2.2.1 直线的点斜式方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2章 直线和圆的方程 2.2.1 直线的点斜式方程（教学设计） 1、 内容和内容解析 1.课程基本信息 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习直线的点斜式方程和斜截式方程. 2.内容 直线的点斜式方程，直线的斜截式方程. 3.内容解析 （1）内容本质 直线的方程是直角坐标系中直线的代数表示，是确定直线位置几何要素的完全代数刻画.虽然倾斜角是刻画直线倾斜程度的几何要素，但它无法直接用直线上任意两点的坐标定量刻画，而倾斜角的正切值可以用直线上任意两点的坐标定量刻画，这种刻画为我们研究直线带来方便，直线的点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达的是直线上任意一点坐标与直线的斜率以及所经过的定点坐标之间所满足的代数关系式.直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.直线的点斜式方程是直线其他形式方程的基础，直线方程的不同形式，是在直角坐标系中，特殊条件下的特殊形式，斜截式方程是点斜式的“变式”表达，桥梁是直线的斜率，斜截式方程是点斜式方程的特例.直线的点斜式程以斜率公式为纽带，将直线上任意一点与确定直线位置的几何要素联系起来，表达了直线上的点坐标所满足的代数关系. （2）蕴含的思想方法 直线方程的建立过程本质上是将确定直线的几何要素（点与方向）代数化的过程，这是学生第一次系统地用坐标法刻画一个几何对象.坐标法是本单元教学的核心，本单元同时还蕴含着数形结合、特殊与一般、分类与整合、化归与转化等数学思想方法. （3）知识点上下位关系 在初中的平面几何中，学生通过直观感知、操作确认的方式已经了解了两点确定一条直线；知道在平面直角坐标系中点的位置可以由坐标来确定；知道可以用两条直线所成的角的关系来刻画直线的相互位置；知道过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，研究了相交线与平行线；知道在平面直角坐标系中点的位置可以由坐标来确定；在初中，学生对直线及其位置关系的认识都是以直观描述为基础，是定性的研究。而在这，借助平面直角坐标系，通过几何对象的代数化，几何问题的代数解决，实现了精确定量研究几何问题的目的，实现了数与形的统一。本节课的学习对学生而言是一次较为完整的体验和理解坐标法的过程，体验了如何用坐标法来研究几何，获得了用代数方法解决几何问题的路径，是整个解析几何学习的示范，也是后续圆锥曲线学习和应用的基础. （4）育人价值 通过直线点斜式方程的引入，培养学生用代数的眼观来观察几何图形，并且体会平面直角坐标系的基准作用，提升学生直观想象、数学抽象的核心素养；通过直线斜截式方程的推导，让学生体会熟悉研究一般数学问题的一般路径：由特殊到一般，再到特殊；通过同一数学问题：两点确定一条直线与一点和一个方向（倾斜角或斜率）也能确定一条直线，从而去探究直线的斜率与直线上两点坐标之间的内在联系，培养学生有逻辑性地、合理地发现提出问题，分析解决问题，提升学生的的逻辑推理以及数学运算的核心素养；几何图像：直线，与代数表达式：方程之间的对应关系让学生体会形到数，然后数到形的数学知识的整体性，体会解析几何的思想，更好地用数学的眼光看世界. 2、 教学重难点分析 1. 教学重点：探究并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，体会坐标法. 2. 教学难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的理解与运用，体会坐标法. 三、目标和目标解析 （一）教学目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，体会坐标法（直观想象、逻辑推理、数学运算）. 2.运用点斜式方程和斜截式方程解决实际问题（直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算）. （二）目标解析 达成上述目标的标志是： 1.能说出平面直角坐标系中直线的几何特征及其代数表示，知道直线方程是对直角坐标系中直线几何特征的代数刻画，直线上所有点的坐标都满足这个方程，以这个方程的解为坐标的点都在这条直线上． 2.学生经历由确定直线的几何要素（一点和一个方向）建立直线点斜式方程的过程，知道点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达；知道斜截式方程是点斜式方程的特例，会根据已知点的坐标以及直线的斜率写出直线的点斜式方程 3.学生会根据确定直线的几何要素写出直线方程，能说出直线的点斜式、斜截式、方程中相关要素的几何意义，知道点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达的是直线上任意一点满足的代数关系式，这个关系式一方面表示直线上的点满足这个关系式，另一方面表示满足这个关系式的点都在这条直线上． 四、教学问题诊断分析 1.学生在本节课学习之前，已经学习了倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线斜率公式，经历了在平面直角坐标系中用代数方法刻画直线的几何特征的过程，在本节课中，学生要通过直线方程的建立，系统地学习在平面直角坐标系中用代数形式表示一个几何对象，体会坐标法.在这个过程中，学生对“什么是直线的方程”“什么是方程的直线”“如何建立直线方程”等问题缺乏认知，这是本节课教学的难点. 2.为克服以上难点，教学中首先要在学生在章引言和前面学习中初步了解坐标法的基础上，思考在直角坐标系中确定直线位置的几何要素以及直线上任意一点与这些要素之间的关系，得出坐标满足的代数关系式。其次要重视点斜式方程的教学，要帮助学生从分析确定直线位置的几何要素人手，分析如何用代数方法刻画这些几何要素及要素间的关系，认识直线的方程就是直线上所有点的几何特征的代数表示，进而寻找如何用点的坐标刻画直线的几何特征，通过过两点的直线斜率公式的“变式”表达，建立直线的点斜式方程，另外，结合点斜式方程和斜截式方程，让学生体会“直线的方程”和“方程的直线”，认识直线与直线的方程之间的关系，以及从数与形两个角度对研究对象进行研究的思维方法. 五、教学支持条件分析 1.学生虽然在初中已经具备初步的平面几何的知识以及平面直角坐标系的有关知识，也学习了三角函数的基础知识，了解向量是解决几何问题的有力工具，同时也初步经历了倾斜角和斜率概念的形成过程，掌握了应用斜率判断平面内两直线的平行和垂直，但是教学时也要评估学生原有的基础，进行必要复习与完善. 2.在课堂检测、学生展示等环节中，教师应及时了解学生的反馈信息，适时作出评价. 六、教学过程设计 1.创设情境，引出主题 复习提问：直线的倾斜角和斜率之间有什么关系？ 追问：已知直线上两个不同的点, , 则该直线的斜率可以如何表示？ 追问：平面直角坐标系中我们是如何确定一条直线的呢？ （1） 已知直线上的两个点可以确定一条直线. （2） 已知直线上的一个点和直线的斜率或者倾斜角. 师生活动：前面已经学习了直线的倾斜角和斜率，教师复习回顾倾斜角与斜率之间的关系，以及已知直线上两点的坐标，如何求斜率.进一步回顾平面内确定直线的几何要素，学生回忆前几节课所学内容，独立思考完成.教师可采用提问的方式，或者全班集体回答，视情况而定. 设计意图：通过对倾斜角，斜率之间关系的回忆，让学生进一步回忆起已知直线上两点的坐标的斜率公式，回忆坐标法实现数与形的转换的基本流程，为本节课直线方程的建立奠定基础. 2.步步设问，探索新知 问题1：请同学们在平面直角坐标系中作出一次函数的图像.试判断点, , 在这条直线上吗？ 师生活动：请学生在草稿纸上作出该二次函数的图像，在学生充分思考和讨论的基础上，提问学生，最终得出, 在直线上，但不在. 追问：你是如何判断的呢？ 师生活动：进一步提出问题，让学生思考判断的方法，学生可能回答一般是：“把点的横坐标带入一次函数解析式，判段结果是不是纵坐标”，由此看出一次函数的解析式所确定的有序实数对和直线上的点之间应该存在某种对应关系. 设计意图：通过对所给点是否在一次函数图像（直线）上的判断，让学生初步感知一次函数图像（直线）与一次函数解析式（方程）之间的内在联系.对点和有序实数对（坐标）之间的对应，引出形与数的转化，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容. 追问：该一次函数的解析式所确定的有序实数对和一次函数的图像（直线）上的点之间应该存在某种关系，到底是什么关系呢？ 师生活动:教师引导学生思考，得出直线上的每个点的坐标都满足一次函数的解析式（方程），满足一次函数解析式（方程）的有序实数对所确定的点都在直线上.从而引出直线的方程，方程的直线的概念. 如果一条直线上任意一点的坐标都满足一个方程，反之，满足该方程的每一个有序实数对所确定的点都在直线上，则称这个方程为直线的方程，这条直线是方程的直线. 设计意图：学生在感受到一次函数的解析式（方程）与一次函数图像（直线）之间有联系的基础上，进一步发现一次函数的解析式所确定的有序实数对和一次函数的图像（直线）上的点之间的对应关系，从而得出直线的方程以及方程的直线的概念，初步体会利用坐标法实现数与形的相互转化的过程，为直线的点斜式，斜截式方程的建立奠定基础。 问题2：如何求一条直线的方程呢？ 师生活动：在学生充分思考讨论的基础上引导学生根据直线的方程的概念得出要求一条直线的方程，就是要寻找一个方程，使得对于直线上的每一个点的坐标，都满足这个方程所对应的等量关系. 设计意图：让学生明确建立直线方程的方向，就是寻找直线上的点的坐标所满足的等量关系. 追问：直线上任意一点的坐标与确定直线的两个要素：一个定点和直线的斜率之间有关系吗? 师生活动：教师引导学生思考，我们知道直线上的两个点可以确定一条直线，一个点和一个方向（倾斜角和斜率）也可以确定一条直线.那么斜率和直线上两点之间是否存在什么关系呢？在学生独立思考以后顺势提出下一个问题. 问题3：如图，已知一条直线过点，斜率为，设点直线上不同于的任意一点，则三者之间有什么关系呢？ 师生活动：教师把图展示给学生，学生通过独立思考发现可借助过两点的直线的斜率公式得到： 设计意图：通过对直线上任意一点坐标与确定该直线的点和斜率之间关系的探究，体会直线上任意一点的坐标可以由所给定点的坐标和斜率确定，这个关系式是唯一的. 问题4：方程 是不是直线的方程呢？为什么？ 师生活动：引导学生发现，这个式子不能判断是否在直线上，根据直线方程的概念发现这不是直线的方程.学生思考后发现，如果把这个式子适当化简后就可以判断是否在直线上了. 设计意图：学生通过对点是否满足所得方程的质疑，发现方程的局限性，从而进一步考虑将方程变形. 追问：如果将方程 变形？ 师生活动：如果将方程变形为后，教师引导学生发现直线上的每一个点的坐标都满足这个方程，方程所确定的有序实数对所确定的点也都在直线上，这样自然发现，方程就是直线的方程.从而总结直线的点斜式方程. 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 设计意图：学生通过对直线点斜式方程的建立过程，体会应用坐标法实现几何与代数之间的转化，同时进一步加深对直线方程的理解，体会到解析几何中直线与它的方程之间的一一对应关系. 3.巩固应用，合作交流. 例1：直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线. 师生活动：学生容易根据确定的条件求出直线的点斜式方程，本题可以由学生独立完成后相互交流。在画直线时，学生可能一开始想不到利用直线方程找出直线上的另一点来共同确定直线，而是直接画点并画倾斜角，对此教师要做好引导。 追问：把例1中直线的倾斜角改为为时，直线的方程是什么？若改为呢？ 师生活动：师生共同通过计算斜率或结合图形求得直线方程，并通过将相关条件一般化，得到直线方程的特殊形式. 设计意图：通过例求方程的过程，进一步加深对点斜式方程的认识，并通过追问的问题，结合图形了解特殊形式的直线方程， 4.一般到特殊，得到直线的斜截式方程. 问题5：如果将例改为：直线经过点，且倾斜角，直线的方程又是什么呢？ 师生活动：学生容易根据确定的条件求出直线的点斜式方程：，引导学生变形为：，接下来继续追问. 追问：你能不能将上述问题一般化，得到一般性的结论呢？即：如果将例改为：直线经过点，且斜率，求直线的点斜式方程呢？. 师生活动:师生共同研究求得直线方程为，通过变形为：，引导学生发现这就是以前学习的一次函数的解析式，同时也是直线的方程.在此基础上，师生通过交流给出截距的概念，并且将该方程命名为直线的斜截式方程，并明确方程中和的几何意义. 方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中：直线的斜率为，直线与轴交点的纵坐标，为直线在轴上的截距,简称“纵截距”. 设计意图：在解答例的基础上，通过追问，让学生经历由一般到特殊的过程，得到直线的斜截式方程.同时从不同的角度用联系的眼光看，了解一次函数与直线的斜截式方程的区别与联系. 例：已知直线 ,试讨论： , ， 之间分别要满足什么关系？ , 之间又要满足什么关系？ 师生活动：关于课本例的两个小题，教师可以引导回顾上一节课两直线平行和垂直的判定，分析出直线和平行和垂直两种情况下它们的斜率所满足的关系.两个小题可由全班两个大组各完成一个.同时可以请同学上讲台板书解题过程.结束后教师及时作出评价 ，规范学生解题过程. 设计意图：通过例的研讨，提升并强化学生从直线方程的角度判断直线位置关系的能力. 思考题（视学情备选）：已知，，求线段的中垂线方程. 设计意图：帮助学生熟练掌握利用点斜式求直线的方程的方法，两条直线垂直的判定；思考题是为基础比较好的班级学生设计的，也可以留作学生课后思考讨论，视情况而定. 5.疑点突击，发现问题 课后思考题：直线的截距式方程中的纵截距是距离吗？ 设计意图：发现疑点，设置课后思考题，让学生及时提升巩固. 6.课堂小结 课堂小结：教师引导学生回顾本节课所学知识，并让学生对本节课的研究对象与结论、研究思路与思想进行梳理. 师生活动：教师提出问题，先由学生梳理，其他同学补充，师生再一起整理出本节课研究问题的基本流程框图，教师再结合框图，总结本节课蕴含的主要数学思想方法：类比联想、分类计论、坐标法、数形结合思想． 设计意图：通过对本节课所学知识，特别是研究过程的梳理，培养学生反思与整理的意识与习惯，让学生初步了解解析几何与坐标法思想，对倾斜角、斜率两个概念的发现探究的过程与方法有清晰的认识. 小结框图展示： 7.布置作业： 必做题： P61 练习： 第1题 ，第3题，第4题 选做题：P67 习题2.2 ： A组:第1题 ，第3题 B组:第2题 ，第9题 设计意图：分层作业，同时设计必做题和选做题，选做题设置类型相似的题，可以减轻学生的负担，以促进学生各方面素养全面发展. 七、目标检测设计 1. 直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为 . 设计意图：本题考查了直线的倾斜角与斜率以及点斜式方程的应用问题． 2.已知直线在轴上的截距是，倾斜角的正切值为 ，则直线的方程为 . 设计意图：本题考查了直线的倾斜角与斜率以及斜截式方程的应用问题． 3. 过点且平行于直线的直线方程为(    ) A. B. C. D. 设计意图：考查点斜式直线方程与两直线平行的应用. 4. 经过点，且斜率是直线的斜率的倍的直线方程是(    ) A. B. C. D. 设计意图:考查学生对直线斜截式和点斜式方程的掌握情况. 5. 已知点，，求线段的中垂线方程. 设计意图：帮助学生熟练掌握利用点斜式求直线的方程的方法以及从直线方程的校对去理解两条直线垂直的判定. 七、教学反思 课后及时反思. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$