第11讲 反比例函数的应用（6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第11讲 反比例函数的应用（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点2．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点3．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点4．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点5．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点6．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型强化 题型一．反比例函数系数k的几何意义 1．（2023秋•杨浦区期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是　　 A． B． C． D．不能确定 2．（宝山区期末）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是　　． 3．（崇明县期末）如图，是反比例函数在第一象限图象上的一点，点的坐标为． （1）当点的横坐标逐渐增大时，的面积将如何变化？ （2）若为等边三角形，求此反比例函数的解析式． 题型二．待定系数法求反比例函数解析式 4．（闸北区校级期中）若与成反比例，与成正比例，则是的　　 A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定 5．（2022秋•虹口区校级期中）已知，与成正比例、与成反比例，且当时，，当时，，则当时，的值是 　　． 6．（2023秋•青浦区校级期中）已知，与成正比例，与成反比例．并且当时，；当，求与之间的函数关系式． 题型三．反比例函数与一次函数的交点问题 7．（2021秋•虹口区校级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则的取值范围是 　　． 8．（2023秋•青浦区校级期中）反比例函数的图象与正比例函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•虹口区校级期末）已知一次函数和反比例函数的图象交于、两点，点的坐标是． （1）求点的坐标和这个一次函数的解析式； （2）请求出另一交点坐标，并直接写出时的取值范围． 题型四．根据实际问题列反比例函数关系式 10．（宝山区期末）矩形的长为，宽为，面积为9，则与之间的函数关系及定义域是　　． 11．面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为，高为，且当，， （1）求与的函数关系式； （2）求当时，下底长多少？ 题型五．反比例函数的应用 12．已知长方形的两条边长为、，面积是4，那么关于的函数的图象是　　 A． B． C． D． 13．（2020秋•浦东新区校级期末）已知某种近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为　　度． 14．（2023秋•虹口区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，关于的函数关系式为 　　，自变量的取值范围为 　　；药物燃烧后，关于的函数关系式为 　　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 题型六．反比例函数综合题 15．函数，的图象如图所示，下列结论： ①两函数图象的交点坐标为； ②当时，； ③直线分别与两函数图象交于、两点，则线段的长为3； ④当逐渐增大时，的值随着的增大而增大，的值随着的增大而减小． 则其中正确的是　　 A．只有①② B．只有①③ C．只有②④ D．只有①③④ 16．（2022秋•虹口区校级期中）正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，则点的坐标为　　． 17．（2023秋•闵行区期末）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．已知，直线与轴的夹角为． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 分层练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径，高线长，则h关于r的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，某个反比例函数的图象（仅有这一支）经过点，则它的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 5．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，交边于点E，且．若四边形的面积为6，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 二、填空题 7．（2022八年级上·上海·专题练习）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系及定义域是 ． 8．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知P是反比例函数图象上的点，若轴，且的面积是3，那么反比例函数的解析式是 ． 9．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如果反比例函数的图像，在的范围内，随们增大而减小，那么的取值范围是 ． 10．（22-23八年级上·上海闵行·阶段练习）已知反比例函数()的图像经过点，那么在每一象限内随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”）． 11．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面内，函数的图像在同一个象限内经过A、B两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，连接、、，若，则点的坐标是 ． 12．（22-23八年级上·上海青浦·期中）设p，q都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．请写出一个闭区间上的“闭函数”： ． 13．（20-21八年级上·上海闵行·阶段练习）若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 14．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 15．（22-23八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象上有一点，将点向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点．若点也在该函数图象上，则 ． 16．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数图像上三点的坐标分别是、、，且，试判断，，的大小关系 ． 17．（22-23八年级上·上海虹口·期中）已知点和都在反比例函数的图象上，如果，那么y1、y2和0的大小关系是 ．（用“＜”连接） 18．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 三、解答题 19．（19-20八年级·上海静安·课后作业）已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 20．（22-23八年级上·上海·期中）已知反比例函数，当时，. (1)求y关于x的函数表达式； (2)当且时，求自变量x的取值范围. 21．（19-20八年级·上海静安·课后作业）已知y是x的反比例函数，且当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求y值； （3）当时，求x值． 22．（24-25八年级上·上海·单元测试）在反比例函数的图象上有一点，它的横坐标使方程有两个相等的实数根，点与点和点围成的三角形面积为6，求这个反比例函数的解析式． 23．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，点是的中点，反比例函数图像过点且和相交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 24．（2022八年级上·上海·专题练习）已知，如图点P是双曲线上的一点，轴于点，轴于点，、分别交双曲线于点、．求的面积． 25．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，A为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为P． (1)联结，当时，求反比例函数的解析式； (2)联结，若，y轴上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由， (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图象于点C，若的面积为4，求k的值． 26．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，该反比例函数图象上有一动点，过点A作轴垂线，垂足为点B，过点C作轴垂线，垂足为点D，线段与线段交于点E，连接． (1)求正、反比例函数的解析式； (2)设与的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系； (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 27．（22-23八年级上·上海宝山·期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ； (2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 反比例函数的应用（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点2．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点3．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点4．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点5．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点6．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型强化 题型一．反比例函数系数k的几何意义 1．（2023秋•杨浦区期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【分析】根据点在反比例函数图象上结合反比例函数系数的几何意义就可以求出与之间的数量关系． 【解答】解：点是反比例函数图象上一点，且轴于点， ， 解得：． 反比例函数在第一象限有图象， ．即 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，解题的关键是根据反比例函数系数的几何意义找出面积与的关系． 2．（宝山区期末）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是　　． 【分析】先设反比例函数的解析式，根据甲同学说的可知，根据乙同学说的可知，综合可得，即得到反比例函数的解析式． 【解答】解：从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016， ， 或， 这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大， ， 故反比例函数的解析式是． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，先由面积求出，再由反比例函数的性质求出的值． 3．（崇明县期末）如图，是反比例函数在第一象限图象上的一点，点的坐标为． （1）当点的横坐标逐渐增大时，的面积将如何变化？ （2）若为等边三角形，求此反比例函数的解析式． 【分析】（1）设，根据反比例函数的图象性质，可知随的增大而减小．又的面积．故当点的横坐标逐渐增大时，的面积将逐渐减小． （2）由于为等边三角形，作，垂足为，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点的坐标，根据点是反比例函数图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式． 【解答】解：（1）设，则的面积． 又当时，在每一个象限内，随的增大而减小． 故当点的横坐标逐渐增大时，的面积将逐渐减小； （2）过点作，垂足为， 为等边三角形，， ，， ， 代入，得， 所以反比例函数的解析式为． 【点评】此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用． 题型二．待定系数法求反比例函数解析式 4．（闸北区校级期中）若与成反比例，与成正比例，则是的　　 A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定 【分析】根据正比例函数的定义分析． 【解答】解：由题意可列解析式， 是的正比例函数． 故选：． 【点评】本题考查正比例函数的知识．关键是先求出函数的解析式，然后代值验证答案． 5．（2022秋•虹口区校级期中）已知，与成正比例、与成反比例，且当时，，当时，，则当时，的值是 　　． 【分析】根据正比例与反比例的定义设出与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式，再把自变量的值代入进行计算即可得解． 【解答】解：与成正比例，与成反比例， 设，， ， 当时，；时，， ， 解得， ； 当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点，一定要熟练掌握并灵活运用． 6．（2023秋•青浦区校级期中）已知，与成正比例，与成反比例．并且当时，；当，求与之间的函数关系式． 【分析】设，待定系数法求出，，即可． 【解答】解：设， 则：， 由题意，得：， 解得：， ． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求正比例函数解析式，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 题型三．反比例函数与一次函数的交点问题 7．（2021秋•虹口区校级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则的取值范围是 　或　． 【分析】待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质求出自变量的取值范围． 【解答】解：正比例函数与反比例函数的一个交点为， 正比例函数为，反比例函数为． 当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即， 解得或． 故答案为：或． 【点评】主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． （1）反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． （2）正比例函数的图象性质：图象是一条直线，一定经过坐标轴的原点．当时，图象经过一，三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小． 8．（2023秋•青浦区校级期中）反比例函数的图象与正比例函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据增加形，进行判断即可． 【解答】解：联立，得：， 反比例函数的图象与正比例函数的图象没有交点， ， 双曲线过二，四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ， ； 故选：． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质． 9．（2023秋•虹口区校级期末）已知一次函数和反比例函数的图象交于、两点，点的坐标是． （1）求点的坐标和这个一次函数的解析式； （2）请求出另一交点坐标，并直接写出时的取值范围． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求的值；再将点的坐标代入一次函数的解析式可求得的值． （2）根据图象，结合点和点的坐标，即可得到答案． 【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为，代入一次函数得， ， ， 一次函数的解析式为：． （2）由题意得，， 解得，， 另一交点的坐标为：． ， 由图象可知：的取值范围为或． 【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键． 题型四．根据实际问题列反比例函数关系式 10．（宝山区期末）矩形的长为，宽为，面积为9，则与之间的函数关系及定义域是　　． 【分析】根据矩形的面积得出，进而得出与之间的函数关系及定义域． 【解答】解：矩形的长为，宽为，面积为9， ，且， 则与之间的函数关系及定义域是：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，利用矩形面积得出是解题关键． 11．面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为，高为，且当，， （1）求与的函数关系式； （2）求当时，下底长多少？ 【分析】（1）先根据梯形的面积公式得到梯形的面积，进而根据梯形的面积表示出梯形的高即可； （2）把代入（1）得到的式子求出上底，再乘以3即为下底长． 【解答】解：（1），，上底长是下底长的， 下底长为， 梯形的面积， 梯形的高 ； （2）当时，， ． 答：下底长． 【点评】本题考查列反比例函数及相应求值问题；用到的知识点为：梯形的面积（上底下底）高． 题型五．反比例函数的应用 12．已知长方形的两条边长为、，面积是4，那么关于的函数的图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据长方形的面积公式得出，即，且，据此即可求解． 【解答】解：依题意，即，且， 关于的函数的图象反比例函数图象，且图象在第一象限， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质和图象是解题的关键． 13．（2020秋•浦东新区校级期末）已知某种近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为　400　度． 【分析】把近视眼镜镜片的焦距为0.25米代入函数解析式就可解决问题． 【解答】解：把代入， 解得， 所以他的眼睛近视400度． 故答案为：400． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单． 14．（2023秋•虹口区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，关于的函数关系式为 　　，自变量的取值范围为 　　；药物燃烧后，关于的函数关系式为 　　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【分析】（1）药物燃烧时，设出与之间的解析式，把点代入即可，从图上读出的取值范围；药物燃烧后，设出与之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的，两数之差与10进行比较，等于10就有效． 【解答】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为代入为 设药物燃烧后关于的函数关系式为代入为 药物燃烧时关于的函数关系式为药物燃烧后关于的函数关系式为 （2）结合实际，令中得 即从消毒开始，至少需要经过 30分钟后，员工才能回到办公室． （3）把代入，得： 把代入，得： 所以这次消毒是有效的． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 题型六．反比例函数综合题 15．函数，的图象如图所示，下列结论： ①两函数图象的交点坐标为； ②当时，； ③直线分别与两函数图象交于、两点，则线段的长为3； ④当逐渐增大时，的值随着的增大而增大，的值随着的增大而减小． 则其中正确的是　　 A．只有①② B．只有①③ C．只有②④ D．只有①③④ 【分析】①函数，组成方程组得，解之即可得两函数图象的交点坐标为；②由图象直接可得当时，； ③把分别代入函数，可得，，的长为3； ④考查正比例函数和反比例函数图象的性质． 【解答】解：①函数，组成方程组， 解之得，即两函数图象的交点坐标为，故①正确； ②由图象直接可得当时，，故②错误； ③把分别代入函数，，可得，， 的长为3，故③正确； ④函数中，，随增大而增大， 中，，在每一象限内随增大而减小，故④正确． 故选：． 【点评】此题综合考查了反比例函数的性质与正比例函数的性质，同学们要熟练掌握． 16．（2022秋•虹口区校级期中）正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，则点的坐标为　，．　． 【分析】作轴于，轴于，轴于，于，设，则，，易得△△△，则，所以，则的坐标为，，然后把的坐标代入反比例函数，得到的方程，解方程求出，得到的坐标；设的坐标为，易得△△，则，通过，这样得到关于的方程，解方程求出，得到的坐标． 【解答】解：作轴于，轴于，轴于，于，如图， 设，则，， 四边形为正方形， △△△， ， ， ， 的坐标为，， 把的坐标代入，得到，解得（舍或， ， 设的坐标为， 又四边形为正方形， △△， ， ， ，解得（舍，， ， 点的坐标为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法． 17．（2023秋•闵行区期末）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．已知，直线与轴的夹角为． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【分析】（1）过点作轴于，由直角三角形的性质可求，，利用待定系数法可求解； （2）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点作轴于， ，， ， ，， 点，； 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数解析式为； （2）如图， 当点在轴上时，且， 又， ，， 点，； 当点在轴上，且， 又， ， 点； 当点在轴上，且， 又， ，， ， 点； 当点在轴上，且， ， ， ， 点； 综上所述：点的坐标为，或或或． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 分层练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径，高线长，则h关于r的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有：，即；故与之间的函数图象为反比例函数，且根据，实际意义得，应大于0，其图象在第一象限．即可得出结果．考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 【详解】解：， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，某个反比例函数的图象（仅有这一支）经过点，则它的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出值，即得到反比例函数的解析式．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，由反比例函数图象上点的坐标代入求得值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由函数经过点， 得， 反比例函数解析式为． 故选：D． 4．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，根据题意得出，再结合反比例函数的图象在第一象限，得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴， ， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， ， 故选：C． 5．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，记交轴于点，根据求出，再由求出，即可解题． 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，, 的面积是， , ， ， 故选：B． 6．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，交边于点E，且．若四边形的面积为6，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质和已知条件得出的面积的面积四边形ODBE的面积，再求出的面积，即可得出k的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ，的面积的面积， ∵D、E在反比例函数的图象上， 的面积的面积， 的面积的面积四边形ODBE的面积， ， 的面积的面积， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 二、填空题 7．（2022八年级上·上海·专题练习）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系及定义域是 ． 【答案】 【分析】根据矩形的面积得出，进而得出y与x之间的函数关系及定义域． 【详解】解：∵矩形的长为，宽为y，面积为9， ∴，且， 则与之间的函数关系及定义域是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，利用矩形面积得出是解题关键． 8．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知P是反比例函数图象上的点，若轴，且的面积是3，那么反比例函数的解析式是 ． 【答案】或 【分析】根据反比例函数系数的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限 求出的值既可． 【详解】解：依据比例系数的几何意义可得，的面积， 即， 解得，， 函数解析式为或 故答案为：或 【点睛】考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 9．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如果反比例函数的图像，在的范围内，随们增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，其函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，其函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像，在的范围内，随们增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·上海闵行·阶段练习）已知反比例函数()的图像经过点，那么在每一象限内随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】将点代入求出k的值，根据反比例函数性质即可得到答案． 【详解】解：把点代入解析式可得， ， ∵， ∴在每一象限内随着的增大而减小； 故答案案为减小． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 11．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面内，函数的图像在同一个象限内经过A、B两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，连接、、，若，则点的坐标是 ． 【答案】或． 【分析】此题主要考查了反比例函数的图像，利用待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度．根据过点求得反比例函数，再设点B的坐标为，则有，过点作则有，结合三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解∵函数的图像经过， ∴， ∴该函数得为：， ∵点在反比例函数上， ∴设点的坐标为， ∵轴于点，则， 过点作于点，如下图所示： ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由，解得：， 由，解得：， 当时，点的坐标为， 当时，点的坐标为， 故答案为：或． 12．（22-23八年级上·上海青浦·期中）设p，q都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．请写出一个闭区间上的“闭函数”： ． 【答案】 【分析】根据闭函数与反比例函数的特点即可求解． 【详解】由函数的图像可知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减少， 而当时, ； 时, ，故也有， 所以函数是闭区间上的“闭函数”， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义，结合反比例函数的图像与性质解答． 13．（20-21八年级上·上海闵行·阶段练习）若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置：不经过第一象限，则，解之即可求得的取值范围，从而求解． 【详解】解：反比例函数的图象不经过第一象限， 则经过二四象限， ∴． 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 14．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数时，图象在第一、三象限，呈下降趋势，当时，图象在第二、四象限，呈上升趋势．根据反比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、第四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 15．（22-23八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象上有一点，将点向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点．若点也在该函数图象上，则 ． 【答案】2 【分析】根据平移的性质写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数的图象上，即可得出，，解得即可． 【详解】解：∵点向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点 ∴点， ∵点P和点都在该函数图象上， ∴，， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及点的平移，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标． 16．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数图像上三点的坐标分别是、、，且，试判断，，的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握反比例函数图象和性质 是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴双曲线分布在第一、三象限，在每一支曲线上，随的增大而减小，且时，，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（22-23八年级上·上海虹口·期中）已知点和都在反比例函数的图象上，如果，那么y1、y2和0的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】因为，利用反比例函数的图象的性质，在每个象限内，y随x的增大而增大，即可求出y1、y2和0的大小关系． 【详解】解：， 在每个象限内，反比例函数的图象上y随着x的增大而增大， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是判断出的正负性． 18．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为1，矩形的面积是3，则矩形的面积为． 【详解】解：过点A作轴于点E，轴， 则点在同一直线上， ∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴矩形的面积为1，矩形的面积是3， ∴矩形的面积为， 故答案为：2． 三、解答题 19．（19-20八年级·上海静安·课后作业）已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定，进而可得k的取值范围． 【详解】（1）1）把点（k，—1）代入，得， ∴． （2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 20．（22-23八年级上·上海·期中）已知反比例函数，当时，. (1)求y关于x的函数表达式； (2)当且时，求自变量x的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得当时，，根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数，当时，. ∴ ∴, （2）当时，， ∵的图象在第二、四象限， ∴当且时，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，判断反比例函数的增减性，掌握反比例数的图象的性质是解题的关键． 21．（19-20八年级·上海静安·课后作业）已知y是x的反比例函数，且当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求y值； （3）当时，求x值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）用待定系数法设反比例函数，再代入x、y的值即可解题； （2）将代入（1）中的解析式即可解题； （3）将代入（1）中的解析式即可解题． 【详解】（1）设把， 代入解析式的左右两边，解得，故函数解析式是； （2）把代入右边，解得； （3）把代入的左边，解得． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、代数式求值等知识，是典型考点，掌握相关知识是解题关键． 22．（24-25八年级上·上海·单元测试）在反比例函数的图象上有一点，它的横坐标使方程有两个相等的实数根，点与点和点围成的三角形面积为6，求这个反比例函数的解析式． 【答案】或 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出的值，再由围成的三角形面积，求出的纵坐标，确定出反比例函数解析式即可．此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根的判别式，反比例函数系数的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 点与点和点围成的三角形面积为6， ，即， 解得：， ∴或者 即，或者 把坐标代入反比例解析式得：， 解得：， 则反比例函数解析式为． 把坐标代入反比例解析式得：， 则反比例函数解析式为． 23．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，点是的中点，反比例函数图像过点且和相交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直线的解析式：；反比例函数的解析式： (2)12 【分析】（1）先求出点B和点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴ 设直线的解析式：，把代入，得 ， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式：，把代入，得 ， ∴， ∴； （2）设代入，得， ∴， ，， =--=． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，以及割补法求图形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 24．（2022八年级上·上海·专题练习）已知，如图点P是双曲线上的一点，轴于点，轴于点，、分别交双曲线于点、．求的面积． 【答案】 【分析】根据，，得出，再利用，，，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】考查两个反比例函数所形成的几何图形的面积计算，结合反比例函数的几何意义． 25．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，A为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为P． (1)联结，当时，求反比例函数的解析式； (2)联结，若，y轴上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由， (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图象于点C，若的面积为4，求k的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)k的值为或 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求解； （2）求得，即可求得从而求得点； （3）当B点在P点右侧，如图，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到；当B点在P点左侧，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到，然后分别解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：∵轴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当B点在P点右侧，如图， 设， ∵， ∴， ∵轴， ∴，   ∵的面积为4， ∴，解得； 当B点在P点左侧，如图 设， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵的面积为4， ∴，解得； 综上所述，k的值为或． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 26．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，该反比例函数图象上有一动点，过点A作轴垂线，垂足为点B，过点C作轴垂线，垂足为点D，线段与线段交于点E，连接． (1)求正、反比例函数的解析式； (2)设与的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系； (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 【答案】(1)正比例函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)6 【分析】该题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是数形结合． （1）用待定系数法求解即可； （2）借助函数解析式，运用字母m表示的长度，即可解决问题； （3）先求出m的值，求出与的面积；求出梯形的面积，即可解决问题． 【详解】（1）设正比例函数解析式为，把代入得， ∴， ∴． 设反比例函数函数解析式为，把代入得， ∴， ∴． （2）∵ ∴设E点的坐标为， 则，， ∴； （3）如图， 当时，， 解得或（舍去）， ∵点C在函数的图象上， ∴． 由（1）知：， ∴，，， ∴． 27．（22-23八年级上·上海宝山·期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ； (2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？ 【答案】(1)4 (2) (3)2分钟 【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升即可求出水温从加热到所需时间； （2）根据反比例函数过点可求出解析式； （3）分别计算出水温达到前和达到后再降到所需时间即可． 【详解】（1）解：开机加热时水温每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4； （2）由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ， 当时，， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）当时，设，将代入函数解析式，可得： ，解得：， ∴当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 水温不低于的时间为（分钟）， 答：不低于的时间有2分钟． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$