第7课 有理数的乘法-2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第7课 有理数的乘法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握有理数的乘法法则.会运用乘法法则求若干个有理数相乘的积. 2.理解乘法的运算律，会运用乘法的运算律简化运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数与零相乘，积为零. 2.几个不为零的有理数相乘，先确定积的符号，再将绝对值相乘. 若其中有一个乘数为0，则积为0 注：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. (1)当负因数有奇数个时，积为负; (2)当负因数有偶数个时，积为正。 知识点02 乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变. 即 . 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即. 3.分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.即 注：合理运用有理数乘法的运算律，可以简化有关的运算. 　　 ( 能力拓展 )考点01 有理数的乘法 【典例1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【即学即练1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算下列各式： （1）（﹣2）×4×（﹣3）； （2）（﹣6）×（﹣25）×（﹣0.04）； （3）﹣0.75×（﹣0.4）×1； （4）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）． 考点02 运用乘法运算律简便运算 【典例2】用简便方法计算： (1) (2) 【即学即练2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）﹣3.14×35.2+3.14×（﹣46.4）﹣3.14×18.4． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．的倒数为（    ） A． B． C． D．14 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，结果是正数的是（　　） A． B． C． D． 5．对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 6．为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 7．计算最简便的方法是（    ） A． B． C． D． 8．一台冰箱的原价是4000元，先提价，再打九折销售．则这台冰箱现在的价格和原来的价格比（　　） A．提高了 B．不变 C．降低了 D．无法确定 9．计算： ． 10．计算： ． 11．的倒数的相反数是 ． 12．计算： ． 13．规定一种运算，例如，请你按照这种运算的规定，试计算的值为 ． 14．计算： ． 15．计算：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 17．计算： (1) (2) 18．计算 (1)； (2) 题组B 能力提升练 19．的倒数是（    ） A． B． C． D． 20．下列各式中，积为正数的是（　　） A． B． C． D． 21．在有理数3，0，，中，任意取两个数相乘，积的最小值是（　　） A．3 B． C．0 D． 22．下列说法正确的是（　　）． A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负； B．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大； C．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数： D．任何有理数乘以一定等于这个数的相反数． 23．若，，且，则（    ） A． B．1 C． D．1或 24．用乘法分配律进行简便运算： （只需写出接下来的一步，不必算出答案）． 25．规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得，即．例如：．根据上面规定解答以下题目： (1)求的值； (2)与的值相等吗？ 26．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为______的解法较好？ (2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来． 题组C 培优拔尖练 27．若两个非零有理数a，b满足，，则在数轴上表示数a，b的两点的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 28．若互为相反数，，互为倒数，，则的值为（    ） A．3 B．1 C．3或 D． 29．如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 30．如图，已知数轴上三点表示的数分别是，若，，则原点的位置应该在（    ） A．点与点之间，更靠近点 B．点与点之间，更靠近点 C．点与点之间，更靠近点 D．点与点之间，更靠近点 31．如果4个不相等的正整数满足，则等于 ． 32．用简便方法计算：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7课 有理数的乘法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握有理数的乘法法则.会运用乘法法则求若干个有理数相乘的积. 2.理解乘法的运算律，会运用乘法的运算律简化运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数与零相乘，积为零. 2.几个不为零的有理数相乘，先确定积的符号，再将绝对值相乘. 若其中有一个乘数为0，则积为0 注：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. (1)当负因数有奇数个时，积为负; (2)当负因数有偶数个时，积为正。 知识点02 乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变. 即 . 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即. 3.分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.即 注：合理运用有理数乘法的运算律，可以简化有关的运算. 　　 ( 能力拓展 )考点01 有理数的乘法 【典例1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路点拨】根据有理数的乘法法则，不为0的两数相乘，同号的正，异号的负，并把绝对值相乘，0乘以任何数都得0．即可得出答案． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键. 【即学即练1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【思路点拨】（1）根据异号两数相乘的法则计算即可得出答案； （2）根据同号两数相乘的法则计算即可得出答案； （3）根据0乘以任何数都得0，即可得出答案； （4）根据异号两数相乘的法则计算即可得出答案； （5）根据同号两数相乘的法则计算即可得出答案； （6）根据同号两数相乘的法则计算即可得出 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【点睛】本题考查的是有理数乘法运算，有理数乘法法则：两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘，牢记法则是解题关键． 2．计算下列各式： （1）（﹣2）×4×（﹣3）； （2）（﹣6）×（﹣25）×（﹣0.04）； （3）﹣0.75×（﹣0.4）×1； （4）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）． 【思路点拨】（1）先确定符号，再用绝对值相乘即可； （2）先确定符号，再用乘法结合律计算即可； （3）先确定符号，把小数化为分数，再按照法则计算即可； （4）先确定符号，把小数化为分数计算即可． 【解析】解：（1）原式＝2×4×3 ＝24； （2）原式＝﹣6×（25×0.04） ＝﹣6×1 ＝﹣6； （3）原式＝×× ＝； （4）原式＝﹣×××2 ＝﹣． 【点睛】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法的法则及运算律 考点02 运用乘法运算律简便运算 【典例2】用简便方法计算： (1) (2) 【思路点拨】（1）利用有理数乘法的交换律与结合律计算即可得； （2）将改写成，再利用有理数乘法的分配律计算即可得． 【解析】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数乘法的交换律与结合律、分配律，熟练掌握有理数乘法的运算律是解题关键． 【即学即练2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）﹣3.14×35.2+3.14×（﹣46.4）﹣3.14×18.4． 【思路点拨】（1）原式1、3结合，2、4结合，约分即可得到结果； （2）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （3）原式第一项因式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式逆用乘法分配律即可得到结果． 【解析】解：（1）原式＝﹣3×（﹣）×（﹣）× ＝﹣； （2）原式＝﹣36+16﹣30+21 ＝﹣29； （3）原式＝（10﹣）×（﹣15） ＝﹣150+ ＝﹣149； （4）﹣3.14×35.2+3.14×（﹣46.4）﹣3.14×18.4 ＝﹣3.14×（35.2+46.4+18.4） ＝﹣3.14×100 ＝﹣314． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】有理数的乘法法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【解析】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的乘法． 2．的倒数为（    ） A． B． C． D．14 【思路点拨】根据倒数的定义进行解题即可． 【解析】解：的倒数是， 故选：B． 【点睛】此题考查了倒数，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】根据有理数的乘法法则进行计算即可得到答案． 【解析】解：， A、B、C计算错误，不符合题意，D计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 4．下列各式中，结果是正数的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据有理数的乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，逐项判断即可． 【解析】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 【思路点拨】根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案． 【解析】解：，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合律， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 6．为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 【解析】解：， ， ， 故选：． 【点睛】此题考查了有理数乘法运算律， 7．计算最简便的方法是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】利用乘法分配律将因数进行变形即可． 【解析】解：，可以使计算简便， 故答案为：D 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键． 8．一台冰箱的原价是4000元，先提价，再打九折销售．则这台冰箱现在的价格和原来的价格比（　　） A．提高了 B．不变 C．降低了 D．无法确定 【思路点拨】提价10%是把原价看作单位“1”，再打九折（90%）销售，是把提价10%以后的价格看作单位“1”，根据一个数乘百分数的意义，用乘法求出现价，再进行比较即可解答． 【解析】解：这台冰箱现在的价格为： （元）， ， 这台冰箱现在的价格和原来的价格比降低了， 故选C． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答此题的关键是找准单位“1”，提价10%与打九折（90%）销售所对应的单位“1”是不同的． 9．计算： ． 【思路点拨】应用有理数乘法法则进行计算即可得出答案． 【解析】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法. 10．计算： ． 【思路点拨】因此此题可根据有理数的乘法分配律可进行求解． 【解析】解：原式； 故答案为9． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键； 11．的倒数的相反数是 ． 【思路点拨】根据乘积为1的两个数互为倒数得到的倒数是，根据只有符号不同的两个数互为相反数得到的相反数是，据此可得答案． 【解析】解：∵， ∴的倒数是， ∵的相反数是， ∴的倒数的相反数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数和求一个数的相反数. 12．计算： ． 【思路点拨】根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【解析】 ． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则． 13．规定一种运算，例如，请你按照这种运算的规定，试计算的值为 ． 【思路点拨】根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可． 【解析】解：由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算． 14．计算： ． 【思路点拨】根据乘法分配律进行计算即可求解． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 15．计算：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【思路点拨】依据有理数乘法法则进行计算 【解析】（1） 故答案为：； （2） 故答案为：72； （3） 故答案为：； （4） 故答案为：120； （5）, 故答案为：0． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟记乘法法则是解题的关键． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【思路点拨】（1）根据有理数乘法的运算法则，两数相乘同号等正，异号得负，再把绝对值相乘即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，两数相乘同号等正，异号得负，再把绝对值相乘即可； （3）先把带分数化为假分数，小数化为分数，再根据有理数乘法的运算法则计算即可； （4）根据任何数乘以都等于计算即可． 【解析】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握理数乘法的运算法则，两数相乘同号等正，异号得负，再把绝对值相乘是解答本题的关键． 17．计算： (1) (2) 【思路点拨】（1）利用乘法交换律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则和乘法运算律是解题关键． 18．计算 (1)； (2) 【思路点拨】利用乘法分配律进行计算即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则和乘法运算律是解题关键． 题组B 能力提升练 19．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】根据相反数及倒数的定义进行解答即可． 【解析】解： ∴的倒数是． 故答案为：D 【点睛】本题考查了相反数、倒数．解题的关键是掌握相反数、倒数的定义． 20．下列各式中，积为正数的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据法则逐一分析可得答案. 【解析】解：的结果为负，故A不符合题意； 的结果为负，故B不符合题意； 的结果为0，故C不符合题意； 的结果为正，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 21．在有理数3，0，，中，任意取两个数相乘，积的最小值是（　　） A．3 B． C．0 D． 【思路点拨】利用有理数的乘法法则计算再判断． 【解析】解：有理数3，0，，中，任意取两个数相乘得到的积有0，，，3， 最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法， 22．下列说法正确的是（　　）． A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负； B．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大； C．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数： D．任何有理数乘以一定等于这个数的相反数． 【思路点拨】根据有理数的乘法、绝对值的意义，倒数的定义，相反数的定义，逐项分析判断，即可求解． 【解析】解：A. 5个（不含）有理数相乘，当负因数为3个时，积为负，故该选项不正确，不符合题意； B. 绝对值大于1的两个正数相乘，积比这两个数都大，故该选项不正确，不符合题意； C. 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，故该选项不正确，不符合题意； D. 任何有理数乘以一定等于这个数的相反数，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、绝对值的意义，倒数的定义，相反数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．若，，且，则（    ） A． B．1 C． D．1或 【思路点拨】根据所给和绝对值，可知，；又知，即和符号相反，那么应分类讨论两种情况，正负，负正，求解即可． 【解析】解：∵|，， ∴，， 且，即和符号相反， 当时，，； 当时，，． 的值是1或，故D正确． 故选：D． 24．用乘法分配律进行简便运算： （只需写出接下来的一步，不必算出答案）． 【思路点拨】把写成的形式，再利用分配律比较简便． 【解析】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，灵活运用乘法的分配律是解决本题的关键． 25．规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得，即．例如：．根据上面规定解答以下题目： (1)求的值； (2)与的值相等吗？ 【思路点拨】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义分别计算即可判断． 【解析】（1）∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算． 26．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为______的解法较好？ (2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来． 【思路点拨】（1）根据计算的简便程度判断即可； （2）把看作，再利用乘法分配律即可求解； 解题关键是熟练运用乘法分配律进行简便运算． 【解析】（1）解：对于以上两种解法，小军的解法较好， 故答案为：小军 （2）有， 【点睛】本题考查了有理数乘法运算律. 题组C 培优拔尖练 27．若两个非零有理数a，b满足，，则在数轴上表示数a，b的两点的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数推出，再根据有理数乘法和加法计算法则推出，据此可得答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法计算，有理数加法计算，绝对值的意义，用数轴表示有理数，正确推出，是解题的关键． 28．若互为相反数，，互为倒数，，则的值为（    ） A．3 B．1 C．3或 D． 【思路点拨】根据相反数的意义，倒数的定义，绝对值的意义，求得，代入代数式，即可求解． 【解析】解：∵互为相反数，，互为倒数，， ∴， 当时，， 当时，， 故选：C． 29．如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】由，根据两数相乘，异号得负，得出a与c异号；由，得，；由，得b与ac同号，又，得． 【解析】解：由，得a与c异号； 由，得，； 由，得． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法． 30．如图，已知数轴上三点表示的数分别是，若，，则原点的位置应该在（    ） A．点与点之间，更靠近点 B．点与点之间，更靠近点 C．点与点之间，更靠近点 D．点与点之间，更靠近点 【思路点拨】根据数轴及，可得，，又由，得到，即可求解，掌握绝对值表示点到原点的距离的意义是解题的关键． 【解析】解：解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴数轴原点的位置应该在点与点之间，更靠近点， 故选：． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值的应用，有理数的运算法则， 31．如果4个不相等的正整数满足，则等于 ． 【思路点拨】根据题意，由，令求出值代入代数式求解即可，理解题意，求出值是解决问题的关键． 【解析】解：，4个不相等的正整数满足， ∴四个括号内的值分别是：， 不妨令， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查代数式求值， 32．用简便方法计算：． 【思路点拨】利用乘法分配律进行简便计算即可． 【解析】解： ． 【点睛】本题考查了用乘法运算律进行有理数运算. 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