第11讲 平面直角坐标系（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第11讲 平面直角坐标系（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 知识点2．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 知识点3．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 知识点4．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点5．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 题型强化 题型一．点的坐标 1．（2024春•凉州区校级期末）在平面直角坐标系中，点，一定在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•白银区期末）点是第二象限内的点，且到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标是 　　． 3．（2023秋•陈仓区期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 题型二．坐标与图形性质 4．（2024春•仁怀市期末）已知点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•渝中区校级期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，且轴，则　　． 6．（2024春•新宾县期末）对于实数，定义两种新运算“※”和“”： ※，（其中为常数，且，若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标※，与之对应，则称点的“衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． （1）点的“3衍生点”的坐标为 　　； （2）若点的“5衍生点” 的坐标为，求点的坐标； （3）若点的“衍生点”为点，且直线平行于轴，线段的长度为线段长度的6倍，求的值． 题型三．两点间的距离公式 7．（2022春•遵化市期中）已知点，点，则，两点间的距离是　　 A． B．9 C． D．3 8．（2023秋•七星关区校级月考）点到原点的距离是 　　． 9．（2024春•丰泽区校级月考）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，，，如何求的距离．如图，在△，，所以．因此，我们得到平面上两点，，，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点，，试求、两点间的距离； （2）已知点，且，求的值； （3）求代数式的最小值． 题型四．关于x轴、y轴对称的点的坐标 10．（2024•瓯海区校级三模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　． 12．（2024•顺河区校级开学）已知点，． （1）若点、关于轴对称，求、的值； （2）若、关于轴对称，求的值． 题型五．关于原点对称的点的坐标 13．（2023秋•丰顺县期末）已知点与点是关于原点的对称点，则的值为　　 A．1 B．5 C．6 D．4 14．（2023秋•东西湖区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是 　　． 15．（2023秋•舒城县校级月考）已知点，解答下列问题： （1）若点与关于原点对称，求点的值； （2）若点，且直线平行于轴，求点的坐标． 分层练习 一、单选题 1．在直角坐标系中，点（2，1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．过A作轴于点B，轴于点C，若B，C对应的数分别为-2，4，则点A对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点A（2，a）在第四象限内，则点B（a，2）所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．点P（x，x+3）一定不在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．点（2，﹣1）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．在如图所示的平面直角坐标系中，手盖住的点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知点A（m+2，3m-6）在第一象限角平分线上，则m的值为（ ） A．2 B．-1 C．4 D．-2 9．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2020秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 10．如图． 在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至． 然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动， 则的坐标是(      ) A． B． C． D． 二、填空题 11．点在x轴上，则点A的坐标是 ． 12．已知点在轴上，则的值为 ． 13．点到x轴的距离是 ． 14．如图，直角坐标系中，，，，…，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，8，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，4)，连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为 ．   16．如图，点A（0，0），向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到点A1：点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3：点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4：……按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为 ． 18．如图，的斜边在x轴上，，C在第一象限，，是线段上的动点，过点P作的垂线a，以直线a为对称轴，线段进行轴对称变换后得线段． （1）当点和点C重合时，m的值为 ． （2）当线段与线段没有公共点时，m的取值范围是 ． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“龙沙点”，求的值： (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“龙沙点” 20．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，    （1）画出所建立的平面直角坐标系； （2）分别写出“兵”和“炮”两点位于你所建立的平面直角坐标系的坐标． 21．下图是北京冬奥会三个比赛场馆位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，其中首都体育馆的坐标为（0，－2），国家速滑馆的坐标为（6，7）． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出冰立方的坐标：______________； (2)若五棵松体育中心的坐标为（－4，－6），请在坐标系中用点表示它的位置． 22．在数学活动课中，小刚在平面直角坐标系中设计了如图所示的图案，该图案由3种等腰直角三角形构成，设最小的等腰直角三角形的斜边长为1，最大的等腰直角三角形的顶点位于x轴上，依次为． (1)的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 ． (2)若用此图案装修学校的围墙（只装一层），制作如图所示的3种等腰直角三角形墙砖，最小的等腰直角三角形的斜边长为1m，围墙总长为2026m按照图中的排列方式，则3种墙砖各需要多少块？ 23．如图所示，直线交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若的坐标为，且于点，交于点． ①求证：； ②试求点的坐标； （2）如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，线段与有什么数量关系？ 24．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒个单位长度，设点的运动时间为t秒． (1)______，______； (2)在运动过程中，当点到的距离为个单位长度时，______； (3)在轴上存在一点，若满足，则点坐标为______； (4)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标： (5)当点在线段上的运动过程中，线段上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使得，直接写出与的数量关系． 25．在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点A的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并求出点到轴的距离； (2)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限； (3)如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标； 26．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如，那么如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义： 若，则称点为点的“横负纵变点”例：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：______； (3)已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 平面直角坐标系（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 知识点2．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 知识点3．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 知识点4．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点5．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 题型强化 题型一．点的坐标 1．（2024春•凉州区校级期末）在平面直角坐标系中，点，一定在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：， ， 在平面直角坐标系中，点，一定在第四象限． 故选：． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2．（2023秋•白银区期末）点是第二象限内的点，且到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标是 　　． 【分析】根据点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，结合第二象限内点的坐标特征可得出答案． 【解答】解：点在第二象限，且到轴的距离是4，到轴的距离是3， 点的横坐标为，纵坐标为4， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查点的坐标，利用点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键． 3．（2023秋•陈仓区期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【分析】（1）根据题意得到，解答即可； （2）根据题意得到点横、纵坐标互为相反数，进而即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， ， ， ； （2）在第二、四象限的角平分线上， ， ， ． 【点评】本题考查了一元一次方程的解法，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征． 题型二．坐标与图形性质 4．（2024春•仁怀市期末）已知点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据中点坐标公式，列式计算即可． 【解答】解：设， 点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为， ， 解得，， ， 故选：． 【点评】本题考查了中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 5．（2024春•渝中区校级期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，且轴，则　5　． 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：因为点的坐标为，点的坐标为，且轴， 所以， 解得， 所以， 则点的坐标为，点的坐标为， 所以． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 6．（2024春•新宾县期末）对于实数，定义两种新运算“※”和“”： ※，（其中为常数，且，若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标※，与之对应，则称点的“衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． （1）点的“3衍生点”的坐标为 　　； （2）若点的“5衍生点” 的坐标为，求点的坐标； （3）若点的“衍生点”为点，且直线平行于轴，线段的长度为线段长度的6倍，求的值． 【分析】（1）直接利用新定义进而分析得出答案； （2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案； （3）先由平行于轴得出点的坐标为，继而得出点的坐标为，线段的长度为线段长度的6倍，解之可得． 【解答】解：（1）点的“3衍生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）设， 依题意，得方程组： ． 解得． 点； （3）设，则的坐标为． 平行于轴， ， 即， 又， ． 点的坐标为，点的坐标为， 线段的长度为． 线段的长为． 根据题意，有， ． ． 的值为6和． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． 题型三．两点间的距离公式 7．（2022春•遵化市期中）已知点，点，则，两点间的距离是　　 A． B．9 C． D．3 【分析】由于、点都在轴上，然后用点的纵坐标减去点的纵坐标可得到两点之间的距离． 【解答】解：，点， ，两点间的距离． 故选：． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为． 8．（2023秋•七星关区校级月考）点到原点的距离是 　　． 【分析】利用两点间的距离公式即可解答． 【解答】解：点到原点的距离是， 故答案为：． 【点评】本题考查两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 9．（2024春•丰泽区校级月考）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，，，如何求的距离．如图，在△，，所以．因此，我们得到平面上两点，，，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点，，试求、两点间的距离； （2）已知点，且，求的值； （3）求代数式的最小值． 【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出的方程进行解答便可； （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【解答】解：（1）根据两点的距离公式得，； （2）， ，； （3）看成点到两点和的距离之和， 的最小值为点到两点和的距离之和的最小值， 当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度， 的最小值为． 【点评】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． 题型四．关于x轴、y轴对称的点的坐标 10．（2024•瓯海区校级三模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 11．（2023秋•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　5　． 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值，进而可得答案． 【解答】解：点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，掌握关于轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 12．（2024•顺河区校级开学）已知点，． （1）若点、关于轴对称，求、的值； （2）若、关于轴对称，求的值． 【分析】（1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）点、关于轴对称， ， 解得， ，； （2）点、关于轴对称， ， 解得， ． 【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，代数式求值，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 题型五．关于原点对称的点的坐标 13．（2023秋•丰顺县期末）已知点与点是关于原点的对称点，则的值为　　 A．1 B．5 C．6 D．4 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案． 【解答】解：点与点是关于原点的对称点， ，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反． 14．（2023秋•东西湖区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是 　　． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案． 【解答】解：点关于原点的对称点的坐标是， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 15．（2023秋•舒城县校级月考）已知点，解答下列问题： （1）若点与关于原点对称，求点的值； （2）若点，且直线平行于轴，求点的坐标． 【分析】（1）根据原点对称的两点横纵坐标都互为相反数求解即可； （2）根据直线平行于轴可得、两点纵坐标相等列方程计算即可． 【解答】解：（1）点与关于原点对称， ， 解得； （2）点，且直线平行于轴， 点纵坐标为9， ，解得， ． 【点评】本题考查直角坐标系中点的特征，关于原点对称的点坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 分层练习 一、单选题 1．在直角坐标系中，点（2，1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：由2＞0，1＞0，可得点P（2，1）所在的象限是第一象限， 故选：A． 考点：直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征． 2．过A作轴于点B，轴于点C，若B，C对应的数分别为-2，4，则点A对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点坐标的确定方法直接可得． 【详解】解：∵过A作轴于点B，轴于点C，若B，C对应的数分别为-2，4， ∴点A的横坐标为-2，纵坐标为4， ∴点A对应的坐标为（-2，4）， 故选：B． 【点睛】此题考查了点的坐标，正确理解并掌握点坐标的确定方法是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，若点A（2，a）在第四象限内，则点B（a，2）所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据点A（2，a）在第四象限内得出a＜0，据此可得点B所在象限． 【详解】解：∵点A（2，a）在第四象限内， ∴a＜0， 则点B（a，2）所在的象限是第二象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点． 4．在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】判断出点的横纵坐标的符号即可求解． 【详解】解：∵ ∴点在第二象限， 故答案选B． 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的有关性质，熟练掌握平面直角坐标系的有关性质是解题的关键． 5．点P（x，x+3）一定不在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】判断出点P的纵坐标比横坐标大，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵x+3＞x， ∴点P的纵坐标一定比横坐标大， ∵第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数， ∴点P一定不在第四象限． 故选：D． 6．点（2，﹣1）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】点（2，-1）所在象限为第四象限． 故选D． 7．在如图所示的平面直角坐标系中，手盖住的点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限点的坐标特点是横坐标为负数，纵坐标为正数判断即可． 【详解】手盖住的点在第二象限， 故选A． 【点睛】本题考查了点与象限，熟练掌握各象限点的坐标特点是解题的关键． 8．已知点A（m+2，3m-6）在第一象限角平分线上，则m的值为（ ） A．2 B．-1 C．4 D．-2 【答案】C 【详解】试题解析：根据题意得m+2=3m-6，解得m=4， 即m的值为4． 故选C． 考点：坐标与图形性质． 9．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2020秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出瓢虫第1秒、第2秒、第3秒、第4秒、第5秒、第6秒、第7秒、第8秒、第9秒所在的位置坐标，根据其周期性，再求第2020秒瓢虫所在位置坐标即可． 【详解】解：根据题意可得， 第1秒瓢虫所在位置坐标为：， 第2秒瓢虫所在位置坐标为：， 第3秒瓢虫所在位置坐标为：， 第4秒瓢虫所在位置坐标为：， 第5秒瓢虫所在位置坐标为：， 第6秒瓢虫所在位置坐标为：， 第7秒瓢虫所在位置坐标为：， 第8秒瓢虫所在位置坐标为：， 第9秒瓢虫所在位置坐标为：， ， 瓢虫所在位置坐标具有周期性， ， 第2020秒瓢虫在处． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，通过求前面几秒瓢虫所在的位置坐标，观察其坐标的变化发现规律，再根据其周期性求值是解本题的关键，综合性较强，难度较大． 10．如图． 在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至． 然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动， 则的坐标是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形、点坐标规律型问题等知识点，根据已知条件归纳出规律是解题的关键． 根据坐标系确定前面的一些点，然后归纳规律，最后利用规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴点在第三象限， 由题意，，，，，，，，，，，， ∴， ∵，即， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．点在x轴上，则点A的坐标是 ． 【答案】（6，0） 【分析】直接利用x轴点的坐标性质得出答案． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴5-a=0，a=5，a+1=6， ∴点A的坐标为：（6，0）． 故答案为（6，0）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确记忆x轴上点的坐标性质是解题关键． 12．已知点在轴上，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标轴上的点的特点．根据轴上的点的坐标特点，即可确定的值，平面直角坐标系中轴上点的坐标特点：纵坐标为0． 【详解】解：点在轴上， ， ， 故答案为：2． 13．点到x轴的距离是 ． 【答案】5 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值解答． 【详解】解：点到轴的距离是． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点的坐标，是基础题，熟记到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 14．如图，直角坐标系中，，，，…，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，8，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】观察图形可以看出；；每个为一组，由于余，在正半轴，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答． 【详解】观察图形可以看出；每个为一组， ， 在正半轴，纵坐标为， 的横坐标分别为， 则的横坐标为, 的横坐标为， 的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，4)，连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为 ．   【答案】(3，4)或(3，-4)或(0-4) 【详解】解：∵A（3，0），B（0，4）， ∴AB=5，且BO⊥OA， 当△AOC≌△AOB时，则有OC=OB=4， ∴C点坐标为（0，-4）； 当△AOC≌△OAB时，则有AC=OB=4， ∴C点坐标为（3，4）或（3，-4）． 综上所述，C点的坐标为(3，4)或(3，-4)或(0，-4)． 故答案为∶ (3，4)或(3，-4)或(0-4) 16．如图，点A（0，0），向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到点A1：点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3：点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4：……按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为 ． 【答案】2n﹣1 【分析】从特殊到一般探究规律后，利用规律即可解决问题； 【详解】解：点A1的横坐标为1＝21﹣1，点A2的横坐为标3＝22﹣1，点A3：的横坐标为7＝23﹣1，点A4的横坐标为15＝24﹣1， 按这个规律平移得到点An为2n﹣1， 故答案为2n﹣1 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 17．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC-AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标． 【详解】∵点A，B的坐标分别为（-1，0）、（0，2）， ∴AO=1，BO=2， ∴AB==， ∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧， ∴AB=AC=， ∴OC=AC-AO=-1， ∵交x正半轴于点C， ∴点C的坐标为（-1，0）， 故答案为：-1 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长． 18．如图，的斜边在x轴上，，C在第一象限，，是线段上的动点，过点P作的垂线a，以直线a为对称轴，线段进行轴对称变换后得线段． （1）当点和点C重合时，m的值为 ． （2）当线段与线段没有公共点时，m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）根据折叠的性质可知，当点与点重合时，点是的中点，过点作于点，求出和的长，依此可得点坐标，再根据中点坐标公式即可求解； （2）分线段在线段的上面和线段在线段的下面两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）过点作于点． 在中，，， ，， 在中，，， ， 点坐标为，，点坐标为， 当点与点重合时，点坐标为，， 的值为； （2）线段在线段的上方， ， ， ， ， 则； 线段在线段的下方， ． 综上所述，或． 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，中点坐标公式，以及分类思想的运用． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“龙沙点”，求的值： (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“龙沙点” 【答案】(1) (2)或 (3)说明见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系，“长距”和“龙沙点”的定义，解题的关键是根据“长距”和“龙沙点”的定义，进行解答，即可． （1）根据“长距”的定义，即可； （2）根据“龙沙点”的定义，则，即可求出的值； （3）根据“长距”的定义，先求出的值，再根据“龙沙点”的定义，即可． 【详解】（1）∵点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∴点到轴的距离为：；到轴的距离为， ∴点的“长距”为． 故答案为：． （2）∵点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”， ∴当点是“龙沙点”，， ∴， 当，解得：； 当，解得：； ∴或． （3）∵点的长距为， ∴， 解得：或； ∵在第二象限内， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴点， ∵， ∴点是“龙沙点”． 20．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，    （1）画出所建立的平面直角坐标系； （2）分别写出“兵”和“炮”两点位于你所建立的平面直角坐标系的坐标． 【答案】（1）图见解析（2）；兵，炮 【分析】（1）根据“帅”位于点，“马”位于点，得出原点的位置即可得出答案； （2）根据所建立直角坐标系即可得出“兵”和“炮”两点的坐标． 【详解】解：（1）由题意，平面直角坐标系如图所示：    （2）解：如图所示，“兵”和“炮”两点的坐标是：兵，炮． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的建立及确定点的坐标，准确建立平面直角坐标系是解题的关键． 21．下图是北京冬奥会三个比赛场馆位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，其中首都体育馆的坐标为（0，－2），国家速滑馆的坐标为（6，7）． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出冰立方的坐标：______________； (2)若五棵松体育中心的坐标为（－4，－6），请在坐标系中用点表示它的位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】（1）先根据首都体育馆的坐标和国家速滑馆的坐标画出平面直角坐标系，再根据冰立方的位置确定坐标即可； （2）在平面直角坐标系中，根据五棵松体育中心的坐标，将其描出来即可． 【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如下： 则冰立方的坐标为， 故答案为：． （2）解：在坐标系中用点表示五棵松体育中心的位置如下： 【点睛】本题考查了画平面直角坐标系、坐标系中描点，熟练掌握平面直角坐标系的画法是解题关键． 22．在数学活动课中，小刚在平面直角坐标系中设计了如图所示的图案，该图案由3种等腰直角三角形构成，设最小的等腰直角三角形的斜边长为1，最大的等腰直角三角形的顶点位于x轴上，依次为． (1)的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 ． (2)若用此图案装修学校的围墙（只装一层），制作如图所示的3种等腰直角三角形墙砖，最小的等腰直角三角形的斜边长为1m，围墙总长为2026m按照图中的排列方式，则3种墙砖各需要多少块？ 【答案】(1)；； (2)大号墙砖需要675块，中号墙砖需要1350块，小号墙砖需要2704块 【分析】本题考查了勾股定理的应用： （1）根据条件分别写出的坐标，找出规律，进而得到，的坐标； （2）根据图形复现，墙砖每3个单位长度循环一次，在每一个循环周期内，需要大号墙砖1块，中号墙砖2块，小号墙砖4块，再用2026除以4即可求解； 准确识别图形，得到循环规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵最小的等腰直角三角形的斜边长为1， ∴中间大的等腰直角三角形的直角边为1， ∴， 由图可得， 由规律可得， 故答案为：；；； （2）解：由题图可知，图案每3m重复一次， ∵， ∴一共循环了次，还余下1m，多出来的1m是四块小号的墙砖， ∴大号墙砖需要675块， 中号墙砖需要（块）， 小号墙砖需要（块）， ∴大号墙砖需要675块，中号墙砖需要1350块，小号墙砖需要2704块． 23．如图所示，直线交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若的坐标为，且于点，交于点． ①求证：； ②试求点的坐标； （2）如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，线段与有什么数量关系？ 【答案】（1）①见解析  ②   （2） 【分析】（1）①根据直角三角形的性质得到∠OAP＝∠OBC，利用ASA定理证明△OAP≌△OBC；②根据全等三角形的性质得到OP＝OC＝1，求出点P的坐标； （2）连接OD，证明△MOD≌△NAD，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）①证明∵，       ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴． ②解∵， ∴． ∴． 解：（2），理由如下： 如图，连接． 在中，，点为的中点， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴（）． ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，掌握根据坐标特征确定线段长度和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒个单位长度，设点的运动时间为t秒． (1)______，______； (2)在运动过程中，当点到的距离为个单位长度时，______； (3)在轴上存在一点，若满足，则点坐标为______； (4)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标： (5)当点在线段上的运动过程中，线段上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使得，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 (4)当时，；当时，；当时，， (5)， 【分析】本题考查平面直角坐标系，非负性，动点问题解题的关键是掌握平面直角坐标系，非负性的运用，动点与几何结合，即可． （1）根据非负性，求出，的值，即可； （2）根据，的值，得到点，，的坐标，根据点到的距离为个单位长度时，根据图形，得到运动路程，即可； （3）设，根据，求出点的坐标，即可； （4）根据点的运动过程，分类讨论：当点在上；当点在上；当点在上，即可； （5）根据点在线段上的运动过程，分类讨论：当点在线段上（不与点重合）时；当点在线段的延长线上时，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）∵， ∴，，， 当点到的距离为个单位长度时， ∴当在线段上，点到的距离为个单位长度时，则， ∴（秒）； 当在线段上，点到的距离为个单位长度时， ∴点的运动轨迹路程为：， ∴（秒）； 综上所述，运动过程中，当点到的距离为个单位长度时，或． （3）∵轴上存在一点， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 当，解得：，则； 当，解得：，则； 综上所述，点坐标为或． （4）当时，点在上，此时； 当时，点在上，此时， ∵点在第四象限， ∴点； 当时，点在上，此时， ∴， ∴， 综上所述，当时，；当时，；当时，． （5）当点在线段上（不与点重合）时， ∵轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， ∵轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，，． 25．在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点A的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并求出点到轴的距离； (2)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限； (3)如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标； 【答案】(1)，2； (2)点的坐标为，在第四象限； (3)． 【分析】（1）根据“级牵挂点”的定义直接进行计算即可得到的坐标，根据的纵坐标即可求出点到轴的距离； （2）设点的坐标为，根据“级牵挂点”的定义建立方程组，解方程组求出点的坐标，即可判断点的坐标及所在象限； （3）先根据“级牵挂点”求出的坐标，再根据在轴上求出m的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：点的“级牵挂点”为， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， 即 且到轴的距离为； （2）解：∵点的“级牵挂点”为 设点的坐标为 解得 点的坐标为，在第四象限． （3）解：点的“级牵挂点”， ，， 即， 点在轴上， ， ， 则， 的坐标为． 【点睛】本题考查直角坐标系，点到坐标轴的距离，点象限的判定等，正确理解“级牵挂点”的定义是解题的关键． 26．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如，那么如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义： 若，则称点为点的“横负纵变点”例：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：______； (3)已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题． （2）模仿例题解决问题即可． （3） 首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可． 【详解】（1）， 点的“横负纵变点”为， ， 点的“横负纵变点”为． 故答案为：； （2） ； （3）， ， ， ． ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义问题，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$