专题12 函数的奇偶性（4大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题12 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义与判断 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．若，则 2．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上单调递减 3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，函数，当时，的最小值为，下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，以下结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．函数在区间上单调递减 D． 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数，且. (1)求m的值； (2)证明函数为奇函数； (3)判断在上的单调性，并给予证明. 6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并加以证明； (2)证明：函数在上是减函数； (3)解关于x的不等式． 由奇偶性求函数解析式 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）若是奇函数，且当时，，则当时， ． 4．（23-24高一上·福建三明·期中）已知偶函数定义域为，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明. 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．    (1)求当时，的解析式； (2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递增区间． 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是上的奇函数，，当时，. (1)求在上的解析式； (2)求不等式的解集. 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求a，b的值，并用定义证明：函数在区间上的单调性； (2)若，求实数a的取值范围； (3)写出函数的值域（不必写出解答过程） 有关抽象函数奇偶性的考察 1．（23-24高一上·福建南平·期中）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建福州·期中）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ）. A． B．为偶函数 C．在区间上有最大值 D．的解集为 3．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，且，则当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数又为上的增函数 B．函数，则 C．若函数且，则 D．若函数，则 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数满足，且． (1)求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对任意，都有成立，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 6．（23-24高一上·福建泉州·期中）设函数对任意，都有，且当时，. (1)证明：为奇函数； (2)证明：为减函数， (3)若，试求关于的不等式的解集. 函数奇偶性的应用 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（23-24高一上·福建南平·期中）已知偶函数的定义域为R，当时，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建三明·期中）已知偶函数的定义域为，且对任意都有，若，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，.若，则（    ） A．0 B．6 C．-6 D．5 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 6．（23-24高一上·福建莆田·期中）偶函数的定义域为，且对于任意，，均有成立，若，则实数的取值范围为 ． 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的奇函数满足，当，则 ． 8．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 根据函数的奇偶性求参数值 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．2023 B． C．2021 D． 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）二次函数是区间上的偶函数，若函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数为奇函数，则实数a的值为 ． 4．（23-24高一上·福建三明·期中）设为实数，函数，． (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现在（1）的条件下，函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·福建·期中）已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性（不用证明），并解关于的不等式． 6．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知函数． (1)若是奇函数，求实数的值； (2)若，试用函数单调性定义证明：函数在上单调递增． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数的值 (2)判断的单调性，并用定义证明： (3)解不等式：． 8．（22-23高一上·福建泉州·期中）设函数，. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若为奇函数，求． 由函数奇偶性解不等式 1．（23-24高一上·福建·期中）定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数是偶函数，且对任意的，有，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）定义在上且满足，其中，在为增函数，则下列成立的是（    ） A．不等式解集为 B．不等式解集为 C．解集为 D．解集为 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上为增函数 C．当时， D．不等式的解集为 5．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数为上的奇函数，满足在为增函数，且，则不等式的解集为 . 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数满足：是偶函数且在上单调递增，若，，则实数的取值范围为 ． 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数满足，对任意的都有恒成立，且，则关于x的不等式的解集为 . 8．（23-24高一上·福建福州·期中）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 9．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于t的不等式． 10．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且 (1)求实数a，b的值， (2)判断在上的单调性，并用定义法证明. (3)解不等式：. 奇偶函数对称性的应用 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在闭区间上的奇函数，，则的最大值与最小值之和为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）内单调递减，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，且f（x+2）为偶函数，则 f（﹣1），f（4），f（）的大小为（ ） A．f（4）＜f（﹣1）＜f（） B．f（﹣1）＜f（4）＜f（） C．f（）＜f（4）＜f（﹣1） D．f（﹣1）＜f（）＜f（4） 5．（23-24高一上·福建福州·期中）若函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．若在上有最小值，则在有最大值1 C．若在上单调递增，则在上单调递减 D．是偶函数 6．（22-23高一上·福建福州·期中）定义在R上的偶函数f(x)，当x∈[1，2]时，f(x)<0且f(x)为增函数，下列四个结论其中正确的结论是（ ） A．当x∈[-2，-1]时，有f（x）<0 B．f（x）在[-2，-1]上单调递增 C．f（-x）在[-2，-1]上单调递减 D．在[-2，-1]上单调递减 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义与判断 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据函数奇偶性的定义分析判断，对于B，根据增函数的定义分析判断，对于C，根据题意求出的解析式，再求值判断，对于D，由解方程求解. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 当时，，也满足， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，因为当时，是常函数，不是增函数，所以B错误， 对于C，由题意得， 所以，所以C错误， 对于D，因为，所以由，得，所以D正确. 故选：AD 2．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】利用赋值法逐个验证四个选项即可. 【详解】对于A，因为当时，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得， 当时，，即， 当时，，即， 联立解得，，故B正确； 对于C，当时，（且），即（且）， 用替换，令，可得（且），即（且），联立得， 故为上的奇函数，故C正确； 对于D，由为上的奇函数知，， 所以， 令，，可得 ， 设，则，， 因为当时，，所以，， 所以，即， 所以在上单调递减，故D正确， 故选：BCD. 3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，函数，当时，的最小值为，下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由基本不等式可求得的值，故可得函数的单调区间，同时求得函数的奇偶性，故可判断各选项． 【详解】对于，定义域为，，是奇函数，不是偶函数． 当时， 由基本不等式，解得， 由对勾函数易知在和上递增，在和上递减， 所以C正确，D不正确， 故选：AC． 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，以下结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．函数在区间上单调递减 D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数的轴对称与中心对称性，进而得到周期性，赋值可得A；由变形可得函数在区间的单调性，由对称性可得C； 结合性质可证明BD. 【详解】由题意，对，当时，都有. 则当时，；当时，； 故在单调递增. 由函数为奇函数， 则，即， 则函数的图象关于中心对称①； 选项A，令，则，则，故A错误； 选项B，由函数满足， 则， 则的图象关于对称②， 由①②得，，则， 所以有， 则是以为周期的周期函数③， 则由②③得，， 即是偶函数，故B正确； 选项C，由的图象关于对称， 函数在区间的单调性与的单调性相反， 又由函数的图象关于中心对称， 函数在区间的单调性与的单调性相同， 故函数在区间的单调递减，故C正确； 选项D，由， 则的图象也关于中心对称； 故函数与的图象交点也成对关于对称； 不妨设，则，且， 即，且， 故，故D正确. 故选：BCD. 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数，且. (1)求m的值； (2)证明函数为奇函数； (3)判断在上的单调性，并给予证明. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)在上的单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，解出的值，即得答案. （2）根据题意，先求定义域，然后利用奇偶性的定义分析即可得到答案. （3）用单调性的定义证明函数的单调性即可. 【详解】（1）因为函数，且， 所以，解得， 所以. （2）由（1）得，定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. （3）在上单调递增，理由如下： 任取，则 ， ，所以，， 所以， 所以在上的单调递增. 6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并加以证明； (2)证明：函数在上是减函数； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析(2)证明见解析(3)或 【分析】（1）利用奇偶函数的判断方法即可得出结果； （2）利用证明函数单调性的方法即可得出结果； （3）利用单调性和奇偶性，将不等式转化成，即可求出结果. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数. （2）设，且 则 因为，且，所以，， 又，，所以，即， 所以，在上是减函数． （3）由，得， 又因为是偶函数，所以，得到 又因为，且在上为减函数， 所以，即，即， 解得，或， 所以，不等式的解集是或. 由奇偶性求函数解析式 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义，直接求函数解析式. 【详解】由函数为偶函数， 得当时，，， 故选：D. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先根据奇函数的性质求出时，的解析式.进而分，，三种情况，结合奇函数的性质，求解不等式，即可得出答案. 【详解】，则，. 又是定义在上的奇函数， 所以，， 所以，. 由可得，，解得，所以； 当时，由可得，，解得，所以； 当时，根据奇函数的性质，可知，满足. 综上所述，不等式的解集是或. 故选：D. 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）若是奇函数，且当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由，根据可求得结果. 【详解】当时，，， 又为奇函数，， 当时，. 故答案为：. 4．（23-24高一上·福建三明·期中）已知偶函数定义域为，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明. 【答案】(1)； (2)在上是增函数，证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式即得. （2）判断函数单调性，再利用单调性定义推理判断即可. 【详解】（1）偶函数定义域为，当时，， 当时，，则， 所以函数的解析式是. （2）当时，，在上是增函数. 任取，则， 而，，且，则，因此， 所以在上是增函数. 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．    (1)求当时，的解析式； (2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递增区间． 【答案】(1)当时， (2)图象见解析，和 【分析】（1）根据奇偶性求出时的解析式； （2）根据偶函数的图象关于轴对称，补出函数的完整图象；结合图象写出函数的单调增区间． 【详解】（1）由题意设，则， 所以， 因为为上的偶函数，所以， 所以， 所以，当时，． （2）由题意，偶函数的图象关于轴对称，作出函数图象如下： 据图可知，函数的单调递增区间为：和． 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是上的奇函数，，当时，. (1)求在上的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，令，则，代入计算结合函数的奇偶性得到解析式. （2）考虑，，三种情况，解不等式得到答案. 【详解】（1），所以，得， 当时，， 令，则，所以， 因为函数是上的奇函数，所以， 所以， 所以 （2）①当时，，即，解得； ②当时，，恒成立； ③当时，，，解得或； 综上所述：不等式的解集为. 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求a，b的值，并用定义证明：函数在区间上的单调性； (2)若，求实数a的取值范围； (3)写出函数的值域（不必写出解答过程） 【答案】(1)，，证明见解析；(2)；(3)． 【分析】（1）由奇函数性质求得，再由已知函数值求得，用单调性定义讲明； （2）根据奇函数性质化不等式为，再由单调性结合定义域求解； （3）根据单调性可得值域． 【详解】（1）由题意，，，， 所以， 设任意的，， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （2），是奇函数，则， 又是上是增函数，所以，解得， 即不等式的解集为； （3）时，，时，，是上的增函数， 所以值域为． 有关抽象函数奇偶性的考察 1．（23-24高一上·福建南平·期中）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先利用赋值法，结合函数奇偶性的判断推得为偶函数，从而利用赋值法与的奇偶性逐一分析判断各选项即可. 【详解】由的图象关于直线对称，得：； ∵，用代替得：， ∴，即为偶函数. 在中，代替得：， 结合，代入得. 上式中，令，得， 因为，所以，故B正确，C错误. 在中，令得：，所以，故A正确. 在中，令得， 又，所以，所以； 在中，令得，所以； 再令可得，即. 所以，故D错误. 故选：AB 2．（22-23高一上·福建福州·期中）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ）. A． B．为偶函数 C．在区间上有最大值 D．的解集为 【答案】AD 【分析】赋值，令，可判断A；令，结合奇偶函数定义可判断B；根据抽象函数性质结合函数单调性定义可判断C；利用函数单调性解不等式判断D. 【详解】令，则，故，A正确； 令，则，即，故函数为奇函数，B错误； 设，则，由题意可得， 即，即， 故函数为R上的减函数，所以在区间上有最大值为，C错误； 等价于， 又为R上的减函数，故，所以，解得， 即的解集为，D正确. 故选：AD. 3．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，且，则当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数又为上的增函数 B．函数，则 C．若函数且，则 D．若函数，则 【答案】BC 【分析】令可证，令可证为奇函数，结合定义可证函数为单减函数，由可匹配正比例函数模型，通过函数关系式代换可依次验证B、C、D的正确性. 【详解】令可得，令可得， 即，故为奇函数， 令，则，因为当时，， 所以，即，故当时，单减，由奇函数对称性和可知，在上单减，故A项错误； 因为，符合该函数模型的只能是正比例函数，不放设成， 对B，，等价代换可得 ，显然左边=右边恒成立，故B项正确； 对C，且，即，，故，当时，，故C正确； 对D，，，，只有当时才符合，故D错误. 故选：BC 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由及，可得函数为奇函数，根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】因为函数对任意的，有，又， 则， 所以函数为奇函数， 因为在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，又函数为奇函数， 所以在区间上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以，解得， 故答案为：. 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数满足，且． (1)求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对任意，都有成立，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，函数是奇函数，证明见解析(2) 【分析】（1）利用赋值法即可求得，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数奇偶性； （2）根据条件得到函数单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解. 【详解】（1）因为函数满足， 所以令，得到，所以； 函数定义域为， 因为， 所以函数是奇函数 （2）因为对任意，都有成立， 所以函数在单调递增， 不等式，即， 即，即， 所以，所以对恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的取值范围为 6．（23-24高一上·福建泉州·期中）设函数对任意，都有，且当时，. (1)证明：为奇函数； (2)证明：为减函数， (3)若，试求关于的不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用特殊值求出的值，进而令，则有，然后由奇函数的定义可得结论， （2）设，分析可得，再由单调性的定义可得结论， （2）由已知可得，所以不等式可转化为，再由函数的单调性可得，从而可求出结果 【详解】（1）证明：因为函数对任意，都有， 所以令，则，得， 令，则有， 所以，即， 所以为奇函数 （2）证明：设，则，而时，有，则 ， 所以， 所以为减函数 （3）因为为奇函数，，所以， 所以， 所以， 所以不等式可转化为 ， 因为为减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为 函数奇偶性的应用 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数得，再利用为奇函数得，，代入计算即得. 【详解】因是奇函数， 故. 故选：A. 2．（23-24高一上·福建南平·期中）已知偶函数的定义域为R，当时，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由单调性与奇偶性可直接判断大小关系. 【详解】因为为偶函数，所以. 又当时，单调递增，且， 所以，即. 故选：C. 3．（23-24高一上·福建三明·期中）已知偶函数的定义域为，且对任意都有，若，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可得在上单调递增，再结合偶函数的性质，将原不等式转化为，解之即可． 【详解】因为对任意都有 所以函数在上单调递增， 又为偶函数，所以函数在上单调递减， 因为， 所以等价于，即或， 解得或， 所以不等式的解为． 故选：A． 4．（23-24高一上·福建泉州·期中）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，.若，则（    ） A．0 B．6 C．-6 D．5 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，求得，从而求解. 【详解】由为偶函数，则：，且关于对称， 由为奇函数，则：，且关于点中心对称， 令，由得：， 由得：， 因为，则：，得：， 令，由得，得：，所以：， 所以：时，， 由关于对称，关于点中心对称，得为周期的函数， 所以：，得：.故C项正确. 故选：C. 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】取特殊值可得，即A正确；分别令，联立方程组可得，且满足，即可得BD正确；令可知，可得C错误. 【详解】根据题意可知，令可得， 即，又，可得，即A正确； 令，可得，即，即可得D正确； 令，可得，联立两式可得， 所以可得是偶函数，即B正确； 令，可得，即可得，所以C错误； 故选：ABD 6．（23-24高一上·福建莆田·期中）偶函数的定义域为，且对于任意，，均有成立，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可得在上单调递减，根据偶函数的性质将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为对于任意，，均有成立， 所以在上单调递减，又为定义域为的偶函数， 所以在上单调递增， 不等式即，等价于， 即，即， 解得或，即实数的取值范围为. 故答案为： 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的奇函数满足，当，则 ． 【答案】 【分析】根据条件推导出函数的周期为4，于是可得出结果． 【详解】由于函数为上的奇函数，则， 由，得， ∴， ∴函数的周期为4， 则． 故答案为：． 8．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数是奇函数，得到，代入解析式求解即可. 【详解】依题中条件知，， 故答案为：. 根据函数的奇偶性求参数值 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．2023 B． C．2021 D． 【答案】B 【分析】首先根据为偶函数和得到，再根据求解即可. 【详解】因为的定义域为R，且为偶函数， 所以，即，即. 所以. 又因为，即，所以. 因为， 所以 . 故选：B 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）二次函数是区间上的偶函数，若函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数为偶函数得到方程，得到，得到，计算出，得到答案. 【详解】由题意得，解得（舍去）或， 二次函数，故， 故， 所以. 故选：B 3．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数为奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】5 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】由题意，即， 所以恒成立，所以，即． 故答案为：5. 4．（23-24高一上·福建三明·期中）设为实数，函数，． (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现在（1）的条件下，函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）用偶函数的性质得出即可； （2）转化为“存在，使得，即关于的方程在内有解”问题． 【详解】（1）是偶函数，在上恒成立， 即， 即，得，， ； （2）因为，所以函数是区间上的平均值函数， 所以存在，使，而，即存在，使得，即关于的方程在内有解； 所以解得，或， ∴， 解得：. 5．（23-24高一上·福建·期中）已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性（不用证明），并解关于的不等式． 【答案】(1)(2)证明见解析， 【分析】（1）先根据求解出，然后根据求解出，由此求解出的解析式； （2）先通过定义法证明的单调性，然后结合单调性和奇偶性将函数值不等关系转化为自变量的不等关系，从而求解出结果. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以， 又因为，所以满足条件， 综上，； （2）任取，且， 所以 又因为，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增； 因为且在上单调递增且为奇函数； 所以， 所以，所以， 所以不等式解集为. 6．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知函数． (1)若是奇函数，求实数的值； (2)若，试用函数单调性定义证明：函数在上单调递增． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由奇函数的性质有，即可求参数值； （2）由题设，令应用作差法比较的大小，即可证. 【详解】（1）由题设，定义域为R， 所以恒成立， 所以. （2）由题设，令， 所以， 又，则，即. 所以函数在上单调递增，得证. 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数的值 (2)判断的单调性，并用定义证明： (3)解不等式：． 【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3) 【分析】（1）求出的表达式，根据奇函数的性质得出，代入即可得出.进而结合，即可得出； （2），且设，作差整理得出.进而判断得出的大小关系，即可得出单调性； （3）根据奇函数的性质可得出，结合函数的单调性以及定义域，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 因为函数是定义在上的奇函数， 所以有，即， 所以有在上恒成立， 所以，，. 又，所以， 所以. 所以，. （2）在上单调递增. ，且设， 则. 因为，且， 所以，，，， 所以，， 所以，在上单调递增. （3）由以及奇函数的性质可得，. 由（2）知，在上单调递增， 所以有，解得， 所以，不等式的解集为. 8．（22-23高一上·福建泉州·期中）设函数，. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若为奇函数，求． 【答案】(1)偶函数，证明见解析(2)0 【分析】（1）直接利用奇偶性的定义证明； （2）通过计算即可. 【详解】（1）因为定义域为， 且， 所以为偶函数. （2）因为为奇函数， 所以， 即 所以， 解得. 由函数奇偶性解不等式 1．（23-24高一上·福建·期中）定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件确定出的单调性以及取值正负，然后根据讨论与同正和同负的情况即可求得结果. 【详解】因为对任意的，都有，所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以时，；时，；时，， 因为， 所以或，解得或， 所以解集为， 故选：C. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数是偶函数，且对任意的，有，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和奇偶性化简不等式，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，对任意的，有， 所以在区间上单调递减，由于是偶函数， 所以在区间上单调递增. 所以由可得， 两边平方得，解得. 所以的取值范围是. 故选：A 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）定义在上且满足，其中，在为增函数，则下列成立的是（    ） A．不等式解集为 B．不等式解集为 C．解集为 D．解集为 【答案】AD 【分析】根据题意分析的奇偶性和单调性，利用的图象结合不等式分析A，B选项，根据的单调性和奇偶性分析C，D选项. 【详解】由题意可知定义在上且满足，其中，在为增函数， 则函数为偶函数，在上为减函数， 函数的图象可由的图象向左平移1个单位得到， 作出和的大致图象如图， 则不等式可化为或， 由图象可知，故A正确，B错误； 由于为偶函数，故可化为， 即，解得，故C错误，D正确， 故选：AD. 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上为增函数 C．当时， D．不等式的解集为 【答案】CD 【分析】对于A，利用的奇偶性直接求得；对于BC，利用的奇偶性求得的解析式，结合二次函数的性质即可判断；对于D，利用的单调性与奇偶性解不等式即可得解. 【详解】因为是定义域为上的偶函数，所以， 又当时，，所以，故A错误； 当时，，则，故C正确； 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故B错误； 因为是定义域为上的偶函数，所以在上单调递增， 而可化为，所以，解得，故D正确. 故选：CD. 5．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数为上的奇函数，满足在为增函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性得到大概趋势，则分两种或讨论即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，则，， 因为在为增函数，所以在上单调递增，作出函数的示意图如下： 由，得或即或， 由图知或或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数满足：是偶函数且在上单调递增，若，，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件分析的对称性以及单调性，然后根据对称性以及单调性将的关系转变为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出的取值范围. 【详解】因为是偶函数， 所以，所以的对称轴为， 又因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以自变量越靠近对称轴对应的函数值越小，反之亦然， 因为，恒成立， 所以，恒成立，即恒成立， 所以，恒成立，即恒成立， 所以， 又因为为增函数，为减函数， 所以，， 所以，即， 故答案为：. 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数满足，对任意的都有恒成立，且，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，再根据讨论求解即可. 【详解】由题意可得：，为奇函数，为偶函数， 当时，，，在单调递减，， 结合的草图： 当时，要使得，则，此时； 当时，要使得，则，此时； 当时，为奇函数，不满足. 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·福建福州·期中）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性与二次函数的性质得到的单调性，同时得到，从而得到关于的恒成立不等式，由此得解. 【详解】因为当时，， 所以在上单调递增，且，， 又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，故在上单调递增， 当时，，则，故，即， 综上，在上恒成立， 所以等价于，即，即恒成立， 又，所以，则. 故答案为：. 9．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于t的不等式． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据奇函数得到，再根据计算得到答案. （2）利用定义证明函数单调递增，原不等式可化为，根据函数的单调性和定义域解得答案. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则， ，解得，故， 当时，，函数为奇函数， 综上所述：. （2）设，则， 因为，所以，，， 故，即， 故在上单调递增. 因为，所以，即， 由在上单调递增，故， 解得或， 所以不等式的解集为. 10．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且 (1)求实数a，b的值， (2)判断在上的单调性，并用定义法证明. (3)解不等式：. 【答案】(1)，(2)在区间上单调递减，证明见解析(3) 【分析】（1）利用待定系数法求得，再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）利用奇函数的性质将不等式化为，再利用其单调性与定义域列出关于的不等式组，解之即可得解． 【详解】（1）因为为定义在上的奇函数， 所以，则， 又，则， 当，时，， 则，则为奇函数， 所以，. （2）在区间上单调递减，证明如下： 对任意，， ，，，，， ，即， 在区间上单调递减. （3）为定义在上的奇函数，且在上单调递减， 所以由，可得， 所以，即，解得， 所以. 奇偶函数对称性的应用 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是奇函数，则的最大值与最小值互为相反数，可求. 【详解】， 设，， ，则是上的奇函数， 的最大值为，最小值为，则有， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在闭区间上的奇函数，，则的最大值与最小值之和为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据奇函数关于原点对称可知，的最大值最小值之和为0，然后利用函数，即可求解 【详解】∵函数是定义在闭区间上的奇函数， ∴当时,. ∴,. 故选：B . 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）内单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数为偶函数以及在[0，+∞）内单调递减即可判断函数值的大小， 【详解】解∶∵f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)在[0，+∞）内单调递减， 由，∴ 故选∶D． 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，且f（x+2）为偶函数，则 f（﹣1），f（4），f（）的大小为（ ） A．f（4）＜f（﹣1）＜f（） B．f（﹣1）＜f（4）＜f（） C．f（）＜f（4）＜f（﹣1） D．f（﹣1）＜f（）＜f（4） 【答案】A 【分析】为偶函数，可得，所以（4），，利用定义在上的函数在内为减函数，即可得出结论． 【详解】解：为偶函数，， （4），， ，定义在上的函数在内为减函数， （4）， 故选：． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）若函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．若在上有最小值，则在有最大值1 C．若在上单调递增，则在上单调递减 D．是偶函数 【答案】AB 【分析】根据奇函数定义判断A正确；根据奇函数对称性判断B正确；根据奇函数单调性判断C不正确；根据奇函数的定义研究函数与的关系，即可得到答案. 【详解】函数是定义在上的奇函数，，故A正确；奇函数的图象关于原点对称，当在上有最小值时，则在有最大值1，故B正确；奇函数的图象关于原点对称，奇函数在关于原点对称的区间内单调相同，故选项C错误；函数的定义域为，函数的定义域为，关于原点对称，函数为奇函数，则. 为奇函数，故选项D错误. 故选：AB. 6．（22-23高一上·福建福州·期中）定义在R上的偶函数f(x)，当x∈[1，2]时，f(x)<0且f(x)为增函数，下列四个结论其中正确的结论是（ ） A．当x∈[-2，-1]时，有f（x）<0 B．f（x）在[-2，-1]上单调递增 C．f（-x）在[-2，-1]上单调递减 D．在[-2，-1]上单调递减 【答案】AC 【分析】根据偶函数的对称性，结合函数的符号及增减性，即可得到结果. 【详解】解： A偶函数的图象关于轴对称，，时，，所以当，时，有，故A正确； B偶函数的图象关于轴对称，，时，为增函数，所以在，上单调递减，故B错误； C函数是偶函数，．由B知在，上单调递减，故C正确； D的图象是将下方的图象，翻折到轴上方，由于在，上单调递减，所以在，上单调递增，故D错误. 综上可知，正确的结论是AC 故选：AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$