第七章　平行线的证明 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第七章　平行线的证明 1　为什么要证明 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．下列结论中，能肯定的是(　 　) A．今天天晴，明天必然还是晴天 B．三个连续整数的积一定能被6整除 C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖 D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的 1 认识证明的必要性 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．如图，明明在图中先画出两条直线AB，CD，并且使直线AB∥CD，芳芳观察直线AB与CD后，又在AB与CD之间取了一点O，并过点O画了许多条直线，你再来观察，发现直线AB与CD还平行吗？你的结论是：________(选填“平行”或“相交”)． 平行 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．下列问题中，用到推理的是(　 　) A．已知x＝3，y＝3，则x＝y B．观察得到六边形有六个内角 C．老师告诉了我们关于“神舟十三号”的许多奥秘 D．小明和他兄弟看起来一样高 2 推理论证 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．下列推理中正确的是(　 　) A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟明年比今年长大了1岁 B．若a>b，b>c，则a>c C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多 D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．点P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上．若PA＝12 cm，PB＝13 cm，PC＝14 cm，则点P到直线l的距离为(　 　) A．12 cm B．小于12 cm C．不大于12 cm D．13 cm C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人改为图乙的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿(　 　) A．甲需要的材料多 B．乙需要的材料多 C．一样多 D．无法确定 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 7．当n＝0,1,2,3,4,5时，代数式n2－n＋11的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数n，n2－n＋11的值都是质数？ 解：当n＝0时，n2－n＋11＝11；当n＝1时，n2－n＋11＝11；当n＝2时，n2－n＋11＝13；当n＝3时，n2－n＋11＝17；当n＝4时，n2－n＋11＝23；当n＝5时，n2－n＋11＝31.由此可知：当n＝0,1,2,3,4,5时，代数式n2－n＋11的值都是质数． 不能得到结论：对于所有自然数n，n2－n＋11的值都是质数．因为当n＝11时，n2－n＋11的值能被11整除． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） $$第七章　平行线的证明 2　定义与命题 第1课时　定义与命题 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．下列语句中，属于定义的是(　 　) A．直线AB和CD垂直 B．过线段AB的中点C画AB的垂线 C．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 D．同位角相等，两直线平行 2．下列语句中：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④若a>b，b>c，则a>c；⑤直角都相等，其中是命题的是_________(填序号)． 1 定义与命题 C ①④⑤ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设是____________________________，结论是________________________________. 4．把命题“等角的余角相等”写成“如果……那么……”的形式为____________________________________________. 两条直线都与第三条直线平行 这两条直线也互相平行 如果两个角相等，那么它们的余角也相等 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．下列命题中是真命题的是(　 　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a2＝b2，则a＝b C．面积相等的两个三角形全等 D．同角的补角相等 6．下列命题中是假命题的是(　 　) A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点确定一条直线 2 真命题、假命题与反例 D A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 7．下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是(　 　) A．a＝－2 B．a＝－1 C．a＝1 D．a＝2 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 8．下列命题中，是真命题的是(　 　) A．必然事件发生的概率等于0.5 B．5位同学二模的数学成绩是92,95,95,98,110，则他们成绩的平均数是98，众数是95 C．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则乙较甲稳定 D．要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用抽样调查的方法 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 9．能说明命题“若x为无理数，则x2 也是无理数”是假命题的反例是(　 　) 10．说明命题“如果a，b，c是△ABC的三边，那么长为a－1，b－1，c－1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是a＝2，b＝2，c＝____________________. C 3(答案不唯一) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 11．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)一个角的补角大于这个角． (2)已知三条线段a，b，c，如果a＋b>c，那么这三条线段一定能组成三角形． (3)如果∠1与∠2是邻补角，那么∠1＋∠2＝180°. (4)有两角和一边相等的两个三角形全等． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)假命题，反例：150°的补角是30°，显然不大于150°. (2)假命题，反例：a＝10，b＝20，c＝1，显然a＋b>c，但a，b，c三条线段不能组成三角形． (3)真命题． (4)假命题，反例：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝EF，则△ABC和△DEF不全等． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） A．x＝－1 B．x＝＋1 C．x＝3 D．x＝－ $$第七章　平行线的证明 2　定义与命题 第2课时　定理与证明 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．下列命题中，不是公理的是(　 　) A．两点之间线段最短 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．全等三角形的面积相等 D．同位角相等，两直线平行 1 公理与定理的概念 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．关于定理，下列说法中错误的是(　 　) A．定理是真命题 B．定理的正确性不需要证明 C．定理可以作为推理论证的依据 D．定理的正确性需证明 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．在证明过程中，可以用来作为推理依据的是(　 　) A．公理、定义 B．定理、定义、公理 C．公理 D．定理、公理 4．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是(　 　) A．两点之间线段最短 B．边边边公理　　 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 2 证明 B A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．下列说法中错误的是(　 　) A．若∠1＝∠2，则∠1，∠2是对顶角 B．若∠1，∠2都是直角，则∠1＝∠2 C．若∠1＝∠2，则∠1＋∠3＝∠2＋∠3 D．若∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠2 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”是真命题，还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举一反例． 解：真命题． 已知：如图，点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E. 求证：PD＝PE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 证明：∵OP平分∠AOB(已知)， ∴∠AOP＝∠BOP(角平分线的定义)． 又∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的定义)． ∴△POD≌△POE(AAS) ， ∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 7．下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③x＝2是一元一次方程x－2＝0的解；④对顶角相等．其中可以作为定理的有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 8．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是(　 　) A．AC＝DB B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 9．求证：全等三角形对应边上的中线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：(按要求填空，写出证明过程) (1)要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：______________________________________， 结论是：__________________. (2)结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示． 两条线段是全等三角形的对应边的中线 这两条线段相等 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (3)结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，①____________________________，线段AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线． 求证：②__________________. 证明： △ABC≌△A′B′C′ AD＝A′D′ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)两条线段是全等三角形的对应边的中线，这两条线段相等． (3)①△ABC≌△A′B′C′　②AD＝A′D′ 证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)， ∴AB＝A′B′，BC＝B′C′(全等三角形的对应边相等)， ∠B＝∠B′(全等三角形的对应角相等)． ∵AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′中线(已知)， ∴BD＝B′D′. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） ∴△BAD≌△B′A′D′(SAS)，∴AD＝A′D′(全等三角形的对应边相等)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 10．如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一条直线上．有如下三个关系式： ①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF. (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题，书写格式：“如果⊗，⊗，那么⊗”)． (2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)命题1：如果①，②，那么③； 命题2：如果①，③，那么②. (2)命题1的证明： ∵AE∥DF，∴∠A＝∠D. ∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB. ∴△AEC≌△DFB(AAS)， ∴CE＝BF(全等三角形的对应边相等)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 命题2的证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D. ∴△AEC≌△DFB(AAS)， ∴AC＝DB(全等三角形的对应边相等)，则AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD.注：命题“如果②，③，那么①”是假命题． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 在△POD和△POE中， ∴BD＝BC，B′D′＝B′C′′(中线的定义)， 在△BAD和△B′A′D′中， 在△AEC和△DFB中， 在△AEC和△DFB中， $$第七章　平行线的证明 3　平行线的判定 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，其依据可以简单说成(　 　) A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 平行线的判定 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 2．如图，能判定EB∥AC的条件是(　 　) A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C．∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 3．如图，对于图中标记的各角，下列条件中能够推理得到a∥b的是(　 　) A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠4 D．∠1＋∠4＝180° D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 4．如图，下列推理中错误的是(　 　) A．∵∠1＝∠3，∴a∥b B．∵∠1＝∠2，∴a∥b C．∵∠2＝∠3，∴c∥d D．∵∠5＝∠3，∴c∥d A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 5．木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示，a∥b，这是依据_________________ _________的道理．由此得出推论：在同一平面内，____________________________________.几何语言表述为∵a⊥l，b⊥l，∴__________. 同位角相等，两直 线平行 垂直于同一直线的两条直线互相平行 a∥b 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 6．如图，若∠1＝∠2，则______∥_______；若∠2＋∠3＝180°，则_______∥________. c d a b 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 7．(1)如图，若∠1＝∠B，则_______∥________，根据是__________________________. (2)如图，如果∠3＝________，那么BE∥DF，根据是__________________________. AB CD 同位角相等，两直线平行 ∠D 内错角相等，两直线平行 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 8．如图，点G在CD上，已知∠BAG＋∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由． 解：∵∠BAG＋∠AGD＝180°， ∠AGC＋∠AGD＝180°， ∴∠BAG＝∠AGC(__________________)． ∵EA平分∠BAG， ∵FG平分∠AGC， 得∠1＝∠2， ∴AE∥GF(__________________________)． 同角的补角相等 ∠BAG ∠AGC 内错角相等，两直线平行 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 9．如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试说明理由． 解：CF∥BD. 理由一：∵BD⊥BE， ∴∠DBE＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠C＝90°， ∴∠2＝∠C，∴CF∥BD. 理由二：∵BD⊥BE，∴∠DBE＝90°.又∵∠1＋∠C＝90°，∴∠C＋∠DBC＝180°，∴CF∥BD. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 10．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图中所有平行的直线是(　 　) A．AB∥CD∥EF B．CD∥EF C．AB∥EF D．AB∥CD∥EF，BC∥DE D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 11．如图是同一平面上五条直线l1，l2，l3，l4，l5相交的情形．根据图中标示的角度，判断下列说法中正确的是(　 　) A．l1和l3平行，l2和l3平行 B．l1和l3平行，l2和l3不平行 C．l1和l3不平行，l2和l3平行 D．l1和l3不平行，l2和l3不平行 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 12．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＋∠2＝180°，证明：CD∥EF. 证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∠B＋∠D＝180°， ∴AB∥CD. 又∵∠1＋∠2＝180°， ∴AB∥EF， ∴CD∥EF. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 13．如图摆放的一副三角尺中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠E＝∠F＝45°. (1)如图1，当∠ADE的度数为__________时，AB∥DF，说明理由． (2)如图2，若∠ADE＝165°，证明：AB∥EF. 30° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 解：(1)∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝120°. ∵∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠ADE＋∠EDF＝120°， ∴∠BAD＝∠ADF，∠ADE＝30°， ∴AB∥DF，即∠ADE＝30°时，AB∥DF. (2)证明：如图2，将△DEF绕D顺时针旋转到△DE1F1的位置，使得∠ADE1＝30°. ∵∠ADE1＋∠E1DF1＋∠F1DE＝∠ADE， ∴30°＋90°＋∠F1DE＝165°，∴∠F1DE＝45°. ∵∠E＝45°，∠F1DE＝∠E， ∴DF1∥FE. 由(1)得AB∥DF1，∴AB∥EF. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 14．(1)如图1，点B，C，D在同一直线上，∠A＝∠1＝∠3＝55°，∠E＝∠2＝35°，试说明AB∥DE. (2)如图2，点B，C，D在同一直线上，AC⊥EC，∠A＝∠1，∠E＝∠2，试说明AB∥DE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 解：(1)先证AB∥CK，再求出∠KCE＝35°＝∠E，∴CK∥DE，∴AB∥DE. (2)如图2，过点C作∠ACK＝∠A，∴AB∥CK， ∴∠A＝∠ACK＝∠1(设为x°)， 又∵∠ACE＝90°， ∴∠KCE＝90°－x°. 又∵∠2＝90°－∠1＝90°－x°＝∠E， ∴∠E＝∠KCE，∴CK∥DE，∴AB∥DE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 ∴∠1＝__________. ∴∠2＝__________， $$第七章　平行线的证明 4　平行线的性质 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．如图，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB.若∠BEC＝80°，则∠D的度数是(　 　) A．70° B．80° C．90° D．100° 1 平行线的性质 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 2．如图，AB∥CD，若∠CDE＝140°，则∠A的度数是(　 　) A．140° B．60° C．50° D．40° D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 3．如图，已知AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠C＝30°，则∠EAC的度数是(　 　) A．30° B．60° C．80° D．120° B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 4．如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝30°，则∠2＝__________. 60° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 5．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G.若∠EFG＝52°，则∠BEG＝ __________. 64° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 6．如图，直线AB，CD相交于点O，OT⊥AB于点O，CE∥AB交CD于点C.若∠ECO＝40°，求∠DOT的度数． 解：∵CE∥AB， ∴∠BOD＝∠ECO. ∵∠ECO＝40°，∴∠BOD＝40°. ∵OT⊥AB， ∴∠AOT＝∠BOT＝90°， ∴∠DOT＝90°－∠BOD＝90°－40°＝50°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 7．已知：△ABC和平面内一点D，点D在边BC上． (1)作图：过点D作DE∥AB交AC于点E，作DF∥AC交AB于点F. (2)求证：∠A＝∠EDF. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 解：(1)如图所示． (2)证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF， ∴∠A＝∠EDF. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 8．如图，已知∠1＝∠2，∠D＝78°，则∠BCD＝_______. 2 平行线的判定与性质的综合应用 102° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 9．如图，点D，E分别在AB，BC上，∠BDE＝∠BAC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝__________. 70° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 10．如图，已知CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为点D，F，∠B＋∠BDG＝180°，试说明∠BEF＝∠CDG.将下面的解答过程补充完整． 证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)， ∴EF∥CD(___________________________)， ∴∠BEF＝__________(__________________________)． 又∵∠B＋∠BDG＝180°(已知)， ∴BC∥DG(____________________________)， ∴∠CDG＝__________(__________________________)， ∴∠BEF＝∠CDG(____________)． 垂直同一条直线的两条直线平行 ∠BCD 两直线平行，同位角相等 同旁内角互补，两直线平行 ∠BCD 两直线平行，内错角相等 等量代换 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 11．如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB∶∠BDC＝1∶2，则∠DBC的度数是(　 　) A．30° B．36° C．45° D．50° D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 12．如图，直线AB∥CD，BE⊥EF交于点E，连接CF，则∠B，∠C与∠EFC之间的数量关系是(　 　) A．∠EFC＝∠B＋∠C B．∠B＋∠C＋∠EFC＝180° C．∠EFC＋∠B＝90°＋∠C D．∠C＋∠EFC＝180°＋∠B C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 13．如图，DA平分∠BDF，∠3＝∠4.若∠1＝50°，∠2＝130°，则∠CBD＝__________. 65° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 14．如图，直线AD与AB，CD相交于A，D两点，EC，BF与AB，CD相交于点E，C，B，F.若∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：∠A＝∠D. 证明：∵∠2＝∠AGB，∠1＝∠2， ∴∠1＝∠AGB，∴CE∥BF， ∴∠B＝∠AEC. ∵∠B＝∠C， ∴∠C＝∠AEC. ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°. (1)求∠BAD的度数． (2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC. 解：(1)∵AD∥BC， ∴∠B＋∠BAD＝180°. ∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°. (2)证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝50°. ∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°. ∵∠BCD＝50°，∴∠BCD＝∠AEB， ∴AE∥DC. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 16．核心素养·推理能力 已知AB∥CD，在AB，CD间取一点E，连接EA，EC，试探索∠AEC与∠A，∠C之间的关系(提示：分三种情况讨论)． 解：①如图1，点E在AC连线上． ∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠A＋∠C＝180°； ②如图2，点E在AC连线左侧．过点E作EF∥AB. ∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1＋∠A＝180°， ∠2＋∠C＝180°，∴∠1＋∠A＋∠2＋∠C＝360°， 即∠AEC＋∠A＋∠C＝360°； 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 ③如图3，点E在AC连线右侧．过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∴∠1＋∠2＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 $$第七章　平行线的证明 5　三角形内角和定理 第1课时　三角形内角和定理 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠A的度数是(　 　) 三角形的内角和定理 A．60° B．40° C．30° D．20° 2．在△ABC中，∠A＝75°，∠B－∠C＝15°，则∠C的度数是(　 　) A．30° B．45° C．50° D．10° B B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 3．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数是(　 　) A．40° B．45° C．50° D．55° A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 4．(2023·聊城)如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为(　 　) A．65° B．75° C．85° D．95° B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1的度数是__________. 80° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 6．如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝__________. 35° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 ∴∠B＝∠C＝2∠A(等式性质)． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)， ∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)， ∴∠A＝36°， ∴∠B＝72°，∠C＝72°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 8．如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠ABC＝48°，BD⊥AC，求∠DBC的度数． 解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°. 又∵∠A＝54°，∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝180°－90°－54°＝36°. 又∵∠ABC＝48°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝48°－36°＝12°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 9．如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB∶∠BDC＝1∶2，∠EAB＝72°.下列说法：①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°.其中正确的有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 10．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠BDC＝____________. 110° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 11．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC＝__________. 18° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠A＝56°，求∠CFD和∠EDF的度数． 解：∵∠B＝∠C，∠A＝56°， ∴∠B＝∠C＝62°. ∵FD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠BED＝∠BDF＝∠FDC＝90°， ∴∠BDE＝90°－∠B＝90°－62°＝28°， ∴∠CFD＝90°－∠C＝90°－62°＝28°， ∴∠EDF＝90°－∠BDE＝90°－28°＝62°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 13．如图，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线DE与∠BCD的平分线CA相交于点E.已知∠ACB＝32°，∠CDE＝58°. (1)求∠DEC的度数． (2)求证：直线AD∥BC. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 解：(1)∵CA是∠BCD的平分线， ∴∠ACD＝∠ACB＝32°. ∵∠CDE＋∠DEC＋∠DCE＝180°，∠CDE＝58°， ∴∠DEC＝180°－∠ACD－∠CDE＝180°－32°－58°＝90°. (2)证明：∵DE平分∠ADC，CA平分∠BCD， ∴∠ADC＝2∠CDE＝116°，∠BCD＝2∠ACD＝64°. ∵∠ADC＋∠BCD＝116°＋64°＝180°， ∴AD∥BC. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 14．如图，BE，CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线EF和CF相交于点F. (1)探索∠F与∠B，∠D有何等量关系． (2)当∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x时，求x的值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 解：(1)如图，连接CE，记∠AEC＝∠1，∠ACE＝∠2， ∴∠D＋∠2＋∠1＋∠DEA＋∠B＋∠1＋∠2＋∠BCA＝360°， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 (2)设∠B＝2α，则∠D＝4α， 又∵∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x， ∴x＝3. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 7．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数． 解：∵∠A＝∠B＝∠C(已知)， ∴∠D＋∠2＋∠1＋∠DEA＝180°，∠B＋∠1＋∠2＋∠BCA＝180°，∠F＋∠1＋∠2＋∠DEA＋∠BCD＝180°， ∴(∠D＋∠B)＋∠1＋∠2＋∠BCA＋∠DEA＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠BCA＋∠DEA＝180°－(∠D＋∠B)，即180°－∠F＝180°－(∠D＋∠B)， ∴∠F＝(∠B＋∠D)． ∴∠F＝(∠B＋∠D)＝3α. $$第七章　平行线的证明 5　三角形内角和定理 第2课时　三角形的外角 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是(　 　) A．110° B．120° C．130° D．140° 1 三角形的内角和定理的推论1 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 2．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是(　 　) A．85° B．80° C．75° D．70° A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 3．(2023·东营)如图，AB∥CD，点E在线段BC上(不与点B，C重合)，连接DE，若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B的度数是(　 　) A．10° B．20° C．40° D．60° B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 4．将直角三角尺和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是(　 　) A．26° B．30° C．36° D．56° A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 5．根据图示填空： (1)如图1，∠α＝__________. (2)如图2，∠β＝__________. 50° 70° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 6．如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝55°，∠C＝50°，∠D＝25°，求∠ABD和∠1的度数． 解：∵∠A＝55°，∠C＝50°， ∴∠ABD＝∠A＋∠C＝105°， ∴∠ABC＝180°－∠ABD＝75°. ∵∠ABC＝∠1＋∠D， ∴∠1＝∠ABC－∠D＝75°－25°＝50°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 7．下列能说明∠1>∠2的是(　 　) 2 三角形的内角和的定理的推论2 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 8．如图，P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于点D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是(　 　) A．∠A>∠2>∠1 B．∠A>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠A D．∠1>∠2>∠A D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 9．如图，已知∠DBA和∠ACE是△ABC的外角．若∠A＝40°，则∠DBA＋∠ACE的度数是(　 　) A．180° B．140° C．220° D．无法确定 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 10．(2023·荆州)如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是(　 　) A．80° B．76° C．66° D．56° C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 11．在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________. 12．如图，在△ABC中，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，F是AB上一点且FG∥AC.若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠FGC＝__________. 36° 72° 72° 50° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAD＝40°，且∠ADE＝∠AED，求∠CDE的度数． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD.∵∠BAD＝40°， ∴∠ADC＝∠B＋40°， ∴∠ADE＝∠ADC－∠CDE＝∠B＋40°－∠CDE. 又∵∠AED是△DEC的外角， ∴∠AED＝∠C＋∠CDE. ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠B＋40°－∠CDE＝∠C＋∠CDE. ∵∠B＝∠C，∴40°－∠CDE＝∠CDE， ∴∠CDE＝20°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 14．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE交CE于点F，求∠CDF的度数． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 解：∵∠A＝40°，∠B＝72°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－72°＝68°. ∵CD⊥AB，DF⊥CE， ∴∠CDF＋∠ECD＝∠ECD＋∠CED＝90°， ∴∠CDF＝∠CED＝74°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E. (1)若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 解：(1)∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°. ∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC＝30°， ∴∠ADC＝∠B＋∠DAC＝65°. 又∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°， ∴∠E＝90°－∠ADC＝90°－65°＝25°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 (2)证明：∵∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)． ∵AD平分∠BAC， ∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°， ∴∠ADC＋∠E＝90°，∴∠E＝90°－∠ADC， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思维拓展 ∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×68°＝34°，∴∠CED＝∠A＋∠ACE＝40°＋34°＝74°. (2)当点P在线段AD上运动时，求证：∠E＝(∠ACB－∠B)． ∴∠BAD＝∠BAC＝90°－(∠B＋∠ACB)， ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝90°－(∠ACB－∠B)． 即∠E＝(∠ACB－∠B)． $$第七章　平行线的证明 ★单元核心考点归纳 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 1．下列命题中，是假命题的是(　 　) A．直角三角形两锐角互余 B．有三组对应角相等的两个三角形全等 C．两直线平行，同位角相等 D．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 1 定义与命题 B 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．通过下面几个图形说明“锐角α，锐角β的和是锐角”，其中错误的例证图是(　 　) C 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为点C.若∠1＝52°，则∠2的度数是(　 　) A．52° B．45° C．38° D．26° 2 平行线的判定和性质 C 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是(　 　) A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90° C 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．如图，在下列条件中，能判定AD∥BC的是(　 　) A．∠BAC＝∠ACD B．∠DCB＋∠ABC＝180° C．∠ABD＝∠BDC D．∠DAC＝∠BCA D 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为(　 　) A．0 　　 B．1　 C．2 　　 D．3 D 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 7．如图，若∠B＋______＝180°，则AB∥CD，依据是_________________________. 8．如图，AB∥DE，AC平分∠BAD.若∠BAC＝23°，则∠ADE＝____________. ∠2 同旁内角互补，两直线平行 134° 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 9．如图，点B，C，F，E在同一条直线上，∠A＝∠D. (1)若∠A＝42°，∠E＝32°，求∠BFD的度数． (2)若AC∥DF，求证：AB∥DE. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)∵∠A＝42°，∠A＝∠D，∴∠D＝42°. ∵∠BFD是△DEF的外角，∠E＝32°， ∴∠BFD＝∠D＋∠E＝42°＋32°＝74°. (2)证明：∵AC∥DF，∴∠ACE＝∠BFD. ∵∠ACE，∠BFD分别是△ABC，△DEF的外角， ∴∠ACE＝∠A＋∠B，∠BFD＝∠D＋∠E. ∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠E，∴AB∥DE. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 10．如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线． (1)AB与DE平行吗？请说明理由． (2)求证：∠ABC＝∠C. (3)求证：BD是∠ABC的平分线． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)AB∥DE.理由如下： ∵MN∥BC， ∴∠ABC＝∠1＝60°. 又∵∠1＝∠2， ∴∠ABC＝∠2， ∴AB∥DE. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (2)证明：∵MN∥BC，∴∠NDE＋∠2＝180°， ∴∠NDE＝180°－∠2＝180°－60°＝120°. ∵DC是∠NDE的平分线， ∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°， ∴∠ABC＝∠C. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (3)证明：∠ADC＝180°－∠NDC＝180°－60°＝120°. ∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°， ∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝120°－90°＝30°. ∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°. ∵∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABD＝30°， ∴BD是∠ABC的平分线． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 11．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数是(　 　) A．45° B．60° C．75° D．90° 3 三角形的内角和定理及其推论 C 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 12．新情景创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板CD的张角至视角舒适，若张角∠BCD＝70°，支撑杆CB与桌面夹角∠B＝65°，那么此时面板CD与水平方向夹角∠1的度数为(　 　) A．45° B．55° C．65° D．70° A 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 13．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝60°，则∠ACB的度数是__________，∠BCE的度数是____________. 50° 130° 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 14．如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB，∠B为锐角，BC∥DF，则∠B＝__________. 60° 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E. (1)若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数． (2)若∠BED＝45°，求∠C的度数． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)∵AD平分∠BAC， ∠BAC＝60°， ∵∠C＝50°， ∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝80°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (2)∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE. ∵∠BED是△ABE的外角，∠BED＝45°， ∴∠BAD＋∠ABE＝∠BED＝45°. ∴∠BAC＋∠ABC＝2(∠BAD＋∠ABE)＝90°. ∵∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴∠C＝180°－(∠BAC＋∠ABC)＝90°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） ∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°. ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC， ∴∠DAC＝∠BAC＝30°. $$第七章　平行线的证明 专题15　【解题技巧】平行线中的折线问题 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 【模型归纳】如图，AB∥CD，点P是平行点外一点，则下面四个图形中∠A与∠P，∠C之间的数量关系分别如下． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1．如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF的度数是(　 　) A．180° B．270° C．360° D．540° C 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD的度数为(　 　) A．20° B．45° C．35° D．30° D 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．如图，GA∥FD，一副三角尺如图摆放，∠EDF＝60°，∠BAC＝45°，若BC∥DE，下列结论中错误的是(　 　) A．EF∥AB B．∠GAB＝30° C．EC平分∠FED D．∠AED＝120° D 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．如图，已知AB∥CD，∠AMP＝150°，∠PND＝60°.求证：MP⊥PN. 解：如图，过点P向左侧作PE∥AB，则∠AMP＋∠MPE＝180°， ∴∠MPE＝30°. ∵AB∥CD，PE∥AB， ∴PE∥CD， ∴∠EPN＝∠PND＝60°， ∴∠MPN＝∠MPE＋∠EPN＝30°＋60°＝90°， ∴MP⊥PN. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 5．如图，AB∥DE，∠ABC＝110°，∠CDE＝30°，求∠BCD的度数． 解：如图，过点C作CF∥AB∥DE，则∠BCF＝70°，∠DCF＝∠CDE＝30°， ∴∠BCD＝∠BCF＋∠DCF＝70°＋30°＝100°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．如图，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M，N，使得∠AMN＝∠N.求证：∠CAM＝∠BAN. 证明：∵AB∥CD， ∴易证∠N＝∠BAN＋∠DCN. ∵∠AMN＝∠N， ∴∠AMN＝∠BAN＋∠DCN. ∵∠AMN是△ACM的外角， ∴∠AMN＝∠ACM＋∠CAM， ∴∠BAN＋∠DCN＝∠ACM＋∠CAM. ∵CN平分∠ACD，∴∠DCN＝∠ACM， ∴∠CAM＝∠BAN. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 7．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，求∠1＋∠2的度数． 解：如图，过点A，B分别作AC∥l1，BD∥l2. ∵l1∥l2， ∴l1∥AC∥BD∥l2， ∴∠MAC＝∠1，∠2＝∠DBN，∠CAB＋∠ABD＝180°. ∵∠MAB＋∠ABN＝∠MAC＋∠CAB＋∠ABD＋∠DBN＝∠1＋180°＋∠2＝125°＋85°， ∴∠1＋∠2＝30°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 8．如图1，已知∠BAG＋∠AGD＝180°，AF，EF，EG是三条折线段． (1)若∠E＝∠F，如图2所示，求证：∠1＝∠2. (2)根据图1，写出∠1＋∠E与∠2＋∠F之间的关系，并证明． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)证明：∵∠BAG＋∠AGD＝180°， ∴AB∥CD，∴∠BAG＝∠AGC. ∵∠E＝∠F，∴AF∥EG， ∴∠FAG＝∠AGE， ∴∠BAG－∠FAG＝∠AGC－∠AGE， ∴∠1＝∠2. (2)由(1)可知，AB∥CD， ∴∠1＋∠GAF＝∠2＋∠EGA. ∵∠E＋∠EGA＝∠F＋∠GAF， ∴上述两式相加，得∠1＋∠GAF＋∠E＋∠EGA＝∠2＋∠EGA＋∠F＋∠GAF， ∴∠1＋∠E＝∠2＋∠F. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 9．核心素养·图形直观 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC.求∠BAC＋∠B＋∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝__________，∠C＝__________. 又∵∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°. ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝____________. ∠EAB ∠DAC 180° 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】(2)如图2，已知AB∥CD，BE，CE交于点E，∠BEC＝80°，在图2的情况下求∠B－∠C的度数． (3)如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)∠EAB；∠DAC；180°. (2)如图2，过点E作EF∥AB， ∴∠B＋∠BEF＝180°，∴∠BEF＝180°－∠B. ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C. ∵∠BEC＝80°，∴∠BEF＋∠FEC＝80°， ∴180°－∠B＋∠C＝80°，∴∠B－∠C＝100°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (3)∠BPD＝∠B－∠D， 理由如下：如图3，过点P作PE∥CD，∴∠D＝∠DPE. ∵AB∥CD，∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE. ∵∠BPD＝∠BPE－∠DPE， ∴∠BPD＝∠B－∠D. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） $$第七章　平行线的证明 专题16　【思想方法】求与三角形有关的角度 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 思想方法一　转化思想求角度 1．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 解：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 2．如图，AB∥CD，∠ABE＝110°，∠C＝30°，求∠BEC的度数． 解：∠BEC＝100°. 方法一：如图，延长BE交CD于点F，将∠BEC转化为△CEF的外角． 方法二：如图，延长CE交AB的延长线于点G，将∠BEC转化为△BGE的外角． 方法三：如图，过点E作EM∥AB. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思想方法二　方程思想求角度 3．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝57°，求∠CAD的度数． 解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝2x°.在△ABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°，∠BAC＝57°，∴x＋2x＋57＝180，解得x＝41. ∴∠CAD＝∠BAC－∠1＝57°－41°＝16°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，BD是边AC上的高，BE是∠ABC的平分线，且∠DBE＝18°，求∠A的度数． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：设∠A＝x°，则∠C＝2∠A＝2x°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－3∠A＝180°－3x°， ∴∠ABE＝90°－1.5∠A＝90°－1.5x°， ∴∠BED＝90°－∠EBD＝90°－18°＝72°. 又∵∠BED＝∠A＋∠ABE＝90°－0.5x°＝72°，解得x＝36. ∴∠A＝36°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思想方法三　分类讨论思想求角度 5．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是边AC上的高，∠ABD＝40°，求∠C的度数． 解：①如图1，∠BAC为锐角时，∠C＝65°； ②如图2，∠BAC为钝角时，∠C＝25° . 综上所述，∠C的度数为65°或25°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 6．已知在非Rt△ABC中，∠A＝40°，高BD和CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数． 解：①如图1，∠ACB为锐角时，∠BHC＝140°； ②如图2，∠ACB为钝角时，∠BHC＝40°； ③如图3，∠ABC为钝角时，∠BHC＝40°. 综上所述，∠BHC的度数为140°或40°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 思想方法四　整体思想求角度 7．如图，∠1＋∠2＝70°，若∠A＝60°，求∠BOC的度数． 解：130°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 8．如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落到点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系． 解：∵∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE， ∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋ ∠CFE)＝360°－2(180°－∠C)＝360°－360°＋2∠C＝2∠C. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） $$第七章　平行线的证明 专题17　【模型构建】三角形的角平分线模型 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 类型一　同一边上角平分线与高的夹角 1．在△ABC中，AD是角平分线，∠B<∠C. (1)如图1，AE是边BC的高，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数． (2)如图2，点E在AD上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并证明你的结论． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AD是角平分线，AE是边BC的高， ∴∠CAE＝180°－∠C－∠CEA＝25°. ∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝15°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (2)如图2，过点A作AG⊥BC于点G. ∵EF⊥BC，∴EF∥AG，∴∠DEF＝∠DAG. ∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C. ∵AD是角平分线，AG⊥BC， ∠CGA＝90°， ∴∠CAG＝180°－∠C－∠CGA＝90°－∠C， 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (3)如图3，点E在AD的延长线上．EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系是________________(直接写出结论，不需证明)． (3)如图3，过点A作AG⊥BC于点G. ∵EF⊥BC，∴EF∥AG. ∴∠DEF＝∠DAG. ∴2∠DEF＝∠C－∠B. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 类型二　两条内角平分线的夹角 2．如图，在△ABC中，P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．找出∠A与∠BPC之间的数量关系，并证明． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） ∵BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB， ∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 3．如图，在△ABC中，BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB.若∠A＝54°，则∠BEF＋∠EFC的度数是____________. 297° 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC，∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则∠BO1C＝__________，∠BO2C＝____________. 80° 130° 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 类型三　一条内角平分线与一条外角平分线的夹角 5．(1)如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点E.写出∠A与∠E之间的数量关系，并证明． (2)如图2，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2 022BC与∠A2 022CD的平分线相交于点A2 023，得∠A2 023，直接写出∠A2 023的度数为________(用含x的代数式表示)． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 证明：∵∠A＋∠ABC＝∠ACF，∠E＋∠CBE＝∠ECF， ∴∠A＝∠ACF－∠ABC，∠E＝∠ECF－∠CBE. ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACF， 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 类型四　两条外角平分线的夹角 6．已知BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线，BO，CO相交于点O，试探索∠BOC与∠A之间的数量关系，并说明理由． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） ∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A， ∴2∠1＋2∠2＝2∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°. 又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°， 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 7．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＋∠CAD＝180°，∠BCD＋∠ACD＝180°. (1)若∠ABC＝50°，求∠ADC的度数． (2)若∠BAC＝48°，则∠BDC＝__________；若∠ACB＝70°，则∠ADB＝__________. 24° 35° 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(1)∵∠BAD＋∠CAD＝180°，∠BCD＋∠ACD＝180°， 创新作业本·数学八年级上（北师大版） ∴∠DAC＝∠BAC＝40°，∠CEA＝90°， ∴∠DAC＝∠BAC＝90°－∠B－∠C， ∴∠DAG＝∠DAC－∠CAG＝∠C－∠B， ∴∠DEF＝∠C－∠B，∴2∠DEF＝∠C－∠B. 同理，可得∠DEF＝∠C－∠B， 解：∠BPC＝90°＋∠A.理由如下： ∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)． ∴∠PBC＋∠PCB＝＝90°－∠A， ∴∠BPC＝180°－＝90°＋∠A. 解：(1)∠E＝∠A. ∴∠ECF＝∠ACF，∠CBE＝∠ABC， ∴∠E＝∠ECF－∠CBE＝∠ACF－∠ABC＝ ， ∴∠E＝∠A. (2)由(1)可知∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，∠A2 023＝∠A. ∵∠A＝x°，∴∠A2 023＝，故答案为. 解：∠BOC＝90°－∠A.理由如下：∵BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线， ∴2∠BOC＝180°－∠A，即∠BOC＝90°－∠A. ∴易证AD，CD均为△ABC的外角平分线，∴∠ADC＝90°－∠ABC＝90°－×50°＝65°. $$第七章　平行线的证明 综合与实践　三角形的内角和定理的证明和应用 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 1 古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯(Thales，公元前6世纪)最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 创新作业本·数学八年级上（北师大版） (1)如图1，在△ABC中，求证：∠A＋∠B＋∠BCA＝180°. 证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB. ∵CE∥AB(已作)， ∴______＝∠1(两直线平行，内错角相等)， ______＝∠2(两直线平行，同位角相等)． ∵___________________________(平角的定义)， ∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°(等量代换)． ∠A ∠B ∠1＋∠2＋∠ACB＝180° 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 【实践运用】 (2)如图2，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，试证明：∠A＋∠B＝∠C＋∠D. 【拓展提升】 (3)①如图3，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝34°，∠ADC＝18°，则∠P的度数为______. ②如图4，直线AP平分∠FAD，CP平分∠BCE，若∠ABC＝34°，∠ADC＝18°，则∠P的度数为______. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 解：(2)证明：在△AOB中，∠A＋∠B＋∠AOB＝180°. 在△COD中，∠C＋∠D＋∠COD＝180°. ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D. (3)①设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y， 故答案为26°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） ②在PA的延长线上取一点J，设∠FAJ＝∠DAJ＝m，∠PCB＝∠PCE＝n， 故答案为26°. 创新作业本·数学八年级上（北师大版） 故有 可得∠P＝(∠B＋∠D)＝(34°＋18°)＝26°. 则有 可得∠P＝(∠B＋∠D)＝(34°＋18°)＝26°. $$