第一章　勾股定理 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　探索勾股定理 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(　 　) A．a2＋b2＝c2 B．若△ABC是直角三角形，则a2＋b2＝c2 C．若∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若∠C＝90°，则a2＋b2＝c2 1 勾股定理的初步认识及简单应用 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长为(　 　) A．5 B．6 C．7 D．25 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 3. 沪科八下教材P57T5改编从电线杆离地面8 m处拉一根长为10 m的缆绳，则这条缆绳在地面的固定点到电线杆底部的距离为(　 　) A．2 m B．4 m C．6 m D．8 m 4．若一个直角三角形两直角边的比为5∶12，斜边长为39，则此直角三角形的周长为________. C 90 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 5．如图，在△ABC中，AE⊥BC，垂足为E，AB＝15，BE＝9，CE＝5，求AC的长． 解：因为AE2＝AB2－BE2＝144， 所以AE＝12， 所以AC2＝AE2＋CE2＝169， 所以AC＝13. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DBC＝90°.若AD＝4 cm，AB＝3 cm，DC＝13 cm，求BC的长． 解：因为∠BAD＝∠DBC＝90°，所以△ADB，△BDC均是直角三角形．由题意，得AD＝4 cm，AB＝3 cm，DC＝13 cm.在Rt△ABD中，BD2＝AD2＋AB2＝25. 在Rt△BDC中，BC2＝DC2－BD2＝132－25＝144， 所以BC＝12 cm. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 7．如图，分别以直角三角形的三边分别向外作正方形，则正方形B的面积是__________，正方形B的边长是________. 2 利用勾股定理求面积 144 12 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 8．如图，点E在正方形ABCD内．若∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积为________. 76 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 9．如果一直角三角形的三边长分别为2,3，x，那么以x为边长的正方形的面积为(　 　) A．13 B．5 C．13或5 D．4 10．已知一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为(　 　) A．6 B．8 C．10 D．12 C C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 11. 新考法对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若AD＝5，BC＝12，则AB2＋CD2＝__________. 169 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC的中点，MN⊥AC于点N. (1)求△ABC的面积． (2)求MN的长． 解：(1)如图，连接AM，则AM⊥BC(三线合一)．在Rt△ACM中，可求AM＝4，所以S△ABC＝12. (2)在Rt△ACM中， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，AC＝6，BC＝8，求△ABD的面积． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，易证 Rt△ACD≌Rt△AED， 则AC＝AE＝6. 易求AB＝10，BE＝4. 设CD＝DE＝x， 在Rt△BDE中，x2＋42＝(8－x)2， 解得x＝3，所以CD＝DE＝3， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 14．核心素养·几何直观如图，以直角三角形三边为边，分别向外作正方形、半圆和等腰直角三角形，则上述三种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有______个，请在图2，图3中选一图予以说明． 3 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 S△AMC＝·MN·AC＝·AM·MC， 则×MN×5＝×3×4，所以MN＝. 所以S△ABD＝AB·DE＝×10×3＝15. 解：图2中，S1＋S2＝π2＋π2＝π(a2＋b2)＝πc2. 又因为S3＝π2＝πc2，所以S1＋S2＝S3. 图3中，S1＋S2＝·a·a＋·b·b＝(a2＋b2)＝c2. 又因为S3＝·c·c＝c2，所以S1＋S2＝S3. $$第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第2课时　验证勾股定理 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．数学文化 观察“赵爽弦图”(如图)，若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b(a>b)，斜边为c，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式(　 　) 1 勾股定理的验证 A．a(a－b)＝a2－ab B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．(a－b)2＝c2－2ab D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等三角形的两边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是(　 　) A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．核心素养·创新意识 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形按如图所示摆放时，可以用“面积法”来验证a2＋b2＝c2.你能说明其中的道理吗？请试一试(提示：结合图中所作辅助线利用面积相等验证)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．如图，为了测量湖两岸A，B两点之间的距离，观测者从测点A，B分别测得∠BAC＝90°，又量得AC＝9 m，BC＝ 15 m，则A，B两点之间的距离为(　 　) 2 勾股定理的简单应用 A．10 m B．11 m C．12 m D．13 m C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．(2023·东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为________km. 6．王大爷离家出门散步，他先向正北走了6 m，接着又向正东走了8 m，此时他离家的距离是________m. 50 10 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 7. 人教八下教材P38T4改编 如图，要修建一个育苗棚，棚高h＝1.8 m，棚宽a＝2.4 m，棚宽的长d＝12 m．现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝h2＋a2＝1.82＋2.42＝9，所以AB＝3，即直角三角形的斜边长AB＝3 m，所以矩形塑料薄膜的面积为3×12＝36(m2)． 答：需要36 m2塑料薄膜． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 8. 新情景 某市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30 m的C处，2 s后又行驶到与车速检测点A相距50 m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：由题意，得AB＝50 m，AC＝30 m. 在Rt△ABC中， AB2＝AC2＋BC2， 所以BC2＝AB2－AC2＝502－302＝402，所以BC＝40 m， 所以这辆小汽车超速了，超速了12 km/h. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 9．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是(　 　) A．121 B．144 C．169 D．196 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 10．如图，长12 cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B.若把中点C竖直向上拉升4.5 cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为(　 　) A．20 cm B．18 cm C．16 cm D．15 cm D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 11．教材P18T11改编 如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，梯底距墙底端0.7 m．若梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：在Rt△AOB中，AO2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝2.42， 所以AO＝2.4 m， 所以CO＝AO－AC＝2.4－0.4＝2(m)． 在Rt△COD中，OD2＝CD2－CO2＝2.52－22＝1.52， 所以OD＝1.5 m，所以BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(m)． 因此，梯子的底端将滑出0.8 m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上的一点，且AE＝BC，过点A作AD⊥AC，垂足为点A，且AD＝AC，AB，DE相交于点F. (1)判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)连接BD，BE，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)AB＝DE，AB⊥DE.理由如下： 因为AD⊥AC，所以∠DAE＝∠ACB＝90°. 在△ABC和△DEA中， 所以△ABC≌△DEA (SAS)， 所以AB＝DE，∠3＝∠1. 因为∠DAE＝90°，所以∠1＋∠2＝90°， 所以∠3＋∠2＝90°， 所以∠AFD＝90°，所以AB⊥DE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：图形的总面积可以表示为c2＋2×ab＝c2＋ab，也可表示为a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab，所以c2＋ab＝a2＋b2＋ab，即a2＋b2＝c2. 所以小汽车的速度为＝20(m/s)＝72 km/h>60 km/h， (2)因为S四边形ADBE＝S△ADE＋S△BDE＝DE·AF＋DE·BF＝DE·AB＝c2， S四边形ADBE＝S△ABE＋S△ABD＝a2＋b2， 所以a2＋b2＝c2，所以a2＋b2＝c2. $$第一章　勾股定理 2　一定是直角三角形吗 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．下列各组数中，可作为三边长构成直角三角形的是(　 　) A．1,2,3 B．2,3,4 C．2,4,5 D．3,4,5 1 勾股定理的逆定理 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则下列结论中正确的是(　 　) A．△ABC是直角三角形，且∠A＝90° B．△ABC是直角三角形，且∠B＝90° C．△ABC是直角三角形，且∠C＝90° D．△ABC不是直角三角形 3．在△ABC中，AB2＝2，AC＝BC＝1，则∠C的度数是__________. B 90° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．如图，以△ABC的三边为边长分别向外作正方形，正方形的面积分别记为S1，S2，S3.若S1＋S2＝S3，则△ABC的形状是______________. 直角三角形 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：小明的做法不正确．理由如下： 所以由a，b，c组成的三角形是直角三角形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．如图，正方形网格中的△ABC，若正方形网格的边长为1个单位长度，求∠A＋∠B的度数． 解：因为正方形网格的边长为1个单位长度， 所以BC2＝42＋42＝32，AC2＝32＋32＝18，AB2＝12＋72＝50. 在△ABC中，因为BC2＋AC2＝32＋18＝50，AB2＝50， 所以BC2＋AC2＝AB2， 所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝90°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 7．下列各组数中，为勾股数的是(　 　) 2 勾股数 C．9,12,15 D．0.3,0.4,0.5 8．若a，b，c是一组勾股数，则以3a,3b,3c为三边长的三角形是________(选填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形． C 直角 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 9．若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是(　 　) A．120 B．144 C．196 D．60 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 10．教材P14T2改编 五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是(　 　) C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，则∠DAB的度数是____________. 12．如图，在△ABC中，CA＝CB，D是AC上的一点，且AD＝5，BD＝12，AB＝13，则BC的长为____________. 135° 16.9 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 13．如图是一块木板，已知AB＝4 m，BC＝3 m，DC＝12 m，AD＝13 m，∠B＝90°，求木板的面积． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：如图，连接AC.因为∠B＝90°，所以△ABC为直角三角形． 根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝25，所以AC＝5(m)． 在△ADC中，AD＝13，DC＝12，AC＝5， 所以AC2＋DC2＝AD2， 所以∠DCA＝90°， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 证明：如图，连接AF.设CF＝x， 则DF＝3x，BE＝CE＝2x， 所以EF2＝5x2，AE2＝20x2， AF2＝25x2， 所以AE2＋EF2＝AF2， 所以∠AEF＝90°， 所以AE⊥EF. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M，N是BC上两点，且∠MAN＝45°. (1)画出△AMN关于直线AN对称的△AM′N. (2)试探究：以线段BM，MN，CN的长为三边长的三角形是何种三角形？ (3)若BM＝3，CN＝4，求AM2的值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)如图，过点A作AM′⊥AM，且AM′＝AM，连接M′N，则△AMN与△AM′N关于直线AN对称． (2)易证△ABM≌△ACM′(SAS)，所以BM＝CM′，∠ACM′＝∠B＝45°，所以∠NCM′＝90°， 所以BM2＋CN2＝CM′2＋CN2＝M′N2＝MN2， 所以以线段BM，MN，CN的长为三边长的三角形是直角三角形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (3)方法1：如图，过点A作AE⊥BC于点E，则AE＝BE＝CE.因为NM′＝5＝MN，所以BC＝12，AE＝BE＝6，所以ME＝3，所以AM2＝AE2＋ME2＝45. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．核心素养·推理能力在解答“判断由长，2，的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：设a＝，b＝2，c＝，因为a2＋b2＝2＋22＝≠c2，所以由a，b，c组成的三角形不是直角三角形．你认为小明的解答正确吗？请说明理由． <<2，b＝2可能是直角三角形的斜边． 因为a2＋c2＝2＋2＝22＝b2， A．4,5,6 B．，，1 则S木板＝S△ADC－S△ABC＝×5×12－×3×4＝24(m2)． 14．教材P10练习2改编如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，且CF＝CD.求证：AE⊥EF. 方法2：易求M′M2＝MC2＋M′C2＝92＋32＝90，所以AM2＝M′M2＝45. $$第一章　勾股定理 3　勾股定理的应用 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．如图，一圆柱高6 cm，底面周长为16 cm，一只壁虎从点A爬到点B到处吃食，要爬行的最短路程是(　 　) A．20 cm B．14 cm C．10 cm D．无法确定 1 确定几何体上两点之间的最短路线 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似看作一个长方体的两个侧面，如图所示．他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径值的平方为__________. 128 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．如图，一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程的平方为________. 20 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．如图，地面上一块砖宽AN＝5 cm，长ND＝10 cm，CD上的点B距地面BD＝8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短距离是多少？ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：如图是长方体的侧面展开图，线段AB是蚂蚁爬行的最短路径．由题意，得AD＝AN＋ND＝5＋10＝15(cm)．因为BD＝8 cm， 所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD 2＝152＋82＝289， 所以AB＝17 cm.因此，需要爬行的最短距离是17 cm. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．若梯子的底端离建筑物5 m，则13 m长的梯子可以达到建筑物的高度是(　 　) A．12 m B．13 m C．14 m D．15 m 2 勾股定理的实际应用 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行(　 　) A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 7．由于台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断(如图)，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前(不包括树根)的高度是________m. 8．如图，一段楼梯高BC是3 m，斜边AC长5 m，在楼梯上铺地毯，则地毯至少长______m. 16 7 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 9．新考法 小明为了测得风筝的垂直高度CE(如图)，进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为8 m； ②根据手中剩余线的长度计算出放出去的风筝线BC的长为 17 m； ③牵线放风筝的小明的身高为1.5 m. (1)求风筝的垂直高度CE. (2)小明位置不动，若想让风筝沿CD方向下降 9 m，他应该往回收线多少米？ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)在Rt△CDB中， 由勾股定理，得CD2＝BC2－BD2＝172－82＝225，所以CD＝15， 所以CE＝CD＋DE＝15＋1.5＝16.5(m)， 答：风筝的垂直高度CE为16.5 m. (2)由题意，得CM＝9，所以DM＝6， 所以BM2＝DM2＋BD2＝62＋82＝100，所以BM＝10 m， 所以BC－BM＝17－10＝7(m)． 所以他应该往回收线7 m. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 10．核心素养·模型观念 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．若梯子底端的位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5 m，则小巷的宽度为(　 　) A．2.7 m B．2.5 m C．2 m D．1.8 m A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 11．新情景 如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点．已知圆柱底面周长是 3 m，高为5 m，则至少需要彩带________m. 13 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 12．教材P15T4改编 如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C的距离是5 cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种． 沿右侧面和前面走时，如图1. BD＝CD＋BC＝10＋5＝15，AD＝20. 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2＝152＋202＝625. 沿右侧面和上底面走时，如图2. BD＝CD＋BC＝20＋5＝25，AD＝10. 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2＝252＋102＝725. 沿后侧面和上底面走时，如图3. AC＝AD＋CD＝20＋10＝30，BC＝5. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝302＋52＝925. 因为625<725<925，当AB2＝625时，AB＝25， 所以蚂蚁需要爬行的最短路程是25 cm. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 13．新情景 如图，在公路L的同侧有两个居民点A，B，居民点A，B到公路的距离分别为AC＝2 km和BD＝7 km，且两个居民点A，B相距13 km. (1)要在公路边修一个污水处理站P来收集处理居民点A，B的污水，污水处理站P修在什么地方到居民点A，B所用的水管最短，请你在图中设计出污水处理站P的位置．(保留作图痕迹，不用证明) (2)若铺设水管的工程费用为2万元/km，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)如图所示，点P即为所求． (2)如图，过点A′作A′E⊥BD，交BD的延长线于点E. 根据作图性质，易得DE＝A′C＝AC＝2 km， A′E＝CD＝12 km. 在Rt△A′EB中，A′B2＝A′E2＋BE2＝122＋92＝225，A′B＝15 km， 所以最节省的费用为15×2＝30(万元)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） $$第一章　勾股定理 ★单元核心考点归纳 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3.若S1＝5，AB＝4，则S2 的值是(　 　) 1 勾股定理及其验证 A．6 B．8 C．11 D．24 C 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　 　) A．5 B．6 C．8 D．10 C 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则边BC上的高是______cm. 4．(2023·扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为________. 8 96 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，AD＝15，且AD⊥AC，求BD的长． 解：因为AD⊥AC，AC＝20，AD＝15， 所以CD2＝202＋152＝625， CD＝25， 所以BD＝BC－CD＝32－25＝7. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．下列各组3个整数是勾股数的是(　 　) A．4,5,6 B．6,8,9 C．13,14,15 D．8,15,17 7．已知三角形的三边长a，b，c满足(a－3)2＋|b－c－1|＋(c－4)2＝0，则这个三角形是(　 　) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2 直角三角形的判定 D C 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 8．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的三条线段是(　 　) A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF B 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 9．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8 cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6 cm,10 min之后两只小鼹鼠相距(　 　) A．100 cm B．50 cm C．140 cm D．80 cm 3 勾股定理的实际应用 A 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 10．新情景 如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地面高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光(　 　) A．4 m B．3 m C．5 m D．7 m A 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 11．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙角 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙角______m. 2 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 12．如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”．他们仅仅少走了______步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草． 8 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 10 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 14．为了积极宣传防疫知识，某社区采用了移动车进行广播．如图，小明家在南街这条笔直公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600 m．假使广播车P周围 1 000 m以内能听到广播宣传，广播车P以400 m/min的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传；若不能，请说明理由． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：小明能听到广播宣传．理由如下： 因为A到公路MN的距离为600 m<1 000 m， 所以小明能听到广播宣传． 如图，假设当广播车行驶到点P开始小明听到广播，行驶到点Q小明听不到广播， 则AP＝AQ＝1 000 m，AB＝600 m， 所以BP2＝BQ2＝1 0002－6002＝8002，BP＝BQ＝800 m， 所以PQ＝1 600 m， 所以小明听到广播的时间为1 600÷400＝4(min)． 答：他总共能够听到4 min的广播宣传． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 13．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝ cm，高BC＝12 cm，P为BC的中点，蚂蚁从点A爬到点P的最短距离是________cm. $$第一章　勾股定理 专题1　【方法技巧】勾股定理与面积问题 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 一、利用勾股定理的意义 1．教材P4T3改编 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝10，SB＝8，SC＝9，SD＝4，则下列判断中错误的是(　 　) A．SE＝18 B．SF＝13 C．SM＝31 D．SM－SE＝17 D 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．数学文化如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt△ABC的斜边BC、直角边AB和AC.若△ABC的面积记为S1，阴影部分的面积记为S2，其余部分的面积记为S3，则下列关系式中正确的是(　 　) A．S1＝S2 B．S2＝S3 A 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 二、巧用乘法公式 3．已知一个直角三角形的周长是12 cm，斜边长是5 cm，则其面积是______cm2. 6 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，求小正方形的边长． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：由题意可知，中间小正方形的边长为a－b. 因为每个直角三角形的面积为 所以4×4＋(a－b)2＝25，所以(a－b)2＝25－16＝9， 所以a－b＝3，故小正方形的边长是3. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 三、巧用面积法 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝5，BC＝12，求CD的长． 解：由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝169， 所以AB＝13. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 四、巧用割补法 6．某中学有一块四边形的空地ABCD(如图)，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝ 3 m，AD＝4 m，CD＝13 m，BC＝12 m. (1)求空地ABCD的面积． (2)若每种植1 m2草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)如图，连接BD. 在Rt△ABD中， BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝52， 在△CBD中， CD2＝132，BC2＝122， 而122＋52＝132，即BC2＋BD2＝CD2， 所以∠DBC＝90°， (2)所需费用为36×200＝7 200(元)． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） C．S2＋S3＝S1 D．S＋S＝S ab＝×8＝4， 因为S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，所以CD＝. 则S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝×3×4＋×5×12＝36(m2)． $$第一章　勾股定理 专题2　【思想方法】勾股定理与方程思想 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 一、实际问题中，根据勾股定理列方程 1．如图，一根垂直于地面的电线杆AC＝16 m，因特殊情况，在点B处折断，顶端C落在地面上的点C′处，测得AC′的长是8 m，求电线杆底端A到折断点B的距离． 解：设电线杆底端A到折断点B的距离为x m，则BC′＝(16－x)m.在Rt△ABC′中，根据勾股定理，得x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6，故电线杆底端A到折断点B的距离为6 m. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 二、作三角形的高，利用“双勾股”列方程 2．如图，在△ABC中，BC＝14，AC＝13，AB＝15，求△ABC的面积． 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.设CD＝x，则BD＝14－x.因为AB2－BD2＝AC2－CD2，所以152－(14－x)2＝132－x2，解得x＝5， CD＝5，所以AD＝12， 所以S△ABC＝84. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，求△ABC的面积． 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.设CD＝x，则BD＝4＋x.因为AC2－CD2＝AB2－BD2，所以132－x2＝152－(4＋x)2， 解得x＝5，所以AD＝12， 所以S△ABC＝24. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 三、两直角三角形共边，利用“双勾股”列方程 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BD＝2，AD＝8，求BC2的值． 解：设BC＝x，AC＝y， 在△ABC中，x2＋y2＝102①. 因为BC2－BD2＝AC2－AD2，所以x2－22＝y2－82，即x2－y2＝22－82②. ①＋②，得x2＝20，所以BC2＝20. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，AD＝13，AB2＝244，求△ABD的面积． 解：设CD＝BD＝x. 在Rt△ACD中， AC2＋x2＝132①. 在Rt△ABC中， AC2＋(2x)2＝244②. 由②－①，得x＝5， 所以AC＝12，所以S△ABD＝30. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 四、根据两直角三角形边的关系，利用“双勾股”列方程 6．如图，某地方政府决定在相距50 km的A，B两站之间的公路旁点E修建一个土特产加工基地，且使C，D两村到点E的距离相等．已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝30 km，CB＝20 km，那么土特产加工基地E应建在离A站多少千米的地方？ 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：设基地E应建在离A站 x km的地方，则BE＝(50－x)km.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得DA2＋AE2＝DE2，即302＋x2＝DE2.在Rt△CBE中，根据勾股定理，得CB2＋BE2＝CE2，即202＋(50－x)2＝CE2.又因为C，D两村到点E的距离相等，所以DE＝CE，所以DE2＝CE2，所以302＋x2＝202＋(50－x)2，解得x＝20. 答：土特产加工基地E应建在离A站20 km的地方． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） $$第一章　勾股定理 专题3　【重点强化】勾股定理与折叠问题 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 【重点强化1】折叠三角形问题中，根据勾股定理列方程 1．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求BN的长． 在Rt△BND中，x2＋32＝(9－x)2， 解得x＝4， 所以BN＝4. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分(阴影部分)的面积． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，进行如下操作，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC＝3，BC＝4，求CD的长． 解：由折叠的性质，可得BD＝AD， 所以在Rt△ACD中，CD2＋AC2＝AD2. 设CD＝x，则AD＝BD＝4－x，即x2＋9＝(4－x)2， 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，求AE的长． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：根据折叠可知，AB＝AD，ED＝EC，∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C. 因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°， 所以∠ADB＋∠EDC＝90°，所以∠ADB＝90°. 设AE＝x.因为AB＝2，AC＝3， 所以AD＝2，CE＝3－x，所以ED＝3－x. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 【重点强化2】折叠长方形问题中，根据勾股定理列方程 5．如图，长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求DE的长． 解：易得到△ABE≌△C′DE，设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. 在Rt△ABE中，42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，所以DE＝5. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．如图，在长方形ABCD中，对角线AC＝10，AB＝6，E为边BC上的一点．将长方形ABCD沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的B′处，求BE的长． 解：设BE＝B′E＝x，则CE＝8－x，B′C＝4.在Rt△B′EC中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，所以BE＝3. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：设BN＝x，则AN＝ND＝9－x，BD＝BC＝3. 解：因为AC2＋BC2＝122＋162＝400＝AB2，所以△ABC为直角三角形．设DC＝x，所以BD＝B′D＝16－x.在Rt△DCB′中，x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6，所以S△ACD＝DC·AC＝×6×12＝36. 解得x＝，即CD＝. 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得22＋(3－x)2＝x2，解得x＝.即AE的长为. $$第一章　勾股定理 专题4　【方法技巧】利用勾股定理求最短路径长 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 类型一　平面上的最短路径 1．如图，某人从A地到B地，若先从A地向北走9 km，又向东走6 km，再向北走3 km，最后向西走1 km，恰好到达B地，则A，B之间的最短路程为________km. 13 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400 m，BD＝200 m，CD＝800 m．牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路径最短？最短路程是多少？ 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点M，则在点M处饮水能使所走的路程最短，最短路程为A′B的长．过点A′作A′H⊥BD交BD的延长线于点H.在Rt△A′HB中，A′H＝CD＝800 m，BH＝BD＋DH＝BD＋AC＝200＋400＝600(m)． 在Rt△A′BH中，由勾股定理，得A′B2＝A′H2＋BH2＝8002＋6002＝1 000 000， 故A′B＝1 000 m，所以最短路程是1 000 m. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 类型二　几何体表面上的最短路径 3．如图，正方体的棱长为2，点B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从点A出发，到达点B，设它运动的最短路程为S，则S2＝________. 17 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．如图，已知一圆柱形油罐的底面圆的周长为12 m，高为5 m．要以点A为底端环绕油罐做一梯子，正好顶端在点A的正上方点B处，则梯子最短需________m. 13 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm. 15 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．如图，台阶阶梯每一层高20 cm，宽40 cm，长50 cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是多少厘米？ 解：如图，因为它的每一级长50 cm，宽40 cm，高20 cm，所以AB2＝502＋[2(20+40)] 2＝16900，所以AB＝130(cm)． 答：一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是130 cm. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） $$第一章　勾股定理 综合与实践　勾股定理在测量中的应用 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘点B离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘点A与点C之间的距离AC为24 cm. (1)求AB的长度． (2)若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时(点D为点B的对应点)，顶部边缘点D离桌面的高度为DE，此时底部边缘点A与点E之间的距离AE为15 cm，求此时电脑顶部边缘上升的高度． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)根据题意，得BC＝7 cm，AC＝24 cm，∠ACB＝90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝242＋72＝625， 所以AB＝25 cm. 答：AB的长度为25 cm. (2)因为AD＝AB＝25 cm，AE＝15 cm，∠AED＝90°， 所以在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2＝AD2－AE2＝252－152＝400， 所以DE＝20 cm， 所以此时电脑顶部边缘上升的高度为20－7＝13(cm)． 答：此时电脑顶部边缘上升的高度为13 cm. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．某大学新建了一个校史馆，其中一个长方形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个长方形展柜(图中展柜1)，计划新建长方形展柜2.李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算FG的长度. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 课题 校史馆展柜设计 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程 及计算 调研内容及图示 相关数据及说明 机器人从出口正中心(即HE的中点)通过时，机器人的边缘距离点H和点E的安全距离都为10 cm 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：如图，延长BE，FH交于点P，连接EH， 则∠HPE＝90°，PB＝AF，PF＝AB＝80 cm， 所以HP＝80－40＝40(cm)． 由题意知，HE＝30＋10×2＝50(cm)． 在Rt△HPE中，PE2＝HE2－HP2＝900，PE＝30 cm. 因为四边形BCDE为长方形， 所以BE＝CD＝60 cm， 所以AF＝PB＝PE＋BE＝90 cm， 所以FG＝AG－AF＝110 cm. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） $$第一章　勾股定理 综合与实践　勾股定理的证明 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 【阅读理解】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形两直角边(即“勾”“股”)边长的平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 【尝试探究】 (1)美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”(如图1)，利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可 以表示为________________或者是_____________，因此得到 ______________________，运用乘法公式展开整理得到a2＋b2＝c2. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (2)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边长为c，请你根据古人的拼图完成证明． (3)如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边长为c，请你帮助完成． 【实践应用】 (4)已知a，b，c为Rt△ABC的三边(c>b>a)，试比较代数式a2c2＋a2b2与c4－b4的大小关系． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 所以a2＋b2＝c2. 所以a2＋b2＝c2. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (4)因为a，b，c为Rt△ABC的三边(c>b>a)，所以c2＝a2＋b2. 因为a2c2＋a2b2＝a2(a2＋b2)＋a2b2＝a4＋2a2b2， c4－b4＝(a2＋b2)2－b4＝a4＋2a2b2＋b4－b4＝a4＋2a2b2， 所以代数式a2c2＋a2b2与c4－b4的大小关系是相等． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (a＋b)2 2×ab＋c2 (a＋b)2＝2×ab＋c2 解：(2)图2中大正方形的面积可表示为(a＋b)2，也可表示为c2＋4×， 即(a＋b)2＝c2＋4×， (3)图3中大正方形的面积可表示为c2，也可表示为(b－a)2＋4×， 即(b－a)2＋4×＝c2， $$