专题01 月考模拟卷01（考试范围：第11-12章）——2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题01 月考模拟卷01 考试范围：第11-12章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，中，D为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（    ）    A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 3．如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上，若，则的长为（　　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，点A、B分别在锐角的边、上，射线在的内部，点D、E在射线上，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 5．小明和小红两位小朋友在做拼三角形的游戏，小明手上有两根木棒长分别为和，小红手上有四根木棒，长度如下：，，，，小明从小红手中选一根要能拼成一个三角形，小明应选长为的木棒（　　） A． B． C． D． 6．如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（    ）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 8．在和中，其中，则下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中能够判定这两个三角形全等的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．多边形的每一个内角都等于它相邻外角的5倍，则该多边形的边数是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 10．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心任意长为半径，在轴负半轴，轴的正半轴上分别截取，再分别以为圆心大于长为半径作弧，两弧相交于，若的坐标为，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，已知点、、在同一条直线上，请写出图中的一个外角： ．    12．已知：如图，分别在上，若，，，，则的度数是 ．    13．甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 cm 2 乙 cm 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 (填写所有正确结论的序号) ①若第3轮甲添加cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，则点C的坐标为 ． 15．如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ．      16．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 评卷人 得分 三、解答题 17．一个多边形的所有内角与它的所有外角之和是． (1)求该多边形的边数． (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 18．如图，在中，，，平分．求和的度数． 19．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 20．如图，点B，C，F，E在同一条直线上，． (1)若，，求的度数； (2)若，求证：． 21．如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC=∠ABD=90°，点E为AD边上的一点，且AC=AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F. (1)求证：△AGE≌△AFC； (2)若AB=AC，求证：AD=AF+BD． 22．如图，，是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的面积． 23．除了教材例题提供的作角平分线的办法，现在还有一种作法如下： “在已知∠AOB的两边分别截取OM＝ON，OP＝OQ（点M与点P在同一边上），连接MQ和NP交于D点，画射线OD，射线OD即为∠AOB平分线”． (1)请在图中按此作法作出射线OD； (2)试说明△OPN≌△OQM的理由； (3)图中还能判断哪些三角形全等？这些全等三角形中，哪一对也能说明射线OD是∠AOB平分线？依此思路说明此作法正确的理由． 24．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．       25．在平面直角坐标系中，点、点分别在轴和轴的正半轴上，并且．点在第一象限，，且．    (1)如图1，点的坐标为______； (2)如图2，点运动到的位置，点运动到的位置，保持，求的值； (3)如图3，点是线段上一点，为中点，作，，连接，判断与的关系，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 月考模拟卷01 考试范围：第11-12章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.65 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 2．如图，中，D为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（    ）    A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】D 【难度】0.94 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，说法正确，故本选项不符合题意； B、中，是上的高，说法正确，故本选项不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，故本选项不符合题意； D、中，是上的高，说法错误，应为上的高，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 3．如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上，若，则的长为（　　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，点A、B分别在锐角的边、上，射线在的内部，点D、E在射线上，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】由可得，再结合三角形内角和和外角性质推理即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练找到角度关系是解题的关键． 5．小明和小红两位小朋友在做拼三角形的游戏，小明手上有两根木棒长分别为和，小红手上有四根木棒，长度如下：，，，，小明从小红手中选一根要能拼成一个三角形，小明应选长为的木棒（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】设选择的木棒长为，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：由题意得，即， 选择木棒长度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键． 6．如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． 由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 7．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（    ）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【难度】0.85 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解“角边角”的内容是解题的关键． 8．在和中，其中，则下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中能够判定这两个三角形全等的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据全等三角形的判定方法：，，，，结合选项进行判定． 【详解】解：在和中，其中， ① ，，，可根据判定； ② ，，，可根据判定； ③，，，不能判定； ④，，，可根据判定； ⑤ ，，，不能判定； 综上，能判定的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，，，，．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 9．多边形的每一个内角都等于它相邻外角的5倍，则该多边形的边数是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解答本题的关键． 设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设外角为，则相邻的内角为， 由题意得，， 解得：， ∵多边形的外角和为， ， ∴这个多边形的边数为12． 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心任意长为半径，在轴负半轴，轴的正半轴上分别截取，再分别以为圆心大于长为半径作弧，两弧相交于，若的坐标为，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据已知作图过程可得点在的平分线上，根据角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论. 【详解】由已知作图过程可知， 点在的平分线上， 根据角平分线的性质， 点的横纵坐标互为相反数， 即， ∴， 故选：B. 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用角平分线的性质是解决本题的关键. 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，已知点、、在同一条直线上，请写出图中的一个外角： ．    【答案】 【难度】0.94 【分析】根据三角形外角的定义“三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角”即可求解，理解此定义是解题关键． 【详解】解：根据外角的定义得：为的一个外角， 故答案为：． 12．已知：如图，分别在上，若，，，，则的度数是 ．    【答案】/85度 【难度】0.85 【分析】根据证，推出，求出的度数，根据三角形的外角性质得出，代入求出即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 13．甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 cm 2 乙 cm 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 (填写所有正确结论的序号) ①若第3轮甲添加cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 【答案】①③ 【难度】0.65 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵如果甲添加cm， 又cm，cm， ∴（SSS）， ∴乙获胜，故结论①正确； ②∵如果甲添加， 又， ∴是直角三角形，且， ∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错误， ③如果第二条条件修改为，甲在第三条填入，那么乙可能获胜，故结论③正确． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，则点C的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， ∴ 故答案为：． 15．如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ．      【答案】5 【难度】0.94 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图，    平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 16．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【难度】0.65 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解一元一次方程等知识，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度，利用分类讨论思想，由分类情况列方程解决问题是本题的关键． 【详解】解：设点运动的时间为秒，则，， ， 当，时，与全等，此时，，解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米秒）， 当，时，与全等，此时，，解得， 点的运动速度为（厘米秒）， 故答案为：2或3． 评卷人 得分 三、解答题 17．一个多边形的所有内角与它的所有外角之和是． (1)求该多边形的边数． (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【答案】(1)7 (2) 【难度】0.85 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是： （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可； （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用任意多边形的外角和是进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7； （2）由（1）可得该多边形是正七边形， 每一个外角的度数． 18．如图，在中，，，平分．求和的度数． 【答案】， 【难度】0.85 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关的知识．先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最 后 根 据 三 角 形 的 外 角 性 质 求 出 ． 【详解】解： ，， ， 平分， ， ． 19．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；首先得出，再利用证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴， ∴． 20．如图，点B，C，F，E在同一条直线上，． (1)若，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了三角形内角和外角的性质、平行线的性质和判定，掌握并灵活运用相关知识是解题关键． （1）根据外角的性质有，结合条件即可得解； （2）由平行线的性质易得，再由外角的性质有，，根据角的转化易得，从而． 【详解】（1）解：，， ， 是的外角，， ； （2）证明：， ． 、分别是、的外角， ，， ， ， ． 21．如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC=∠ABD=90°，点E为AD边上的一点，且AC=AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F. (1)求证：△AGE≌△AFC； (2)若AB=AC，求证：AD=AF+BD． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【难度】0.85 【分析】(1)由AF⊥AD，∠CAB=90°，可得∠CAF=∠EAG，由AC=AE，可得∠ACF=∠AEG，根据AAS即可证明结论； (2)如图，在AD上截取AH=AE，交CE于点M，证明△CAF≌△BAH，从而可得∠ABH=∠ACF，继而可得∠MGB+∠ABH=90°，从而可得∠MHE+∠HEM=90°，再根据∠ACF=∠HEM，∠ABH+∠HBD=90°，可得到∠MHE=∠HBD，从而可得HD=BD，再根据AD=AH+DH，即可求得答案. 【详解】(1)∵AF⊥AD， ∴∠FAE=90°， ∵∠CAB=90°， ∴∠CAB-∠FAB=∠FAE-∠FAB， 即∠CAF=∠EAG， ∵AC=AE， ∴∠ACF=∠AEG， ∴△AGE≌△AFC(AAS)； (2)如图，在AD上截取AH=AE，交CE于点M， 又∵∠CAF=∠BAH，AC=BC， ∴△CAF≌△BAH(SAS)， ∴∠ABH=∠ACF， ∵∠CGA=∠MGB，∠ACF+∠CGA=90°， ∴∠MGB+∠ABH=90°， ∴∠BMG=90°， ∴∠HME=∠BMG=90°， ∴∠MHE+∠HEM=90°， 又∵∠ACF=∠HEM，∠ABH+∠HBD=90°， ∴∠MHE=∠HBD， ∴HD=BD， ∵AD=AH+DH， ∴AD=AF+BD. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键. 22．如图，，是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)60 【难度】0.65 【分析】此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，以关键是掌握角平分线的性质和判定定理． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）根据全等三角形的性质可得，，可求，再利用梯形的面积公式可得答案． 【详解】（1）证明：过点作于点， 平分 是的中点， 又∵， ∴平分．    （2） 平分， ∵ 同理可得：， ， 23．除了教材例题提供的作角平分线的办法，现在还有一种作法如下： “在已知∠AOB的两边分别截取OM＝ON，OP＝OQ（点M与点P在同一边上），连接MQ和NP交于D点，画射线OD，射线OD即为∠AOB平分线”． (1)请在图中按此作法作出射线OD； (2)试说明△OPN≌△OQM的理由； (3)图中还能判断哪些三角形全等？这些全等三角形中，哪一对也能说明射线OD是∠AOB平分线？依此思路说明此作法正确的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图中还能判断：△OND≌△OMD，△OPD≌△OQD，△NDQ≌△MDP，其中，△OND≌△OMD或△OPD≌△OQD也能说明射线OD是∠AOB平分线．见解析 【难度】0.65 【分析】（1）按照题目要求作出图形即可； （2）利用SAS即可证明△OPN≌△OQM； （3）先利用AAS判断△NDQ≌△MDP，推出MD=ND，DP=DQ，再利用SSS证明△OND≌△OMD或△OPD≌△OQD． 【详解】（1）解：射线OD即为所求作， ； （2）证明：由作图知：OM=ON，OP=OQ，且∠PON=∠QOM， ∴△OPN≌△OQM(SAS)； （3）解：∵△OPN≌△OQM， ∴∠OMD=∠OND， ∵OM=ON，OP=OQ， ∴PM=PN， 在△NDQ和△MDP中， ∠PMD=∠QND，∠MDP=∠NDQ，PM=PN， ∴△NDQ≌△MDP(AAS)； ∴MD=ND，DP=DQ， 在△OND和△OMD中， ON=OM，DO=DO，DN=DM， ∴△OND≌△OMD(SSS)， ∴∠NOD=∠MOD，即OD是∠AOB的角平分线； 在△OQD和△OPD中， OQ=OP，DO=DO，DQ=DP， ∴△OQD≌△OQD(SSS)， ∴∠QOD=∠POD，即OD是∠AOB的角平分线； 图中还能判断：△OND≌△OMD，△OPD≌△OQD，△NDQ≌△MDP， 其中，△OND≌△OMD或△OPD≌△OQD也能说明射线OD是∠AOB平分线． 【点睛】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．       【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）见解析 【难度】0.4 【分析】（1）由条件可证明，可得，可得； （2）由条件可知，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论； （3）过E作于M，的延长线于N．由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）如图1，    ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）． 如图2，    证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中． ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长，过D作于M，的延长线于N，如图所示：    ∴， 由（1）和（2）的结论可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴I是的中点． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25．在平面直角坐标系中，点、点分别在轴和轴的正半轴上，并且．点在第一象限，，且．    (1)如图1，点的坐标为______； (2)如图2，点运动到的位置，点运动到的位置，保持，求的值； (3)如图3，点是线段上一点，为中点，作，，连接，判断与的关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)8 (3)，证明见解析 【难度】0.4 【分析】（1）求出，过点P作于M，轴于N，如图1所示：则四边形是矩形，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）由证得，得，证出，即可得出结果； （3）延长到S，使，连接，由证得，得，，由SAS证得，得，，由，推出，则． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点P作于M，轴于N，如图1所示：    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）由（1）得， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 延长到S，使，连接，如图3所示：    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、四边形内角和、三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关 学科网（北京）股份有限公司 $$