专题01 函数的基础知识【九大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题01 函数的基础知识 考点类型 知识一遍过 （一）函数的概念 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 【函数概念的解读】 ①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 （二）自变量取值范围 ①关系式为整式时，函数自变量的取值范围为全体实数； ②关系式含有分式时，分式的分母不等于零； ③关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； ④关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； ⑤实际问题中，函数自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。 （三）函数图像的点与解析式之间的关系 将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，则不在。 （四）函数的三种表示方法 （1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。 缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。 （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。 缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。 缺：图像中只能得到近似的数量关系。 考点一遍过 考点1：函数的概念 典例1：（2023春·福建福州·八年级校考期末）下列图形不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）下列各曲线表示的与的关系中，是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中， （填“是”或“不是” 的函数． 【变式3】下列各项：①；②；③；④；具有函数关系（自变量为）的是 ．（填序号） 考点2：求自变量的取值范围 典例2：函数中，自变量x的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】函数的自变量x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数的自变量的取值范围是 【变式3】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 考点3：用描点法画函数图像 典例3：某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【变式1】学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表，则 ， ； … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质： ； (4)根据函数图象填空： ①方程有 个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 【变式2】画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 【变式3】小友同学结合学习一次函数的经验，对函数的图象进行了探究：      (1)列表：把下表补充完整． (2)描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)结合图象，写出函数的一条性质． 考点4：函数解析式的确定 典例4：小明的妈妈给了小明元去买作业本，已知作业本的单价是元，小明购买本作业本，剩余费用为元，则与的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在烧开水时，水温达到水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间和水温的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），水温与时间之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一辆汽车油箱中现存油50升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 ． 【变式3】张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量()与销售额(元)之间的关系如下表： 重量/ 销售额/元 根据表中数据可知，若卖出柚子，则销售额为 元． 考点5：函数图像的识别 典例5：下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：（1）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）；（2）一面冉冉升起的旗子（高度与时间的关系）；（3）足球守门员大脚踢出去的球（高度与时间的关系）；（4）一杯越晾越凉的开水（水温与时间的关系）．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（　　） A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．③④①② 【变式1】匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    【变式3】如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满. 考点6：从函数图像获取信息 典例6：甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数图象如图所示．根据图象得到如下结论，其中错误的是（    ） A．甲的速度是 B．乙比甲早1小时到达 C．乙出发3小时追上甲 D．乙比甲的速度快 【变式1】五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（       ） A．摩天轮旋转一周需要6分钟 B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同 C．小明离地面的最大高度为42米 D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米 【变式2】甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有 ． 【变式3】小明和家人一起驾车从家出发去图书馆，在馆内看书后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图是他们离家的距离y（km）与离开家的时间x（h）的关系图象，当小明和家人离开家 h，他们离家的距离为．    考点7：动点问题的函数图像 典例7：青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1】无人物品派送车现已应用于实际生活中．如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点O处．则无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间关系的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【变式2】如图1，在直角中，，点是的中点，动点从点沿出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为 ． 【变式3】如图（1）所示，动点在长方形的边上，从点出发，以相同的速度，沿着方向运动到点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的图象如图（2）所示，那么长方形的面积是 ． 考点8：求自变量的值或函数值 典例8：当时，函数的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在一定范围内，弹簧的长度与它所挂物体的质量之间的关系是，如果该弹簧最长可以拉伸到，那么它所挂物体的最大质量是 ． 【变式3】设函数，当时， ． 考点9：函数的三种表示方法 典例9：某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在关系式中，下列说法：①是自变量，是因变量；②是变量，它的值与无关；③用关系式表示的不能用图象表示；④与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中说法正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【变式2】声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【变式3】某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表： 数量（件） 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 8 14 20 26 32 … 则售价与数量之间的关系式是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数的基础知识 考点类型 知识一遍过 （一）函数的概念 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 【函数概念的解读】 ①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 （二）自变量取值范围 ①关系式为整式时，函数自变量的取值范围为全体实数； ②关系式含有分式时，分式的分母不等于零； ③关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； ④关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； ⑤实际问题中，函数自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。 （三）函数图像的点与解析式之间的关系 将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，则不在。 （四）函数的三种表示方法 （1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。 缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。 （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。 缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。 缺：图像中只能得到近似的数量关系。 考点一遍过 考点1：函数的概念 典例1：（2023春·福建福州·八年级校考期末）下列图形不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A.该图象符合函数定义，那么是的函数，则A不符合题意； B.该图象不符合函数定义，那么不是的函数，则B符合题意； C.该图象符合函数定义，那么是的函数，则C不符合题意； D.该图象符合函数定义，那么是的函数，则D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，一般地，在一个变化过程中，如果有两个变形和，并且对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，那么我们就把称为自变量，称为因变量，是的函数，熟练掌握此定义是解题的关键． 【变式1】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）下列各曲线表示的与的关系中，是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在确定的唯一的y值与之对应”进行判断即可． 【详解】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是； 其中选项A、B、C均可能会有2个交点，故错误，不符合题意，而选项D中只会有一个交点，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数的定义和图象，理解对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应是解答本题的关键． 【变式2】如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中， （填“是”或“不是” 的函数． 【答案】是 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应， 是的函数． 故答案为：是． 【点睛】本题考查了函数的理解即两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应,正确理解定义是解题的关键． 【变式3】下列各项：①；②；③；④；具有函数关系（自变量为）的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定哪些是函数． 【详解】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值， ∴①y=x2；②y=2x-1④当x取值时，y有唯一的值对应； 而③，例如当x=2时，y=±2，不具有唯一值. 故具有函数关系（自变量为x）的是①②④． 故答案为①②④ 【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 考点2：求自变量的取值范围 典例2：函数中，自变量x的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故选：B ． 【变式1】函数的自变量x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据形如的式子叫作二次根式进行求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件及函数的取值范围，正确理解是解题的关键． 【详解】解：函数有意义， 故， 解得， 故选C． 【变式2】函数的自变量的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查求函数自变量的取值范围，根据算术平方根的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得： 故答案为：. 【变式3】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分母部位零列式计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故答案为：． 考点3：用描点法画函数图像 典例3：某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【答案】(1)下降；海拔高度h； (2)详见解析 (3) (4)该处的海拔高度是4千米 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，描点法画函数图象，列函数关系式，求自变量的值： （1）从表格获取信息作答即可； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）根据题意，列出函数关系式即可； （4）令，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知：随着海拔高度的升高，气温下降，因此自变量是海拔高度h； 故答案为：下降，海拔高度h； （2）描点，连线，画图如下： （3）由表格可知，海拔每上升，气温下降， ∴； （4）令， 解得：， ∴该处的海拔高度是4千米． 【变式1】学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表，则 ， ； … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质： ； (4)根据函数图象填空： ①方程有 个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） (4)①2；② 【分析】（1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论． 【详解】（1）将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． （2）根据表格描点、连线，如图所示： （3）观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． （4）①观察图象可知， 的图像与有两个交点， 故方程有2个解； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 【点睛】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． 【变式2】画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】(1)3，1，-1 (2)见解析 (3)点A、B不在函数的图象上，点C在其图象上 (4)-4 【分析】本题考查了画函数的图象，函数图象上的点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标特征是解题的关键 （1）分别把的值代入函数的解析式，计算求出的值； （2）在平面直角坐标系中描出点、和，再连线即可； （3）分别把点的横坐标代入函数的解析式，计算求出点的纵坐标，再判定即可； （4）把点的坐标代入函数的解析式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：3，1，； （2）解：如图： （3）解：∵当时，； 当时，； 当时，， ∴点不在函数的图象上，点C在其图象上． （4）解：∵点在函数的图象上， ∴，解得． 【变式3】小友同学结合学习一次函数的经验，对函数的图象进行了探究：      (1)列表：把下表补充完整． (2)描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)结合图象，写出函数的一条性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当时取得最大值为 【分析】（1）分别将，代入解析式，求得的值，即可求解； （2）根据（1）的表格，描点连线即可求解； （3）根据函数图象，可得当时取得最大值为． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）   （3）函数的一条性质：当时取得最大值为． 【点睛】本题考查了画函数图象，从函数图形获取信息，熟练掌握描点法画函数图象是解题的关键． 考点4：函数解析式的确定 典例4：小明的妈妈给了小明元去买作业本，已知作业本的单价是元，小明购买本作业本，剩余费用为元，则与的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数关系式的建立，读懂并理解题意并根据题意等量关系建立等量关系式是解题的关键．由题意可得作业本花费为元，进而依据剩余费用等于已有费用元减去作业本花费元建立函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得， 作业本花费：， ； 故选：A． 【变式1】在烧开水时，水温达到水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间和水温的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），水温与时间之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数的关系式，由表知开始时温度为，再每增加2分钟，温度增加，即每增加1分钟，温度增加，可得温度T与时间t的关系式． 【详解】解：∵开始时温度为，每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：， 故选：A． 【变式2】一辆汽车油箱中现存油50升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了列函数关系式，现存油量减去流出的油量即为油箱中剩余油量，据此列函数关系式即可． 【详解】解：油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是， 故答案为：． 【变式3】张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量()与销售额(元)之间的关系如下表： 重量/ 销售额/元 根据表中数据可知，若卖出柚子，则销售额为 元． 【答案】 【分析】本题考查了函数的表示方法，求函数值，由表格可得，再把代入计算即可求解，根据表格列出的函数表达式是解题的关键． 【详解】解：由表格可得，， ∴当时，， 故答案为：． 考点5：函数图像的识别 典例5：下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：（1）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）；（2）一面冉冉升起的旗子（高度与时间的关系）；（3）足球守门员大脚踢出去的球（高度与时间的关系）；（4）一杯越晾越凉的开水（水温与时间的关系）．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（　　） A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．③④①② 【答案】B 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，关键是将文字描述转化成函数图象的能力；根据题干对应图象中变量的变化趋势即可求解． 【详解】解：（1）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故图象②符合要求； （2）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而越来越高，故图象④符合要求； （3）足球守门员大脚开出去的球，高度先增大再减小，故图象①符合要求； （4）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，故图象③符合要求； 排序是：②④①③ 故选：B． 【变式1】匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从函数图象可以看出：段上升较快，段上升最慢，段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是中间最粗，下面其次，上面最细； 故选：D． 【变式2】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    【答案】①②③ 【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键． 【变式3】如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键. 考点6：从函数图像获取信息 典例6：甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数图象如图所示．根据图象得到如下结论，其中错误的是（    ） A．甲的速度是 B．乙比甲早1小时到达 C．乙出发3小时追上甲 D．乙比甲的速度快 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，观察函数图象逐一分析四个结论的正误是解题的关键．由速度=路程÷÷时间，可求出甲的速度，从而得出结论A正确；由，可得出乙比甲早1小时到达，于是结论B正确；由速度=路程÷时间，可求出乙的速度，再用甲出发l小时的路程甲、乙速度差，可求出乙出发2小时追上甲，从而结论C错误、结论D正确；即可得出结论． 【详解】解：甲的速度是，故选项A正确，但不符合题意； ∵， ∴乙比甲早1小时到达，故选项B正确，但不符合题意； ∵乙的速度是， ， ∴乙出发2小时追上甲，故选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 【变式1】五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（       ） A．摩天轮旋转一周需要6分钟 B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同 C．小明离地面的最大高度为42米 D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答． 对于选项A，由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可；对于选项B，根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米；对于选项C，观察图得出，抛物线的顶点对应的高度为45米，与42米不符；对于选项D，从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为3米，即可当得到结论． 【详解】解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟．． ∴A选项正确． 由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同． ∴B选项正确． 抛物线的顶点对应的高度为45米． ∴C选项错误，符合题意． 摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点． ∴D选项正确． 故选：C． 【变式2】甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据函数图象，获取需要数据，逐个判断即可． 【详解】解：由图可知A，B两城相距，故①正确，符合题意； 甲车的平均速度，乙车的平均速度，故②错误，不符合题意； 由图可知乙车先出发，后到达B城，故③错误，不符合题意； 由图可知甲车在追上乙车，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①④， 故答案为：①④． 【变式3】小明和家人一起驾车从家出发去图书馆，在馆内看书后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图是他们离家的距离y（km）与离开家的时间x（h）的关系图象，当小明和家人离开家 h，他们离家的距离为．    【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，分去姑妈家途中和返回途中两种情况解答即可求出． 【详解】解：驾车去姑妈家的速度是： ∴当小明和家人离开家或小时时，他们离家的距离为 故答案为：或． 考点7：动点问题的函数图像 典例7：青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点函数图象．设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从P，Q两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B，故选：D． 【变式1】无人物品派送车现已应用于实际生活中．如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点O处．则无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间关系的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，分三个阶段：在线段上运动时，距离h随着时间的推移越来越大，在半圆弧上运动时，h随着时间的推移保持不变，在线段上运动时h随着时间的推移越来越小，据此可得答案． 【详解】解：在线段上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移越来越大，当在半圆弧上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移保持不变，在线段上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移越来越小， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 【变式2】如图1，在直角中，，点是的中点，动点从点沿出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设点的运动路程为，根据图象可得，再利用函数图象当取最大值时，有最大值，此时点与点重合时可得,最后利用三角形面积公式解答即可． 【详解】解：当点P在上运动时，设点的运动路程为， ∵， 即 ∴由图象可知：当时，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴当取最大值时，有最大值，此时点与点重合时， ∴由图象可知：当时，， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，利用函数图象得出的长是解题的关键． 【变式3】如图（1）所示，动点在长方形的边上，从点出发，以相同的速度，沿着方向运动到点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的图象如图（2）所示，那么长方形的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，根据题意结合图象得出、的长度，再求出面积即可． 【详解】解：由题知，当点在上运动时，不存在， ∴， 当点在上运动时，的面积逐渐增大，到时最大， ∴， 所以长方形的面积为， 故答案为：． 考点8：求自变量的值或函数值 典例8：当时，函数的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入中计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：D． 【变式1】某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，根据题意当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解． 【详解】解：根据题意，当尺码增加，则衣长增加， 到，增加了个尺码， ∴， ∴他的衣长可能是； 故选：B． 【变式2】在一定范围内，弹簧的长度与它所挂物体的质量之间的关系是，如果该弹簧最长可以拉伸到，那么它所挂物体的最大质量是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，将代入求出x的值即可． 【详解】解：当时，得， 解得， ∴它所挂物体的最大质量是， 故答案为：， 【变式3】设函数，当时， ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求函数值，选择恰当的函数关系式是解答本题的关键．根据自变量的值选择恰当的函数关系式，代入计算即可． 【详解】解： ， ， 当时，， 故答案为：4． 考点9：函数的三种表示方法 典例9：某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 【变式1】在关系式中，下列说法：①是自变量，是因变量；②是变量，它的值与无关；③用关系式表示的不能用图象表示；④与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中说法正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义可知，为自变量，为函数，也叫因变量；取全体实数，随的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法． 【详解】解：①是自变量，是因变量，原题中说法正确；②是变量，的值随值的变化而变化，故原题中说法错误；③用关系式表示的可以用图象表示，故原题中说法错误；④与的关系还可以用列表法和图象法表示，原题中说法正确， 综上所述①④正确， 故选：． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的三种表示方法，熟知在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，是解答本题的关键． 【变式2】声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 【变式3】某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表： 数量（件） 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 8 14 20 26 32 … 则售价与数量之间的关系式是 ． 【答案】/ y=2+6x 【分析】观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6，所以x件的销售总价y=8+6（x-1），化简即可． 【详解】解：观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6， ∴y=8+6（x-1）=6x+2． 故答案为：y=6x+2． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，根据表格，找到y随自变量x的变化规律，写出函数的关系式，这是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$