微专题02 含30°角的直角三角形通关专练-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

微专题02 含30°角直角三角形通关专练 一、单选题 1．如图，在中，，则是（   ） A．4 B． C． D．16 2．如图，中，，，于，，的长度是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，，，则（　　）      A．2 B．1.5 C． D．1 4．在以BC为底边的等腰三角形ABC中，两底角为75°，AC＝8，则△ACB的面积是（　　） A．12 B．24 C．18 D．16 5．如图，在 中， ， ，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边 ， 于点 ， ；再分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 .设 ， 的面积分别为 ， ，则 的值为（　　）   A． B． C． D． 6．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点．若，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，与都是等边三角形，，，三点在同一条直线上，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝10，CP＝5，则∠B的度数是(    ) A．45° B．30° C．60° D．15° 9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M，N，且，，等边的顶点A，B分别在线段上，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足(    ) A．0°＜∠B＜15° B．∠B=15° C．15°＜∠B＜30° D．∠B=30° 11．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是(    ) A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于D、E．EF⊥AC，垂足为F，连接AE，则AF=（    ） A．AD B．AE C．AC D．DE 13．如图，在中，，，，点是直线上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，当线段的长度最小时，线段的长度为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 14．如图，在等腰三角形中，，边上的垂直平分线分别交，于点和点，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C． D．4 15．如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（    ） A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时， 二、填空题 16．如图，中，，，，P是边上的动点，则的取值范围是    17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＋AB＝6cm，则BC＝ cm． 18．如图，长方形纸片中，，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在边上的处，折痕交于点，那么 ． 19．如图，在四边形中，，，，则的取值范围是 ．    20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝ ． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点于，且，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ． 22．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，ED垂直平分AC，交AC于点D，交BC于点E，BF⊥AE于点F，若EF=1，则BC的长为 ．    23．如图，一副直角三角板的一条边重合，将其置于平面直角坐标系中，其中轴，，，若点D的坐标为，则点C的坐标为 ． 24．如图，在中，，，，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 . 25．已知为等边三角形，，在边所在直线上，点在边所在直线上，且，若，则的长为 ． 三、解答题 26．如图，D，E分别是AB，AC中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，CD与BE交于点F． (1)求证：AC＝AB； (2)猜想CF与DF的数量关系，并证明． 27．已知:如图所示，中，，点在的垂直平分线上. （1）证明:. （2）如果，试探究和的数量关系，并说明理由. 28．如图，在中，，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若E是AB的中点，，求BD的长． 29．在中，，点D是射线上的动点，连接，以为腰作等腰，使，且在上方，，连接： （1）如图1，若，过点D作DF//AB交于点F，则_______度； （2）如图2，若，判断与的大小关系？并说明理由！ （3）如图3，若为等边三角形，，当是直角三角形时，直接写出的长度． 30．已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD=CE． （1）如图1，AD≠CD，求证：BF=EF； （2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD=CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形． 31．如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，． (1)若，求点到的距离； (2)若，，求的周长． 32．如图，等边△ABC的边长为10cm，点D是边AC的中点，动点P从点C出发，沿BC的延长线以2cm/s的速度做匀速运动，设点P的运动时间为t（秒），若△BDP是等腰三角形，求t的值． 33．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且，交于点P，，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 34．（1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证； （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度． 35．如图，在等边△ABC中，厘米，厘米.如果点M以3厘米/秒的速度运动，设运动时间为t秒． (1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等． ①请用含t的式子表示 ， ； ②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？ (2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少？(直接写出答案)    学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 含30°角直角三角形通关专练 一、单选题 1．如图，在中，，则是（   ） A．4 B． C． D．16 【答案】A 【分析】根据含角的直角三角形的性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，能熟记含角的直角三角形的性质是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角是，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2．如图，中，，，于，，的长度是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据，，可求出，由可知，再利用含角的直角三角形的性质可以求出以及的长度，从而求出的长度． 【详解】 ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形中，角所对的直角边的长度是斜边长的一半，准确的利用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 3．如图，，，则（　　）      A．2 B．1.5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：如图，作于，    ，，， ，， ， ，， ，， ， 故选：A． 4．在以BC为底边的等腰三角形ABC中，两底角为75°，AC＝8，则△ACB的面积是（　　） A．12 B．24 C．18 D．16 【答案】D 【分析】求出AB和∠A，根据含30°角直角三角形性质得出BD=AB，代入面积公式求出答案即可． 【详解】解：如图， ∵AB=AC，AC=8， ∴AB=8， ∵ ∴ ∵BD是高， ∴∠BDA=90°， ∵∠A=30°， ∴BD=AB=4， ∴△ABC的面积=×8×4=16， 故选：D． 【点睛】本题考查了含30°角直角三角形性质和等腰三角形的性质的应用，能求出BD=AB是解此题的关键． 5．如图，在 中， ， ，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边 ， 于点 ， ；再分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 .设 ， 的面积分别为 ， ，则 的值为（　　）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知： 是 的平分线，设 ，在 中， ， ，则在 中， ，分别表示出，即可求解． 【详解】解：根据作图过程可知： 是 的平分线， ∴ ， ∵， ， ∴ ∴ ， ∴ ∴ 设 ，则在 中， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的作图，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 6．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点．若，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，然后结合角平分线的定义和等腰三角形的判定得出，然后利用含30°的直角三角形的性质得出AF的长度，进而得到BF的长度，最后利用即可解答． 【详解】根据题意可知，AF平分 ， ， ． ∵AF平分， ， ， ． ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，角平分线的尺规作图及定义，等腰三角形的判定，含30°的直角三角形的性质，线段的和，掌握这些性质和定理是解题的关键． 7．如图，与都是等边三角形，，，三点在同一条直线上，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与都是等边三角形，得到∠ACB=∠BAC=∠DCE=，DC=DE，求出∠CAD=∠BAD-∠BAC=，∠ADC =，即可求得DC=2AC=23=6得到答案． 【详解】∵与都是等边三角形， ∴∠ACB=∠BAC=∠DCE=，DC=DE，AB=AC=3 ∵， ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=， ∵∠ACD=-∠ACB-∠DCE=， ∴∠ADC=-∠ACD=， ∴DC=2AC=23=6， ∴DE=DC=6， 故选：D． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，直角三角形30度角所对的边等于斜边的一半，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝10，CP＝5，则∠B的度数是(    ) A．45° B．30° C．60° D．15° 【答案】B 【分析】在△ACP中，由已知可推导得出∠CAP=30°，再由角平分线的定义可得∠CAB=2∠CAP=60°，再由直角三角形两锐角互余即可得答案. 【详解】在△ACP中，∠C=90°，AP=10，CP=5，∴∠CAP=30°， ∵AP平分∠CAB，∴∠CAB=2∠CAP=60°， ∴∠B=90°-∠CAB=30°， 故选：B. 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半的逆用，熟练掌握相关知识是解题的关键. 9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M，N，且，，等边的顶点A，B分别在线段上，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明为直角三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是求出的长． 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足(    ) A．0°＜∠B＜15° B．∠B=15° C．15°＜∠B＜30° D．∠B=30° 【答案】D 【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质，求证ED=CD，再利用BD：DC=2：l，求证出，即可． 【详解】过点D作DE⊥AB． ∵在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，∴ED=CD． ∵BD：DC=2：l，DE⊥AB，∴，∴∠B=30°． 故选D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形和角平分线的性质等知识点，此题的关键是作好辅助线，求证出，此题难度不大，属于基础题． 11．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是(    ) A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】D 【分析】先求出∠ACD=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】在Rt△ABC中， ∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等）， ∵AD=2cm， 在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm， 在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm． ∴AB的长度是8cm． 故选D 【点睛】本题主要考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．熟记性质是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于D、E．EF⊥AC，垂足为F，连接AE，则AF=（    ） A．AD B．AE C．AC D．DE 【答案】B 【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B，再求得∠FAE=60，∠AEF=30，利用含30度角的直角三角形的性质即可得到AF=AE． 【详解】∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C==40°， ∵AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E， ∴BE=AE， ∴∠BAE=∠B=40°， ∴∠FAE=∠BAC-∠BAE=100°-40°=60°， ∵EF⊥AC， ∴∠AFE=90°， 则∠AEF=30°， ∴AF=AE． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 13．如图，在中，，，，点是直线上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，当线段的长度最小时，线段的长度为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键．在的左侧作等边三角形，连接、、、，再证明 可得 再利用时，最短，从而可得答案． 【详解】解： 在的左侧作等边三角形，连接、、、， 则 ∴， ∴点、关于对称， ∴，， 均为等边三角形， ，， ， ， ， ∴当时，最小，即此时最小， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：A． 14．如图，在等腰三角形中，，边上的垂直平分线分别交，于点和点，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】设∠C=x．利用三角形内角和定理构建方程求出x，解直角三角形求出EC即可解决问题． 【详解】设， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15．如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（    ） A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时， 【答案】C 【分析】过点作于点，于点，于点，证明，得出，，求出，得出是一个定值；根据，得出，说明四边形的面积是一个定值；根据，得出当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，的周长最小；根据时，，得出，求出，求出一定与不垂直． 【详解】解：A、过点作于点，于点，于点，如图所示： 点是的平分线上的一点， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即是一个定值；当、关于对称时，，不固定， 故错误； B、， ， 即， 四边形的面积是一个定值， 四边形的面积是一个定值，当、关于对称时，，不固定， 四边形的面积不固定， 故错误； C、如图， ，， ，， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 当最小时，的周长最小， 垂线段最短， 当时，最小，的周长最小， 故正确； D、时，， ， 一定与不垂直，故错误． 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，证明． 二、填空题 16．如图，中，，，，P是边上的动点，则的取值范围是    【答案】 【分析】利用垂线段最短分析可知：的最小值为3，根据含角的直角三角形的性质得出，接下来可知的最大值为，由此可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3， ∵在中，，，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂线段最短，含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＋AB＝6cm，则BC＝ cm． 【答案】2 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求得，代入已知条件即可求得的值 【详解】△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＋AB＝6cm， cm， 故答案为：2 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 18．如图，长方形纸片中，，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在边上的处，折痕交于点，那么 ． 【答案】15 【分析】根据直角三角形的性质可求得∠的度数，进而根据△BCE≌△BC′E，求得∠EBC=∠EBC′，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得： BC=， ∵BC=2CD，AB=CD， ∴=2AB， ∵∠A=90°， ∴∠AC′B=30°， ∴∠C′BC=30°， ∵△BCE≌△BC′E， ∴∠EBC=∠EBC′=15°． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了图形的折叠变换和30°角的直角三角形的性质，正确求得=30°是解题的关键． 19．如图，在四边形中，，，，则的取值范围是 ．    【答案】4＜AD＜16 【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断； 【详解】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．    在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=8， ∴AE=2AB=16， 在Rt△ABF中，AF=AB=4， ∴AD的取值范围为4＜AD＜16， 故答案为：4＜AD＜16． 【点睛】此题考查勾股定理、直角三角形30度角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝ ． 【答案】6． 【分析】作DE⊥AB于E，先利用角平分线的性质求得DE的长，再利用30°角的直角三角形的性质求出BD的长，问题即得解决. 【详解】解：作DE⊥AB于E，如图， ∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2， ∵DE⊥AB，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝4， ∴BC＝CD+BD＝6. 故答案为6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和直角三角形的性质，属于常考题型，作DE⊥AB于E是解题的关键. 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点于，且，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ． 【答案】31.5 【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，，A2的横坐标为， A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A6的横坐标． 【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=OB1=， 即A1的横坐标为=， ∵°， ∴∠OB1D=30°， ∵A1B2//x轴， ∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°， ∴∠A1B1B2=90°， ∴A1B2=2A1B1=2， 过A2作A2B⊥A1B2于B,则A1B=A1B2=1， 即A2的横坐标为+1=， 过A3作A3C⊥A2B3于C， 同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=A2B3=2， 即A3的横坐标为+1+2=， 同理可得,A4的横坐标为+1+2+4=， 由此可得,An的横坐标为， ∴点A6的横坐标是， 故答案为． 【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A的系列点的规律． 22．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，ED垂直平分AC，交AC于点D，交BC于点E，BF⊥AE于点F，若EF=1，则BC的长为 ．    【答案】4 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=60°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则有∠EAC=∠C=30°，进而∠BAE=30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°， ∴∠BAC=60°， ∵ED垂直平分AC， ∴AE=CE， ∴∠EAC=∠C=30°， ∴∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°，AC=2AB， ∵BF⊥AE，EF=1， ∴AB=2EF=2， ∴AC=2AB=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、掌握垂直平分线的性质，熟知直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答的关键． 23．如图，一副直角三角板的一条边重合，将其置于平面直角坐标系中，其中轴，，，若点D的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】延长CB交x轴于点E，由题意易得CE⊥x轴，∠ADO=45°，∠ADB=90°，则有△BED是等腰直角三角形，由点D的坐标可得AO=OD=3，则有，进而问题可求解． 【详解】解：延长CB交x轴于点E，如图所示： ∵AB∥x轴，△ADB是等腰直角三角形，∠ABC=90°， ∴∠BAD=∠ADO=45°，∠ADB=90°，∠BED=90°， ∴∠BDE=∠ADO=45°， ∵AD=DB， ∴△ADO≌△BDE， ∴OD=DE=BE=AO， ∵点D的坐标为， ∴AO=OD=DE=BE=3， ∴， 在等腰直角三角形ADB中，， 在Rt△ABC中，∠CAB=30°， ∴AC=2BC， ∴在Rt△ABC中，， ∴， ∴点； 故答案为． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的性质及点的坐标，熟练掌握等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的性质及点的坐标是解题的关键． 24．如图，在中，，，，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 . 【答案】或或 【分析】由已知得出∠B=60°，AB=2BC=18，①当∠BQP=90°时，则∠BPQ=30°，BP=2BQ，得出18-3t=2t，解得t=；②当∠QPB=90°时，则∠BQP=30°，BQ=2BP，若0＜t＜6时，则t=2（18-3t），解得t=，若6＜t≤9时，则t=2（3t-18），解得t=． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=9， ∴∠B=60°，AB=2BC=18， ①当∠BQP=90°时，如图1所示：则AC∥PQ， ∴∠BPQ=30°，BP=2BQ， ∵BP=18-3t，BQ=t， ∴18-3t=2t， 解得：t=； ②当∠QPB=90°时，如图2所示： ∵∠B=60°， ∴∠BQP=30°， ∴BQ=2BP， 若0＜t＜6时， 则t=2（18-3t）， 解得：t=， 若6＜t≤9时， 则t=2（3t-18）， 解得：t=； 故答案为或或． 【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键． 25．已知为等边三角形，，在边所在直线上，点在边所在直线上，且，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分情况讨论，点N在线段AC上时，点N在CA的延长线上时，画出图形，结合含30°角的直角三角形的性质，分别求出CN即可． 【详解】解析：如图，①N在线段AC上时，过M作MD⊥AC于D， ，∠ADM=90°， ∴∠AMD=30°，， ， ， ， ， ， ②如图，N在CA的延长线上时，过M作MD⊥NC于D, ，， ∴∠AMD=30°，， ， ， ， ， 综上所述，CN的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了动点的分情况讨论问题，等边三角形的性质应用，含30°角的直角三角形的性质，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题 26．如图，D，E分别是AB，AC中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，CD与BE交于点F． (1)求证：AC＝AB； (2)猜想CF与DF的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)CF＝2DF，证明见解析 【分析】（1）连接BC．利用线段从垂直平分线的性质即可证明． （2）由（1）得△ABC是等边三角形，从而得到∠ABE＝30°，进而得到BF＝2DF，BF＝CF即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接BC， ∵点D是AB中点且CD⊥AB于点D， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∴CA＝CB， 同理BA＝BC， ∴AC＝AB； （2）CF＝2DF．理由如下： 由（1）得AC＝AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60° 在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣∠A＝30°， 在Rt△BFD中，BF＝2DF， ∵在Rt△ADC中，∠ACD＝∠ABE=90°﹣∠A＝30°， 又∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴CF＝BF， ∴CF＝2DF． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 27．已知:如图所示，中，，点在的垂直平分线上. （1）证明:. （2）如果，试探究和的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析. 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质求出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案； （2）求出，，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）， 理由是：点在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 28．如图，在中，，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若E是AB的中点，，求BD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，利用直角三角形全等的判定和性质即可证明； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，利用各角之间的数量关系得出，结合图形，根据含角的直角三角形的特殊性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵E是AB的中点，DE⊥AB， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的特殊性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 29．在中，，点D是射线上的动点，连接，以为腰作等腰，使，且在上方，，连接： （1）如图1，若，过点D作DF//AB交于点F，则_______度； （2）如图2，若，判断与的大小关系？并说明理由！ （3）如图3，若为等边三角形，，当是直角三角形时，直接写出的长度． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3）2cm或8cm 【分析】（1）证明△得，再根据角的和差关系即可求出答案； （2）过点D作DF//AB交于点F，证明即可得出结论； （3）分∠CBE=90°和∠BEC=90°两种情况求解即可． 【详解】解（1）∵ ∴△ABC为等腰三角形， 同理可证△BDE为等腰三角形， ∴ ∵DF//AB ∴∠ 同理，∠ ∴ ∵∠ ∴∠ ∵∠ ∴ ∵∠ ∴△ ∴∠ ∵∠ ∴∠ 故答案为：90；                       （2）                     理由是：过点D作DF//AB交于点F，如图1， ∴   ∵ ∴              ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴              ∵ ∴ ∴ （3）由（2）得，∠BCE=∠CAB=60°, 根据题意知，BC=AB=4cm， 如图2，若∠CBE=90°时，则∠BEC=30°， ∴； 如图3，若∠BEC=90°时，∠CBE=30°， ∴ 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 30．已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD=CE． （1）如图1，AD≠CD，求证：BF=EF； （2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD=CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形． 【答案】（1）证明见解析；（2）△DGC，△DBG，△DCE的面积是△DFG面积的二倍． 【分析】（1）作DM//BC交AB于M，根据等边三角形的性质得∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，则∠DCE＝120°，由DM//BC得∠AMD＝60°，可证△AMD为等边三角形，则AD＝DM＝AM，而AD＝CE，则DM＝EC，所以MB＝DC，利用“SAS”可判断△BMD≌△DCE，则BD＝DE，然后根据等腰三角形的性质由DF⊥BC得到BF＝EF； （2）由直角三角形的性质和等边三角形的性质可得BG＝GC＝2CF＝AD＝CE，由三角形的面积公式可求解． 【详解】作DM//BC交AB于M，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC， ∴∠DCE=120°， ∵DM//BC， ∴∠AMD=60°， ∴∠BMD=120°，△AMD为等边三角形， ∴AD=DM=AM． ∵AD=CE， ∴DM=EC， ∴AB﹣AM=AC﹣AD， ∴ MB=DC． 在△BMD和△DCE中， ， ∴△BMD≌△DCE（SAS）， ∴BD=DE， 而DF⊥BC， ∴BF=EF； （2）∵AD=CD，△ABC是等边三角形， ∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=30°， ∴BC=2CD． ∵∠ACB=60°，DF⊥BC， ∴∠CDF=30°， ∴CD=2CF， ∴BC=4CF，BF=3CF． ∵G是BC中点， ∴BG=GC=2CF=AD=CE， ∴△DGC，△DBG，△DCE的面积是△DFG面积的二倍． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 31．如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，． (1)若，求点到的距离； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由题意可知、、共线，则是的对称轴，由对称性即可求解； （2）由题意可知，平分，可判断是等边三角形，再求解即可． 【详解】（1）解：，，是的中点， 、、共线， 是的对称轴， ， 点到的距离为， 故答案为：； （2）是的中点，， ， 平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 的周长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的对称性，等边三角形的判定与性质以及利用轴对称求最短距离，解题关键是掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质． 32．如图，等边△ABC的边长为10cm，点D是边AC的中点，动点P从点C出发，沿BC的延长线以2cm/s的速度做匀速运动，设点P的运动时间为t（秒），若△BDP是等腰三角形，求t的值． 【答案】t=2.5s 【分析】作DG⊥BC，通过△ABC是等边三角形得∠DBG=30°,利用30°所对直角边是斜边一半求出BG、CG长,当△BDP是等腰三角形时,证明△CDP为的等腰三角形,得到CP=2CG=5即可解题. 【详解】解：过点D作DG⊥BC，如图： ∵等边三角形ABC的边长为10厘米，点D是边AC的中点， ∴BD=5，∠DBG=30°， ∴BG=7.5， 又∵∠DCG=60°, ∴CD=2CG, ∵∠BDP=2∠BDG=120°,∠BDC=90°, ∴∠CDP=∠CPD=30°,即CD=CP, ∴PC=2GC=（10-7.5）×2=5, ∴2t=5, 故t=2.5s 【点睛】本题考查了等边三角形的性质,等腰三角形的性质,综合性强,难度较大,作辅助线利用30°所对直角边是斜边一半是解题关键. 33．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且，交于点P，，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得、，进而根据证明，然后根据全等三角形的性质即可解答； （2）由（1）可得、 即；然后说明为直角三角形、，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴ ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解答本题的关键． 34．（1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证； （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13． 【分析】（1）由旋转的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论； （3）将绕 点A 逆时针旋转至，作交 于 M，连 接，，证明为等边三角形，而，可得，，证明，可得，，证明，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解： （1）∵，，将绕着点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 即：， 在与中，， ∴． （2） 延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，  即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）将绕 点A 逆时针旋转至，作交 于 M，连 接，， ∴，， ∴为等边三角形，而， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴的长度为13． 【点睛】本题属于几何综合，考查全等三角的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键， 35．如图，在等边△ABC中，厘米，厘米.如果点M以3厘米/秒的速度运动，设运动时间为t秒． (1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等． ①请用含t的式子表示 ， ； ②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？ (2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少？(直接写出答案)    【答案】（1）①，；②秒或秒；（2）或 【分析】（1）①CM直接根据速度乘以时间即可得到，BM=BC-CM； ②设运动时间为t秒，分别表示CM和BN．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°； （2）点M与点N第一次相遇，有两种可能：I．点M运动速度快；Ⅱ．点N运动速度快．分别列方程求解． 【详解】解：（1）①          ②设运动时间为秒，是直角三角形有两种情况： Ⅰ．当时 （秒 Ⅱ．当时 （秒 当秒或秒时，是直角三角形 （2）分两种情况讨论： ．若点运动速度快，则，解得 Ⅱ．若点运动速度快，则，解得 【点睛】此题考查等边三角形的性质、特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，难度较大． 学科网（北京）股份有限公司 $$