专题01 月考模拟卷01（考试范围：第1·2章）-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题01 月考模拟卷01 考试范围：第1-2章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列方程中是一元二次方程的有（    ） A． B． C． D． 2．设，下表列出了与的6对对应值： －1 0 1 2 3 4 －7 －5 －1 5 13 23 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 3．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A．x（x - 12）= 864 B．x（x + 12）= 864 C．x（12 - x）= 864 D．2（2x - 12）= 864 4．如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 6．近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，D、E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，，若，则的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B．4 C． D．6 9．判断关于的方程（是常数，）的根的情况（    ） A．存在一个，使得方程只有一个实数根 B．无实数根 C．一定有两个不相等的实数根 D．一定有两个相等的实数根 10．如图，在中，，，过点A作边的的垂线交的延长线于点E，点F是垂足，连接，，交于点O．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④．正确的命题为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．已知菱形中，，．则菱形的面积为 ． 12．已知是方程的一个根，则代数式的值是 ． 13．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 14．如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则 ． 15．已知，是一元二次方程的两根，则 ． 16．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．用指定的方法解方程： （1）（公式法）       （2）（用配方法） 18．解方程： (1)； (2) 19．已知关于x的一元二次方程． (1)若这个方程没有实数根，求k的取值范围． (2)方程的两个根分别为，，若，求的值． 20．如图，在菱形中，与相交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长度． 21．一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．设降价元． (1)平均每天的销售数量为___________件（用含的式子表示）， (2)该商店每天的销售利润能达到元吗？若能达到，请求出的值：若不能达到，请说明理由． 22．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）求证：； （3）若，求k的值． 23．已知，如图，四边形中，，点是的中点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，点是上的点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，求的长度． 24．如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．    (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为． (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于． (3)在（1）中的面积能否等于？说明理由． 25．如图1，已知四边形是矩形，点是射线上的动点，当点运动到的角平分线上时，连接，交于点，交于点，点在是线段的中点，连接，． (1)证明：； (2)点是线段上一点，连接，，，当时，证明：； (3)在（2）的基础上，是否在射线上存在一点，使得四边形为菱形？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 月考模拟卷01 考试范围：第1-2章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列方程中是一元二次方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为：． 【详解】、中，没有说明，此选项不符合题意； 、是一元一次方程，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 、中，有个未知数，此选项不符合题意； 故选：． 2．设，下表列出了与的6对对应值： －1 0 1 2 3 4 －7 －5 －1 5 13 23 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】通过观察二次函数的6对对应值的表格，可得出：当时，对应的值的范围为，所以当时，对应的一元二次方程的一个解的范围为． 【详解】解：观察二次函数的6对对应值，可得： ∵当时，对应的值的范围为， 又∵， ∴当时，对应的一元二次方程的一个解的范围为． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 3．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A．x（x - 12）= 864 B．x（x + 12）= 864 C．x（12 - x）= 864 D．2（2x - 12）= 864 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】矩形性质理解、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】由宽比长少12步可得宽为（x-12）步，再由面积列方程即可； 【详解】解：由题意得：x（x-12）=864， 故选： A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算；读懂题意弄清数量关系是解题关键． 4．如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用平移的性质求解、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，推出，利用勾股定理求出即可, 解题的关键是证明． 【详解】解：根据平移可得，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 5．在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是矩形、添一条件使四边形是矩形 【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可． 【详解】A： ， 为平行四边形而非矩形 故A不符合题意 B： ， 为平行四边形而非矩形 故B不符合题意 C： ∴∥ 四边形为矩形 故C符合题意 D： 不是平行四边形也不是矩形 故D不符合题意 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 6．近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，据此列方程． 【详解】解：设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为， 根据题意得，， 故选：A． 7．如图，在中，D、E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，，若，则的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先由三角形中位线定理得到，再由，求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， 故选：D． 8．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据一元二次方程根的定义可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 9．判断关于的方程（是常数，）的根的情况（    ） A．存在一个，使得方程只有一个实数根 B．无实数根 C．一定有两个不相等的实数根 D．一定有两个相等的实数根 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】当k=0时，可求出方程的根；k≠0时，利用，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0即可判断原方程有实数根． 【详解】解：∵k＜1， ∴当k=0时，原方程为-x+1=0， 解得：x=1； 当k≠0时，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 10．如图，在中，，，过点A作边的的垂线交的延长线于点E，点F是垂足，连接，，交于点O．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④．正确的命题为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、利用平行四边形性质和判定证明、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】①先证明△ABF≌△ECF，得AB=EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC=90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；②根据BC=AB，DE=2AB进行推理说明即可；③根据CD=CE，得出CF是△EFD的中线，然后利用等底等高的三角形面积相等即可解决问题；④根据平行四边形的性质得出AD=BC，再根据正方形的性质得出AE=BC即可． 【详解】解：①∵∠BAC= 90°，AB = AC，AF⊥BC， ∴.BF= CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB//DE， ∴∠BAF= ∠CEF，又∠AFB=∠CFE，BF= CF， ∴△ABF≌△ECF(AAS)， ∴AB= CE， ∴四边形ABEC是平行四边形，又∠BAC=90°，AB=AC， ∴四边形ABEC是正方形，故①正确； ②∵AB=CD=CE， ∴DE=2AB， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴BC=AB， ∴DE=BC，故②错误； ③∵CD=CE， ∴CF为△EFD的中线， ∴，故③正确； ④∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD= BC，又四边形ABEC是正方形， ∴AE= BC，AE= 2EF， ∴.AD=2EF，故④正确； 综上，正确的结论有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的中线性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．已知菱形中，，．则菱形的面积为 ． 【答案】24 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答． 【详解】解：∵菱形中，，，， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积．熟练掌握菱形的面积公式是解决问题的关键． 12．已知是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，把代入方程得，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、弦图的计算等知识点，明确弦图中的线段关系成为解题的关键． 设,进而得到，然后再根据“与的面积相等”得到方程求解即可． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知,设，, ∵， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴，即：，解得：（舍弃负值） ∴． 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则 ． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查中位线定理及性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，根据题意得出，，进而得出． 【详解】解：∵分别为、的中点，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 15．已知，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 依据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】 ，是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：2． 16．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等相关知识；由题意证明，所以，则是等腰直角三角形，即可得到；过点F作，求出，得到，推出是等腰直角三角形，则，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，和为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作，如图，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题 17．用指定的方法解方程： （1）（公式法）       （2）（用配方法） 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】⑴利用公式法解方程；⑵利用配方法解方程. 【详解】（1） b2-4ac=81-2×4×8=17 x=,所以. （2） (x-1)2=4,所以. 【点睛】本题考查的是公式法和配方法解方程，熟练掌握这两点是解题的关键. 18．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）依据因式分解法解方程即可 （2）依据因式分解法解方程即可 【详解】（1）原方程化为， ∴或， ∴， （2） ∴， ∴，或 ∴， 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，能结合方程的特性选取合适的方法解一元二次方程是解决此题的关键 19．已知关于x的一元二次方程． (1)若这个方程没有实数根，求k的取值范围． (2)方程的两个根分别为，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式； （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：方程没有实数根， ， ； （2）方程的两个根分别为 ，， ， ， ， ． 20．如图，在菱形中，与相交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质得出，，，结合题意得出，结合，得出四边形是平行四边形，即可得证； （2）由菱形的性质得出，，，推出是等边三角形，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理， 得， 在中，由勾股定理， 得． 21．一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．设降价元． (1)平均每天的销售数量为___________件（用含的式子表示）， (2)该商店每天的销售利润能达到元吗？若能达到，请求出的值：若不能达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用代数式表示式 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用； （1）利用平均每天的销售量=每件降低的价格，即可求出结论； （2）设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，根据该商店每天销售该种商品的利润为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件盈利不少于元，即可得出每件商品应降价元． 【详解】（1）解：件． 故答案为：； （2）解：设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵每件盈利不少于元，即， ， ． 答：当每件商品降价元时，即，该商店每天销售利润为元． 22．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）求证：； （3）若，求k的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）-4. 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得，解不等式即可求出k的取值范围； （2）由一元二次方程根与系数的关系以及k的取值范围对两根之和、两根之积进行判断即可得； （3）根据两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）∵， ，， ； （3） ，即， ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴k的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用相关知识是解题的关键. 23．已知，如图，四边形中，，点是的中点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，点是上的点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是矩形、矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）直接根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可； （2）分三种情况：当时，在上；当时，在上；当时，在上，分别进行讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，是的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形； （2）解：当时，在上，如图，    ， ， 由折叠的性质可得， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 当时，在上，此时四边形为正方形，如图：    ， 当时，在上，此时，而， ∵斜边大于直角边， ∴不可能在边上， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质，用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 24．如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．    (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为． (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于． (3)在（1）中的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3)不可能等于，理由见详解 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，，，，则，令，列出方程即可求出符合题意得解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3）的面积能否等于，只需将，化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以． 【详解】（1）解：设x秒后，的面积为， 此时，，，， 则， 令，即， 整理得：， 解得：或， 当时，，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去， 答：1秒后的面积为； （2）解：由，得， 整理得， 解方程得：（舍去），， 所以2秒后的长度等于； （3）解：的面积不可能等于，理由如下： 设 即，整理得， ∵， ∴方程没有实数根， 所以的面积不可能等于． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 25．如图1，已知四边形是矩形，点是射线上的动点，当点运动到的角平分线上时，连接，交于点，交于点，点在是线段的中点，连接，． (1)证明：； (2)点是线段上一点，连接，，，当时，证明：； (3)在（2）的基础上，是否在射线上存在一点，使得四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当在和射线的交点时，四边形是菱形 【难度】0.65 【知识点】利用矩形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、证明四边形是菱形 【分析】（1）可证得，，从而得出，从而，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点，可证得，从而，从而得出，根据直角三角形的性质得出，从而得出，进一步得出结论； （3）当在和射线的交点是，四边形是菱形，理由如下：设，由（）知，是的垂直平分线，从而，，根据，得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 点在的平分线上， ， ， ， 是的中点， ； （2）证明：如图1， 延长，交的延长线于点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 由（1）得，，是的中点， ， ， ； （3）解：如图1， 当在和射线的交点时，四边形是菱形，理由如下： 设， 由（2）知，，是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 学科网（北京）股份有限公司 $$