专题01 月考模拟卷01（考试范围：第21～22章）-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题01 月考模拟卷01 考试范围：第21-22章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程中一次项的系数是(     ) A． B．2 C． D． 3．在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．将二次函数的图像向右平移2个单位长度，所得函数图像的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程（其中为常数），若点在第四象限内．则该方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 6．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（  ） A．4 B．13 C．4或9 D．13或18 7．初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．下列关于抛物线判断中，错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标 C．与轴的交点为 D．当时，随的增大而减小 9．如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 10．已知点为抛物线（为常数，）上的两点，当，时（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 12．抛物线y＝a与y＝的开口大小相等，开口方向相反，则a＝ ． 13．某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为 ． 14．对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为 ． 15．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，与轴的另一个交点坐标为 ． 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若抛物线上存在三点、、，当，，时，存在，则m的取值范围是． 其中说法正确的有 ．（填写正确结论的序号） 评卷人 得分 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根． 19．函数是二次函数． (1)如果该二次函数的图象与y轴的交点为，那么______； (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象． 20．已知二次函数的图象经过两点， (1)求二次函数解析式． (2)判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 21．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ (3)若获得月利润不低于2000元，试确定销售单价x的取值范围？ 22．如果关于的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 23．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接，．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求的面积． (3)点P是抛物线上的一动点，若的面积是面积的，求点P的坐标 24．已知抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一个动点． ①若，求点的横坐标； ②直线与抛物线的另一个交点，过点作轴，交直线于点．求证：三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 月考模拟卷01 考试范围：第21-22章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】二次函数的识别 【分析】此题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“二次函数的一般式是，其中”逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故本项不符合题意； B、不是二次函数，故本项不符合题意； C、是二次函数，故本项符合题意； D、不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：C． 2．一元二次方程中一次项的系数是(     ) A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】先化为一般式，再根据一元二次方程的相关定义即可得解． 【详解】化为一般式得：， ∴一元二次方程的一次项系数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟记一元二次方程的相关定义是解题关键． 3．在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解二次函数的增减性是关键． 依据题意，抛物线开口向上，然后求出对称轴，再抛物线的性质进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，， 又抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大． 故选：D． 4．将二次函数的图像向右平移2个单位长度，所得函数图像的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据图像的平移变换，“左加右减，上加下减”，根据所得的顶点式，即可求解， 本题考查了图像的平移变换，解题的关键是：熟记变换规则． 【详解】解：将二次函数的图像向右平移2个单位长度，得：， 平移后的函数图像顶点坐标为：， 故选：． 5．已知关于的一元二次方程（其中为常数），若点在第四象限内．则该方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知点所在的象限求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况和由点所在象限得出坐标特点，根据点在第四象限，可得，，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 6．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（  ） A．4 B．13 C．4或9 D．13或18 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用 【分析】利用因式分解解方程得到三角形的第三边长为4或9，然后计算三角形的周长． 【详解】解： ， ， 解得：或者， 即第三边长为9或4， 边长为9，3，6不满足三角形三边关系； 而4，3，6能构成三角形， ∴三角形的周长为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及三角形三边关系，理解三角形三边关系是解题的关键． 7．初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有名同学， ∴每名同学要送出张； 又∵全班同学是互送照片，总共送的张数是1260， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题的关键． 8．下列关于抛物线判断中，错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标 C．与轴的交点为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小； 综上：只有选项D是错误的， 故选：D． 9．如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键． 根据抛物线与直线交于M，N两点，可得方程有两个不等的负实数根，从而可判断． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，点M，N在第二象限， ∴方程有两个不等的实数根，且两个根都是负数， 即方程有两个不等的负实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点，且交于x轴的负半轴． 故选：A 10．已知点为抛物线（为常数，）上的两点，当，时（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是二次函数的增减性的灵活运用，当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当时，此时，即可判定C；若，则点A、B在对称轴异侧或右侧，即可判定D．灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 【详解】解：由（a为常数，）知，其开口向上，对称轴为， 当时，，且，,则， A．当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，故， 故A错误，不符合题意； B．若，则点A、B在对称轴异侧或左侧， 当A、B在对称轴异侧时，则，解得：； 当A、B在对称轴左侧时，则，解得：， 综上，，故B错误，不符合题意； C．当时，则，此时， ∴， 故C错误，不符合题意； D．当时，，， 则点A、B在对称轴异侧或右侧， 当A、B在对称轴异侧时，则，解得：； 当A、B在对称轴右侧时，则， 综上，，则正确；故D正确，符合题意； 故选：D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程，一次项系数与常数项相等， ， 解得：， 故答案为：1． 12．抛物线y＝a与y＝的开口大小相等，开口方向相反，则a＝ ． 【答案】/﹣0.5 【难度】0.94 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】两个抛物线的开口大小相等、方向相反时，其二次项系数互为相反数． 【详解】解：∵抛物线y＝a与y＝的开口大小相等，开口方向相反 ∴a． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，a决定抛物线的开口大小和开口方向． 13．某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识-增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 【详解】解：设2月份、3月份平均增长率为x，那么2，3月份的印刷书籍分别是， 根据题意，可得． 故答案为：． 14．对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为 ． 【答案】或2 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：， 整理可得， 解得，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 15．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】根据函数表达式可求出对称轴为，根据对称轴等于即可求解，本题主要考查二次函数对称轴，二次函数与轴交点的关系，掌握对称轴的计算方法是解题的关键． 【详解】解：已知抛物线， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为，设另一个交点坐标为， ∴，解得，， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若抛物线上存在三点、、，当，，时，存在，则m的取值范围是． 其中说法正确的有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①③ 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等． 由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；由题意可得，且，，且离对称轴最远，离对称轴最近，从而得到，，又，，因此，，求解即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵当，，时，存在， ∴，且，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 解得，故④错误． 综上所述，说法正确的有①③． 故答案为：①③ 评卷人 得分 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的相应解法是解决问题的关键． （1）根据解一元二次方程的方法步骤，选择配方法求解即可得到答案； （2）根据解一元二次方程的方法步骤，选择因式分解法求解即可得到答案 【详解】（1） 移项得： 配方得： 可得： 直接开平方得： 解得：， （2） 移项得： 提公因式得： ， ， 18．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程（）的根与系数的关系． （1）先根据方程有两个不相等的实数根得出，解之可得； （2）在以上所求的范围内取一值，如，再解方程即可得． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． （2）解：取，此时方程为， 解得：． 19．函数是二次函数． (1)如果该二次函数的图象与y轴的交点为，那么______； (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象． 【答案】(1) (2)抛物线与x轴的交点分别为；抛物线顶点的坐标为 (3)见详解 【难度】0.85 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征，关键是求出函数解析式． （1）由抛物线与y轴交于，将代入抛物线解析式，即可求出m的值； （2）令，求出的值，再配方后找出顶点坐标，即可作答； （3）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出对应点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象； 【详解】（1）解：∵该函数的图象与y轴交于点， ∴把代入解析式得：， 解得， 此时 故答案为：； （2）解：依题意，当时， 则 故抛物线与x轴的交点分别为； ∵ 所以抛物线顶点的坐标为； （3）解：由（1）可知函数的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； 列表如下： 描点，连线，画图如下： 20．已知二次函数的图象经过两点， (1)求二次函数解析式． (2)判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在二次函数的图象上 【难度】0.85 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】（1）解：将、代入中， 得：，解得：， 该二次函数的解析式为． （2）当时，， 点在这个二次函数的图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 21．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ (3)若获得月利润不低于2000元，试确定销售单价x的取值范围？ 【答案】(1)（且x为正整数） (2)65元，最大月利润为2250元 (3) 【难度】0.65 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数与不等式的实际应用，依据题意建立等式是解题关键． （1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：元，每月的销售量为，根据利润（售价进价）销售量，即可解答； （2）由（1）知函数关系式，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）， 则每件商品的利润为：元， 总销量为：件， 商品利润为： ， ． ∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元， ∴且x为正整数； （2）解：， ， 当时，最大月利润2250元． 这时售价为（元）． （3）解：当时，即 解得：， ， 当时， 则． 22．如果关于的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)是 (2)26或5 (3)13或 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义，然后把代入所求的代数式中进行分式的运算即可； （3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值． 【详解】（1）， ， ， 所以， 则方程是“倍根方程”； （2）， 或， 解得， ∵是“倍根方程”， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； （3）根据题意，设方程的根的两根分别为， 根据根与系数的关系得 ， 解得 或， ∴m的值为13或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了阅读理解能力． 23．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接，．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求的面积． (3)点P是抛物线上的一动点，若的面积是面积的，求点P的坐标 【答案】(1) (2)8 (3)点的坐标为、、、 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）先将二次函数解析式化为顶点式，由此可得顶点D的坐标，再根据A、B两点坐标求得AB的长，由此即可求得的面积； （3）利用的面积得出的面积，进而求出点纵坐标，由此即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）∵ ， ∴顶点， 点，点， ， ； （3）的面积是面积的， ， ， ， 解得：， 点纵坐标为2或， 当点纵坐标为2时，则， 解得：，， 此时点坐标为：或， 当点纵坐标为时，则， 解得：，， 此时点坐标为：或， 综上所述：点的坐标为、、、． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及三角形面积求法等知识，注意运用分类讨论思想是解题关键． 24．已知抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一个动点． ①若，求点的横坐标； ②直线与抛物线的另一个交点，过点作轴，交直线于点．求证：三点共线． 【答案】(1) (2)①或；②见解析 【难度】0.4 【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）①过点作轴，交直线于点，求出的直线解析式，设点P的坐标为，则M的坐标为，从而求出P点坐标； ②设直线的解析式为，点P的坐标为，联立方程组，得，设直线的解析式为，将点代入即可得结论． 【详解】（1）解∶∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）①解∶如图1，过点作轴，交直线于点， 当时，解得， ∴， 设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则M的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴点P横坐标为或； ②证明∶如图2，设直线的解析式为，点P的坐标为， 由得， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上， 即三点共线． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，熟练应用待定系数法求函数解析式，会求直线与抛物线的交点坐标，准确计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$