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）由题可由求解； （2）求出命题和命题对应的的范围即可求出. 【详解】（1）若命题p是真命题，则，解得或. （2）若是真命题，则在恒成立，则，所以， 因为命题¬p与命题q都是真命题，所以，解得. 类型二、根据充分必要条件求参数的取值范围 例．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 【变式训练1】若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】设不等式的解集为，， 因为不等式成立的充分条件是，，所以， 所以，所以. 由，所以. 由可得. 故选：D 【变式训练2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“” 的 条件. 【答案】②，③ 【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可. 【详解】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，，，解集为； 综上所述，实数的取值范围. 故答案为：②，③. 类型三、含全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围 例．已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为 【变式训练1】若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】B 【分析】转化为最值问题求解， 【详解】由题意得在上有解，当时，取最小值， 则，故可取的最小整数值为0， 故选：B 【变式训练2】“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ . 【答案】 【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围. 【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题， 即“，”是真命题， 当时，，不等式显然成立， 当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 三、能力测试练 1．命题：“，”，若命题是假命题，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【分析】依题意可得命题：“，”为真命题，参变分离可得对恒成立，则，求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】解：因为命题：“，”为假命题， 则命题：“，”为真命题， 所以对恒成立， 所以，即，所以的最小值为. 故选：D 2．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为命题“”为假命题， 所以“”真命题， 所以， 所以当时，， 根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值， 所以， 故选：A. 3．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件. 【详解】依题意，全称量词命题：为真命题， 所以，在区间上恒成立，所以， 所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”. 故选：B 4．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 【答案】BD 【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断. 【详解】对A：若，则，即 若，比如：，则不成立 ∴“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对B：若，则，即二次方程有两个不等实根 若二次方程有两个不等实根，等价于 比如：满足，但不成立 ∴“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件，B正确； 对C：∵且 则 ∴“”是“”的充要条件，C错误； 对D：根据题意可得：，则最小值为2022，D正确； 故选：BD. 5．（多选）下列命题中是真命题的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件 D. 是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例，得到充分性不成立；B选项，解不等式得到且，从而得到B正确；C选项，根据的根都是正根求出，从而得到C正确；D选项，分与两种情况，求出，从而得到D正确. 【详解】A选项，当时，满足，但不满足，故充分性不成立，A错误； B选项，，解得且， 所以不能推出，但能推出，故是的必要不充分条件，B正确； C选项，根都是正根，则要满足，解得， 故，但， 故是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件，C正确； D选项，不等式对一切实数恒成立，当时，恒成立，满足题意， 当时，要满足，解得， 综上所述，不等式对一切实数恒成立，则， 因为，但， 故是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件，D正确. 故选：BCD 6.若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【分析】解不等式得到，由“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，从而比较端点得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 故，解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 7.已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______． 【答案】1 【分析】首先解出不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解； 【详解】由，得或， 因为的必要不充分条件是“或”， 所以，解得，所以实数a的最大值为1； 故答案为： 8．已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据一元二次不等式所对应的方程的判别式即可求解； （2）讨论是否是空集，以及是的真子集列不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】（1）因为命题：，为真命题， 所以方程的， 解得：，即. （2）又因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，应满足，解得.此时是的真子集，故满足题意. 当时，应满足，解得. 因为是的真子集， 所以且不能同时取等号，解得：， 综上实数的取值范围为. 9．已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】（1）当时，集合，或， ． （2）若“”是“”的必要条件，则， ①当时，； ②，则且，. 综上所述，或 10．设集合． （1）用列举法表示集合，并指出集合的子集的个数； （2）记，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），16 （2） 【分析】（1）由题意得，，进一步可以求得及其子集的个数； （2）由已知条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， 集合的子集有：，，，，，，，，，，，，，，，，共16个． （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 所以，(两等号不能同时成立)，解得， 即实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语问题中的参数问题三种考法 一、知识讲解 1.命题真假 利用集合元素的“三性”尤其是互异性是解决这一类问题的关键，求解过程中务必注意：用描述法表示的集合，要先认清代表元素的含义和集合的类型，是数集、点集，还是其他类型的集合。如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性. 2.充分条件、必要条件、充要条件 （1）如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件 （2）从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件（也说和等价）； 4④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 3. 含全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 二、压轴题例题及变式 类型一、根据命题的真假求参数的取值范围 例．已知命题p：方程有两个相异实根，命题q：不等式恒成立. （1）命题p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围. 【变式训练1】设，命题p：，，命题q：，. （1）若命题p是真命题，求a的取值范围； （2）若命题¬p与命题q都是真命题，求a的取值范围. 类型二、根据充分必要条件求参数的取值范围 例．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“” 的 条件. 类型三、含全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围 例．已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【变式训练1】若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【变式训练2】“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ . 三、能力测试练 1．命题：“，”，若命题是假命题，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 2．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 5．（多选）下列命题中是真命题的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件 D. 是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件 6.若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 7.已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______． 8．已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 9．已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 10．设集合． （1）用列举法表示集合，并指出集合的子集的个数； （2）记，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$