专题11 函数的单调性与最值（4大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题11 函数的单调性与最值 用定义法判断或证明函数的单调性 1．（23-24高一上·福建南平·期中）已知定义在区间上的函数对于任意的，满足，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并用单调性定义加以证明； (3)若，解不等式. 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数 (1)写出的单调区间、值域以及图象的对称中心坐标 (2)判断在区间上的单调性并利用定义证明；写出在该区间上的最大、小值 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，且． (1)求的值，并证明：在区间上单调递减； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的最小值． 复合函数的单调性 1．（23-24高一上·福建福州·期中）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）关于函数的结论，下列说法正确的有（    ） A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 3．（23-24高一上·福建·期中）关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于y轴对称 B．当时，函数在上为增函数 C．当时，函数有最大值，且最大值为 D．函数的值域是 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）知函数满足，则关于函数正确的说法是（    ） A．的定义域为 B．值域为，且 C．在单调递减 D．不等式的解集为 5．（22-23高一上·福建南平·期中）函数的单调递增区间为 . 6．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是 ． 7．（23-24高一上·福建莆田·期中）函数的单调递减区间为 ． 根据函数的单调性解不等式 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义域为的函数满足对于任意，，，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知定义在上的增函数满足：且对于，，都有成立． (1)求的值，并解方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．（23-24高一上·福建·期中）已知函数． (1)求的值； (2)用定义证明函数在上为增函数； (3)若，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数. (1)若. （i）求不等式的解集； （ii）若对任意的，，求实数的取值范围； (2)若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 6．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数在为奇函数，且 (1)求值； (2)判断函数在的单调性，并用定义证明； (3)解关于t的不等式 比较函数值的大小关系 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，且对定义域上的任意有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知x0是函数f（x）=lnx-（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）则（　　） A．, B．, C．, D．, 3．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）已知函数，,都有成立，且任取，，以下结论中正确的是（ ） A． B． C． D．若则 4．（22-23高一上·福建厦门·期中）定义在区间上的函数满足：，时，若，，，则 ，三个实数a，b，c最大的为 ． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，，在函数的值域上任取三个数，都存在以这三个数为边长的三角形，求实数的取值范围为 . 根据函数的单调性求参数值 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建·期中）已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数在上具有单调性，实数的值可以是（    ） A．40 B．60 C．80 D．160 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）函数在上是单调函数，则实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象过点，且. (1)求的解析式； (2)已知，，求函数在上的最小值； (3)若，若函数在上是单调函数，写出正实数的取值范围（不用写过程） 6．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知定义在上的增函数满足：且对于，，都有成立． (1)求的值，并解方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 利用函数单调性求最值或值域 1．（23-24高一上·福建福州·期中）关于函数的结论，下列说法正确的有（    ） A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 2．（23-24高一上·福建南平·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”为真命题 C．函数 的最小值为 D．集合的真子集有8个 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”．已知圆周率，定义函数，下列有关函数的结论中，正确的是（    ） A．方程的最小解为32 B．，都有 C．当时，的最小值为7 D．若，函数为常数函数，则的最小值为8 4．（22-23高一上·福建福州·期中）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．若为的跟随区间，则b=1 B．函数存在跟随区间 C．若函数存在跟随区间，则 D．二次函数存在“2倍跟随区间” 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数 (1)写出的单调区间、值域以及图象的对称中心坐标 (2)判断在区间上的单调性并利用定义证明；写出在该区间上的最大、小值 6．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，且． (1)求的值，并证明：在区间上单调递减； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·福建南平·期中）设函数． (1)若命题：，是假命题，求m的取值范围； (2)若对于，恒成立，求m的取值范围． 根据函数的最值求参数 1．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知幂函数． (1)若函数，是否存在实数使得的最小值为5？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若函数，是否存在实数，使函数在上的取值范围为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 5．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知定义在区间上的函数． (1)若函数分别在区间上单调，试求的取值范围；（直接写出答案） (2)当时，在区间上是否存在实数，使得函数在区间上单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 6．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数． (1)讨论函数在上的单调性，并用定义加以证明： (2)若函数在区间上的值域为，求的取值范围． 解决函数不等式恒成立（能成立）问题 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）若对任意恒成立，其中a，b为整数，则不可能取值（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-17 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数设若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）若非零函数对任意x，y均有，且当时，. (1)求，并证明； (2)求证：为上的减函数； (3)当时，对时恒有，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）设，函数. (1)若，求的单调区间； (2)若函数的图象关于原点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，. (1)，用表示、中的最小者，记为，请用解析法表示函数； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数满足． (1)求不等式的解集； (2)若，求的取值范围． 8．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数. (1)若. （i）求不等式的解集； （ii）若对任意的，，求实数的取值范围； (2)若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 函数的单调性与最值 用定义法判断或证明函数的单调性 1．（23-24高一上·福建南平·期中）已知定义在区间上的函数对于任意的，满足，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并用单调性定义加以证明； (3)若，解不等式. 【答案】(1)0(2)在区间上是单调递减函数，证明见解析(3)或 【分析】（1）令，代入条件等式得出结果； （2）利用单调性定义证出结果； （3）利用赋值法得出，再结合函数的单调性解不等式得出结果. 【详解】（1）令，代入得，故. （2）任取，且，则，由于当时，， 所以，即，因此， 所以函数在区间上是单调递减函数. （3）由题意有， 则，而，所以. 由于函数在区间上是单调递减函数 由，得，∴. 又因为，因此不等式的解集为或. 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减，证明见解析(2) 【分析】（1）借助对勾函数判断函数单调性，并根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （2）由（1）结论，确定，的取值范围，借助的解可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，（当且仅当时取得最大值） 函数在单调递增，在上单调递减，理由如下： ，且，则 ． 当时，，， 又，， 所以即， 所以在上单调递增， 当时，， 又，， 所以即， 所以在上单调递减， （2）因为在上的值域为， 所以由（1）知， 令，即，解得或， 当时，，则有， 当时，，则有， 综上所述，的取值范围为. 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数 (1)写出的单调区间、值域以及图象的对称中心坐标 (2)判断在区间上的单调性并利用定义证明；写出在该区间上的最大、小值 【答案】(1)答案见解析 (2)单调递减，证明见解析，，. 【分析】（1）将函数解析式变形为，根据函数的平移变换及反比例函数的性质判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，由单调性求出函数的最值. 【详解】（1）因为， 所以的图象可以由向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为的单调递减区间为，，无单调递增区间， 值域为，对称中心为， 所以的单调递减区间为，，无单调递增区间， 值域为，对称中心为. （2）在区间上的单调递减， 设任意的且， 则 ， 因为且，所以，，， 所以，即，所以在区间上的单调递减， 所以，. 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)是上的单调递减函数，证明见解析(3) 【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得； （2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可； （3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得. 【详解】（1）取， 则，于是， 令， 则， 又，则； （2）是上的单调递减函数． 证明： 任取， 则， 由于当时，，易知，则， 故， 可得是上的单调递减函数． （3）不等式可化为， 也即， 令 于是，都有恒成立， 由于为上的单减函数，则， 都有恒成立， 即成立，即恒成立； 令，它是关于的一次函数， 故只需，解得． 即， 解得 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，且． (1)求的值，并证明：在区间上单调递减； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1),证明见解析.(2) 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明； （2）利用函数的单调性求出最大值，进而可得，解分数不等式求解. 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以， 证明如下： ， ， 因为，所以，即， 所以在区间上单调递减. （2）由（1）知，在区间上单调递减. 所以， 因为对恒成立，所以， 即，即，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 6．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接代入得到关于、的方程组，解得、，即可求出函数解析式； （2）首先证明在上的单调性，从而求出在上的值域，令，则，问题转化为求函数，的最小值，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，且，， 所以，解得，所以. （2）因为， 设，且，有． 由，得． 则，即． 在区间上单调递增． 因为，所以， 又，， 则，， 令，则，， 令，， 当，即时， 当，即时， 当，即时， 所以当时， 当时， 当时， 综上可得. 复合函数的单调性 1．（23-24高一上·福建福州·期中）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先求出函数的定义域，令，从而得到的单调性，再根据复合函数的单调性即可得到答案. 【详解】，因为，解得或. 令，对称轴为， 所以，为减函数， ，为增函数. 所以在为增函数. 故选：B 2．（23-24高一上·福建福州·期中）关于函数的结论，下列说法正确的有（    ） A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 【答案】BC 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得的单调区间，进而求得的最值. 【详解】由，得， 解得，所以的定义域是， 函数的开口向下，对称轴为， 根据复合函数单调性同增异减可知， 的单调减区间是，A选项错误. 的增区间是，B选项正确. 所以的最大值是，C选项正确. 的最小值是，D选项错误. 故选：BC 3．（23-24高一上·福建·期中）关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于y轴对称 B．当时，函数在上为增函数 C．当时，函数有最大值，且最大值为 D．函数的值域是 【答案】AC 【解析】利用奇偶性定义即可判断A正确；利用复合函数的单调性即值域的求法判断B错误C正确D错误即可. 【详解】由题知，的定义域为，且，所以为偶函数，所以函数图像关于y轴对称，故A正确； 函数由和复合而成的，令，当时，为增函数，当时，为减函数；当，函数为增函数，由复合函数的单调性可知在上为减函数，在上为增函数，故B错误； 时是对勾函数 ，当时取最小值2，而，即是偶函数，故由偶函数性质知，当且仅当时取等号，又时，函数为减函数，故函数，有最大值，故C正确； 当时，值域为；同理当时，函数为减函数，故函数，有最小值，值域为，故D错误. 故选：AC. 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）知函数满足，则关于函数正确的说法是（    ） A．的定义域为 B．值域为，且 C．在单调递减 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】求出解析式，根据函数解析式逐一判断即可. 【详解】由于，故（且）， 所以的定义域为且，故A不正确； 作出其图象，由图象知：由于，故值域为，且； 在单调递减；的解集为. 故选：BCD 5．（22-23高一上·福建南平·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】复合函数满足同增异减，先对函数进行化简，要考虑函数定义域，再求里层函数的减区间取交集即可得到答案. 【详解】或，故函数的定义域为，令，则函数，以为底的对数函数单调递减，函数为复合函数满足同增异减，求函数整体的增区间等价于求的减区间，在单调递减，则. 故答案为：.     6．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【解析】本题首先通过求解得出函数的定义域，然后通过函数以及函数的单调性即可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数， 所以，即，解得或， 故函数的定义域为， 因为函数是增函数，函数在上是增函数，上是减函数， 所以函数在上是增函数， 故答案为：. 7．（23-24高一上·福建莆田·期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】， 令， 所以在单调递增；在上单调递减. 又为增函数， 根据复合函数的单调性可得的单调递减区间为. 故答案为： 根据函数的单调性解不等式 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义域为的函数满足对于任意，，，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变为，结合构造函数，即可判断的单调性，由此将不等式可化为，结合函数单调性，即可得答案. 【详解】由题意知对于任意，，，不妨设，则， 由得，即， 结合得，即， 设，则该函数在上单调递增，且， 则即，即， 故，即不等式的解集为， 故选：C 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知定义在上的增函数满足：且对于，，都有成立． (1)求的值，并解方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用赋值法及函数的单调性解方程即可； （2）根据条件先推出，再由对勾函数的性质分参求范围即可. 【详解】（1）令，则， 又因为在R上递增， 所以； （2）由题意可知：， 即，所以在恒成立， 由对勾函数的性质可知时，单调递增， 所以， 即实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·福建·期中）已知函数． (1)求的值； (2)用定义证明函数在上为增函数； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1））先求的值，再求的值即可；（2）利用定义法证明函数的单调性即可；（3）根据题意，由（2）中的结论，根据函数的单调性列出不等式，求解即可得到结果. 【详解】（1）， （2）证明：任取，且, 在上为增函数. （3）若，则 由（2）知，在上为增函数 ，， 则实数的取值范围是. 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数. (1)若. （i）求不等式的解集； （ii）若对任意的，，求实数的取值范围； (2)若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）(2) 【分析】（1）（i）判断函数的单调性，结合，利用单调性可求得结果； （ii）分别在和的情况下将不等式化为和，采用分离变量的方式，结合函数最值可求得结果； （2）将恒成立的不等式化为，由此可求得；由绝对值不等式的求法可进一步将不等式化为，分别在和的情况下，结合函数最值构造不等式求得结果. 【详解】（1）当时，； （i）由二次函数性质知：在上单调递增， ，由得：，即不等式的解集为. （ii）①当时，， 则由得：， 又在上单调递增，，； 当时，不成立； 当时，，与矛盾，不合题意； 当时，恒成立，又， 不存在满足题意的； ②当时，， 则由得：， 又在上单调递增，，， ，，； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由得：； 当时，恒成立，， 又在上单调递减，，解得：； 由得：，， ①当时，，， 存在实数，满足，， 解得：，； ②当时，，， 存在实数，满足，，解得：或， ； 综上所述：实数的取值范围为. 6．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数在为奇函数，且 (1)求值； (2)判断函数在的单调性，并用定义证明； (3)解关于t的不等式 【答案】(1)(2)函数在为单调递减，证明见解析(3) 【分析】（1）根据可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值； （2）由（1）由此可得出函数的解析式，可判断是奇函数，判断出函数在上是减函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立； （3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）在为奇函数，，解得：，       又，解得：， 故，经检验满足题设. （2）当时，，      当时函数在为奇函数， 由，判断函数在为单调递减， 证明：， ， ， ，，     ，函数在为单调递减， （3）则， 在为奇函数，， 又函数在为单调递减， t的不等式的解集为 比较函数值的大小关系 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，且对定义域上的任意有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意明确函数的单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】令x＝1，y＝0可得f（1）＝f（1）f（0） ∵f（1）＞1，∴f（0）＝1 当x＜0时，f（x﹣x）＝f（0）＝f（x）f（﹣x）＝1 ﹣x＞0，f（﹣x）＞1，∴ ∴x∈R时，f（x）＞0 任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）f（x2）﹣f（x2）＝f（x2）[f（x1﹣x2）﹣1] ∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0 ∵x＜0时，f（x）＜1，∴f（x1﹣x2）﹣1＜0 ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2） ∴f（x）是定义域上的增函数； 又 ∴ 故选C 2．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知x0是函数f（x）=lnx-（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）则（　　） A．, B．, C．, D．, 【答案】A 【分析】先确定f（x）的单调性，从而求解． 【详解】∵f（x）＝lnx（x＞0），y= lnx与y=在x＞0上都是增函数， ∴f（x）单调递增． ∵已知x0是函数f（x）＝lnx（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）， ∴f（x1）＜0，f（x2）＞0． 故选A． 3．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）已知函数，,都有成立，且任取，，以下结论中正确的是（ ） A． B． C． D．若则 【答案】AB 【分析】由函数，,都有成立，且任取，，则函数的图像关于直线对称，在为增函数，在为减函数，再逐一判断各选项即可得解. 【详解】解：由函数满足，则函数的图像关于直线对称，又，，则函数在为减函数， 对于选项A，因为，所以，即A正确； 对于选项B，由已知有在为增函数，在为减函数，即，即B正确； 对于选项C，，又在为减函数，所以，即C错误； 对于选项D，当则，则或，即D错误， 即结论正确的是AB， 故选AB. 4．（22-23高一上·福建厦门·期中）定义在区间上的函数满足：，时，若，，，则 ，三个实数a，b，c最大的为 ． 【答案】 0 【分析】令，可求出， 设，推导出，结合时，，得到， 从而在上单调递增，取，则，由， 结合函数的单调性得到，求出b最大. 【详解】令得：，解得：，故， 设，且满足，则， 所以，因为，所以， 因为，所以，综上：， 因为时，，故， 即，， 故函数在上单调递增， 因为， 取，则， 则， 因为， 所以，即，三个实数a，b，c最大的为. 故答案为：；. 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，，在函数的值域上任取三个数，都存在以这三个数为边长的三角形，求实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先判断在上的单调区间，再根据三角形两边之和大于第三边得到，然后结合对进行分类讨论，在对应情况下解关于的不等式 即可得到的取值范围. 【详解】在上任取，则，， ， 当时，则，，， ，在上单调递减； 当时，则，，， ，在上单调递增； 的值域上任取三个数，都存在以这三个数为边长的三角形，， ①、当即时，在上单调递减，， ，，，； ②、当即时，在上单调递增，， ，， ，，； ③、当即时， 在上单调递减，在上单调递增， ，. ⑴、当即时，， ， ，，符合题意； ⑵、当即时，则， ， ，， ， ，，， 又，； ⑶、当即时，则，， ，，， ，，， ，且，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 根据函数的单调性求参数值 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据单调性求得的范围，然后根据充分性和必要性的定义选择答案. 【详解】二次函数在区间上单调递增, 则对称轴， 得， 根据选项可得是二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件 故选：C. 2．（23-24高一上·福建·期中）已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在R上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数， 函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数在上具有单调性，实数的值可以是（    ） A．40 B．60 C．80 D．160 【答案】AD 【分析】根据二次函数的单调性得到不等式，解出即可. 【详解】函数为二次函数，对称轴为直线. 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减. 综上可知：k的取值范围为或，则AD符合，BC错误； 故选：AD. 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）函数在上是单调函数，则实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出二次函数的对称轴，即可得到或，从而求出的取值范围，即可判断. 【详解】函数开口向上，对称轴为， 因为函数在上是单调函数， 所以或，解得或. 故选：ABD 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象过点，且. (1)求的解析式； (2)已知，，求函数在上的最小值； (3)若，若函数在上是单调函数，写出正实数的取值范围（不用写过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴得到，代入点坐标计算得到答案. （2）确定函数解析式，画出函数图像，再考虑，，三种情况，计算最值得到答案. （3）确定函数解析式，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】（1），所以函数关于对称，则，所以， 又，即，所以， 所以； （2）， 即，由， 当时，令，即，解得（舍去）， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述； （3）， 画出函数图像，如图所示： 函数在上是单调函数，根据图像知：，即，故. 6．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知定义在上的增函数满足：且对于，，都有成立． (1)求的值，并解方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用赋值法及函数的单调性解方程即可； （2）根据条件先推出，再由对勾函数的性质分参求范围即可. 【详解】（1）令，则， 又因为在R上递增， 所以； （2）由题意可知：， 即，所以在恒成立， 由对勾函数的性质可知时，单调递增， 所以， 即实数的取值范围为. 利用函数单调性求最值或值域 1．（23-24高一上·福建福州·期中）关于函数的结论，下列说法正确的有（    ） A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 【答案】BC 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得的单调区间，进而求得的最值. 【详解】由，得， 解得，所以的定义域是， 函数的开口向下，对称轴为， 根据复合函数单调性同增异减可知， 的单调减区间是，A选项错误. 的增区间是，B选项正确. 所以的最大值是，C选项正确. 的最小值是，D选项错误. 故选：BC 2．（23-24高一上·福建南平·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”为真命题 C．函数 的最小值为 D．集合的真子集有8个 【答案】AB 【分析】利用充分不必要条件的定义判断A；利用全称量词命题的真假判断B；利用对勾函数单调性求出最小值判断C；求出集合的真子集个数判断D. 【详解】对于A，命题“若，则”是真命题；而当时，或， 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，令，，函数在上单调递增， 因此当，即时，C错误； 对于D，集合的真子集个数是，D错误. 故选：AB 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”．已知圆周率，定义函数，下列有关函数的结论中，正确的是（    ） A．方程的最小解为32 B．，都有 C．当时，的最小值为7 D．若，函数为常数函数，则的最小值为8 【答案】AC 【分析】根据的数据判断A，利用特殊值判断B，分析的取值，再结合对勾函数的性质判断C，分析出，再一一列举即可判断D. 【详解】因为且 ， 所以函数的值域为， 对于A：由， 可知方程的最小解为，故A正确； 对于B：当时，，所以，故B错误； 对于C：因为，所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时取得最小值，故C正确； 对于D：因为，，，，，，，，，， 要使函数为常数函数，则， 对于任意的（），则， 又，，， ，，， ，， ，， 所以的最小值为，故D错误； 故选：AC 4．（22-23高一上·福建福州·期中）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ） A．若为的跟随区间，则b=1 B．函数存在跟随区间 C．若函数存在跟随区间，则 D．二次函数存在“2倍跟随区间” 【答案】ACD 【分析】根据函数“跟随区间”的定义，结合选项中每个函数的单调性和自变量的取值范围，可列出相应的方程组，如果解得存在区间符合题意，则判断该选项正确，如果解得方程的解不符合题意，可判断该选项错误. 【详解】对于A,由题意可知，为的单调递区间，函数值域为， 若为的跟随区间，则，则或 （舍去），A正确； 对于B：函数中x的取值范围为 ， 若存在跟随区间（ ），则必有或， 又因为函数在区间上递减， 则有 ，即得 ，不合题意，B错误； 对于C,由已知函数可得，函数在上单调递减， 若存在跟随区间（ ）， 则有,即,两式作差得：， 即， 又，所以，故， 所以，设，则 ， 即是的一个根； 同理也是的一个根， 即在区间上有两个不相等的实数根， 只需： ，解得 ，C正确； 对于D，若函数存在2倍跟随区间， 设定义域为 ，值域为， 当 时，函数在定义域上单调递增，则， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或 ， 故存在定义域为 使得值域为 ，D正确， 故选： ． 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数 (1)写出的单调区间、值域以及图象的对称中心坐标 (2)判断在区间上的单调性并利用定义证明；写出在该区间上的最大、小值 【答案】(1)答案见解析 (2)单调递减，证明见解析，，. 【分析】（1）将函数解析式变形为，根据函数的平移变换及反比例函数的性质判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，由单调性求出函数的最值. 【详解】（1）因为， 所以的图象可以由向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为的单调递减区间为，，无单调递增区间， 值域为，对称中心为， 所以的单调递减区间为，，无单调递增区间， 值域为，对称中心为. （2）在区间上的单调递减， 设任意的且， 则 ， 因为且，所以，，， 所以，即，所以在区间上的单调递减， 所以，. 6．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，且． (1)求的值，并证明：在区间上单调递减； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1),证明见解析.(2) 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明； （2）利用函数的单调性求出最大值，进而可得，解分数不等式求解. 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以， 证明如下： ， ， 因为，所以，即， 所以在区间上单调递减. （2）由（1）知，在区间上单调递减. 所以， 因为对恒成立，所以， 即，即，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 7．（23-24高一上·福建南平·期中）设函数． (1)若命题：，是假命题，求m的取值范围； (2)若对于，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据特称命题为假命题，可得在上恒成立，讨论m是否为0，综合可得答案； （2）将对于，恒成立，分离参数，转化为在上恒成立，结合函数的单调性求得其最小值，即可得答案. 【详解】（1）若命题：，是假命题，则，是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若对于，恒成立， 即在上恒成立， 则在上恒成立， 故只需，即可， 由于数在上递减，在上递增， 故函数在上递增，上递减，，， 则，所以，故. 根据函数的最值求参数 1．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分，与三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，，在上单调递增，无最小值，舍去； 当时，由于，故， 令，则， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 要想在上存在最小值，则，解得，满足； 当时，在上单调递增， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 要想在上存在最小值，则， 解得，满足； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 2．（23-24高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减，证明见解析(2) 【分析】（1）借助对勾函数判断函数单调性，并根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （2）由（1）结论，确定，的取值范围，借助的解可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，（当且仅当时取得最大值） 函数在单调递增，在上单调递减，理由如下： ，且，则 ． 当时，，， 又，， 所以即， 所以在上单调递增， 当时，， 又，， 所以即， 所以在上单调递减， （2）因为在上的值域为， 所以由（1）知， 令，即，解得或， 当时，，则有， 当时，，则有， 综上所述，的取值范围为. 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知幂函数． (1)若函数，是否存在实数使得的最小值为5？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若函数，是否存在实数，使函数在上的取值范围为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用基本不等式，结合对勾函数的性质即可得解； （2）由题意得，进而转化得，利用换元法，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 结合对勾函数的性质，可知在上单调递减，在上单调递增， 假设存在实数使得的最小值为5，又， 当时，在单调递增，则，得； 当时，，解得，满足题意； 当时，在单调递减，则，得； 综上，. （2），则在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②①得：，又， 所以， 即③． 将③代入②得：． 令，因为，，所以． 所以，在区间单调递减， 所以， 故存在实数，使函数在上的值域为， 此时实数的取值范围且为． 5．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知定义在区间上的函数． (1)若函数分别在区间上单调，试求的取值范围；（直接写出答案） (2)当时，在区间上是否存在实数，使得函数在区间上单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当,,时，；当,,，． 【分析】（1）根据函数的单调性和最值，得到要使函数分别在区间，上单调，则只需，求其最小值后，由其最小值大于等于0得答案； （2）讨论当,,时，求解，，由，转化求解推出 的范围；当,,，，推出，然后转化求解的范围即可． 【详解】（1）， ，当且仅当时取得等号，且在上单调递减，在上单调递增， 要使函数分别在区间，上单调，则只需即可， 即，解得； （2）①当,,时，， ，， 由得，， 即，， 由,，解得， 由,，， ，，， 由，可得． ②当,,，， 由，可得， 再由，得， 把代入得， ，且，，， 综上，当,,时，；当,,，． 6．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数． (1)讨论函数在上的单调性，并用定义加以证明： (2)若函数在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减；时，单调递增(2) 【分析】（1）结合基本不等式和对勾函数性质可直接判断单调性，由定义证明即可； （2）由函数的单调性分段讨论即可求解. 【详解】（1）由，当且仅当时取等号，故可判断在单减，上单增； 证明如下：设，， 则， 当时，，故，，函数为减函数； 当时，，故，，函数为增函数； （2），当时，单减；时，单增， 故令，解得或4， 故当时，，，； 当时，，，； 综上 解决函数不等式恒成立（能成立）问题 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）若对任意恒成立，其中a，b为整数，则不可能取值（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-17 【答案】A 【分析】当时明显不恒成立，当时，设，作出符合条件的的图像，根据图像列式计算即可. 【详解】当时，由可得对任意恒成立， 明显当时不成立； 当时，由对任意恒成立， 设，作出的图像如下： ， 由图可知，又a，b为整数， 或或， 由此可能的取值为或或， 故选：A. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数设若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，令，作出函数的图象，当的图象与的图象相切时求得，若使得不等式在R上恒成立，需满足、，即可求解. 【详解】由题意知，令，函数的图象如图所示，    当函数的图象经过点时，得. 当的图象与的图象相切时， 由，得，结合图形，由得. 若不等式在R上恒成立， 当时，需满足，即， 当时，需满足，即， 所以， 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）若非零函数对任意x，y均有，且当时，. (1)求，并证明； (2)求证：为上的减函数； (3)当时，对时恒有，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析(2)证明见解析(3)或或 【分析】（1）取可得，取，计算时的即可； （2）任取，通过计算的符号来证明； （3）先求出，再利用函数单调性去掉不等式中的，得到关于的一次不等式恒成立问题，直接根据范围的端点处成立来列不等式求解即可. 【详解】（1）取得，又， ， 取得， 当时，，，， 综合得； （2）任取，， 则， 由得，，， ， 为上的减函数； （3）取得，， ， 又由（2）为上的减函数得， 即对时恒有， ，解得或或. 所以或或 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)是上的单调递减函数，证明见解析(3) 【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得； （2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可； （3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得. 【详解】（1）取， 则，于是， 令， 则， 又，则； （2）是上的单调递减函数． 证明： 任取， 则， 由于当时，，易知，则， 故， 可得是上的单调递减函数． （3）不等式可化为， 也即， 令 于是，都有恒成立， 由于为上的单减函数，则， 都有恒成立， 即成立，即恒成立； 令，它是关于的一次函数， 故只需，解得． 即， 解得 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）设，函数. (1)若，求的单调区间； (2)若函数的图象关于原点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为和(2) 【分析】（1）根据分段函数的解析式直接判断单调性； （2）根据函数的图象关于原点对称，可得，进而确定分段函数解析式，分离参数，可得参数范围. 【详解】（1）当时，， 当时，函数单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为和； （2）由函数的图象关于原点对称，且，， 得，即， 所以，， 所以恒成立，即恒成立， 又时，恒成立， 则对恒成立， 当时，，恒成立， 又时，函数， 所以， 当时，，恒成立， 又时，函数，， 所以， 综上所述，. 6．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，. (1)，用表示、中的最小者，记为，请用解析法表示函数； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）比较、的大小，可得出的表达式； （2）求出函数、在区间上的最大值，由题意可知，，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）解：， 当时，即当或时，，此时，； 当时，即当时，，此时，. 综上所述，. （2）解：为二次函数，在上是减函数，在上是增函数， 所以当时，且，，则， 由于在上是增函数，所以当时，， 由于，，使得， 所以，所以，即， 所以实数的取值范围为. 7．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数满足． (1)求不等式的解集； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）依题意可得，再解方程组求出，最后再解不等式即可； （2）参变分离可得，恒成立，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 则， 所以，解得， 则不等式，即，解得，即不等式的解集为. （2）因为， 即，所以，恒成立， 又，所以，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即的取值范围为. 8．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数. (1)若. （i）求不等式的解集； （ii）若对任意的，，求实数的取值范围； (2)若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）(2) 【分析】（1）（i）判断函数的单调性，结合，利用单调性可求得结果； （ii）分别在和的情况下将不等式化为和，采用分离变量的方式，结合函数最值可求得结果； （2）将恒成立的不等式化为，由此可求得；由绝对值不等式的求法可进一步将不等式化为，分别在和的情况下，结合函数最值构造不等式求得结果. 【详解】（1）当时，； （i）由二次函数性质知：在上单调递增， ，由得：，即不等式的解集为. （ii）①当时，， 则由得：， 又在上单调递增，，； 当时，不成立； 当时，，与矛盾，不合题意； 当时，恒成立，又， 不存在满足题意的； ②当时，， 则由得：， 又在上单调递增，，， ，，； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由得：； 当时，恒成立，， 又在上单调递减，，解得：； 由得：，， ①当时，，， 存在实数，满足，， 解得：，； ②当时，，， 存在实数，满足，，解得：或， ； 综上所述：实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$