第11讲 成比例线段（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第11讲 成比例线段（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 题型强化 题型一．比例的性质 1．（2024•紫金县一模）若，则下列比例式成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•邵阳期末）已知，则的值 　　． 3．（2023秋•南浔区期末）已知：．，均不为 （1）求的值； （2）求的值． 题型二．比例线段 4．（2023秋•平顶山期末）已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•清江浦区期末）已知线段，线段，线段是线段、的比例中项，则线段的长 　　． 6．（2024•南城县一模）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程． 题型三、成比例线段 7．（22-23八年级上·全国·单元测试）下面四组线段中不能成比例线段的是（   ） A．3、6、2、4 B．4、6、5、10 C．1、2、3、6 D．25、20、4、5 8．（2024九年级上·全国·专题练习）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 题型四、黄金分割 10．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 12．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 分层练习 一、单选题 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是（    ） A．1cm, 3cm, 2cm, 6cm B．2cm, 3cm, 4cm, 6cm, C．1cm, cm, cm,cm, D．1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 4．已知 （），则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 5．若，则（ ） A． B． C． D． 6．若3x＝5y（y≠0），则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 7．由等积式能得到比例式（  ） A． B． C． D． 8．某乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是AB的黄金分割点，且，则AC的长（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线是直线沿着箭头平移所得的像，如果直线、表示两条公路，比例尺：，那么请你通过测量，判断一下，公路、的实际距离约为（   ）（精确到） A． B． C． D． 10．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则 ． 12．已知a，b，c，d是成比例线段，a=3cm，b=8cm，d=4cm，则c= cm． 13．图纸上某零件长，比例尺为1：200，则此零件的实际长度是 ． 14．已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ． 15．已知，那么（a﹣b）：a＝ ． 16．若，则的值为 ． 17．a，b，c，d是成比例线段，其中a＝6cm，b＝4cm，c＝12cm，则线段d的长是 ． 18．已知线段MN的长是20cm，点P、Q都是线段MN的黄金分割点，则点P、Q之间的距离是 cm． 三、解答题 19．已知，求的值． 20．已知 (1)求： (2)求证： 21．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 22．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 23．如图，方格纸上的小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B都在格点上（两条网格线的交点叫格点），请用无刻度直尺完成下列问题： （1）在图中画出线段AB的中点C； （2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到旋转后的线段AB'； （3）在线段AB'上画出点D，使△ABD面积为． 24．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 25．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 26．活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 成比例线段（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 题型强化 题型一．比例的性质 1．（2024•紫金县一模）若，则下列比例式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：、由得，，故本选项比例式不成立； 、由得，，故本选项比例式成立； 、由得，，故本选项比例式不成立； 、由得，，故本选项比例式不成立． 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键． 2．（2023秋•邵阳期末）已知，则的值 　3或　． 【分析】分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当时， 根据等比性质可得： ； 当时，， ； 综上所述，的值为3或， 故答案为：3或． 【点评】本题考查了比例的性质，分两种情况进行计算是解题的关键． 3．（2023秋•南浔区期末）已知：．，均不为 （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）利用内项之积等于外项之积求解； （2）内项之积等于外项之积得到，则可设，所以，，然后把它们分别代入所求的代数式中进行分式化简计算即可． 【解答】解：（1）， ； （2）， ， 设，则，， ． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 题型二．比例线段 4．（2023秋•平顶山期末）已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【分析】利用比例线段的定理得到，然后利用比例的性质求即可． 【解答】解：根据题意得，即， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 5．（2024春•清江浦区期末）已知线段，线段，线段是线段、的比例中项，则线段的长 　　． 【分析】根据比例中项的定义，得到，代值求解即可得到答案． 【解答】解：线段是线段、的比例中项， ， 线段，线段， ， 解得或（舍， 即线段的长为， 故答案为：． 【点评】本题考查比例中项定义，根据线段比例中项列方程求解是解决问题的关键． 6．（2024•南城县一模）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程． 【分析】根据题意得出，，进而即可求解． 【解答】解：， ，， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 题型三、成比例线段 7．（22-23八年级上·全国·单元测试）下面四组线段中不能成比例线段的是（   ） A．3、6、2、4 B．4、6、5、10 C．1、2、3、6 D．25、20、4、5 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据两内项之积等于两外项之积逐项分析即可． 【详解】解：A、，能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，符合题意； C、，能成比例，不符合题意； D、，能成比例，不符合题意； 故选：B． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 题型四、黄金分割 10．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 11．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 12．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 分层练习 一、单选题 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，设 从而可得答案． 【详解】解：， 设 故选B． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参法是解题的关键． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知表示出，的值，进而代入原式求出答案． 【详解】设，， 则， 故选． 【点睛】主要考查了比例式，正确表示出各未知数是解题关键． 3．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是（    ） A．1cm, 3cm, 2cm, 6cm B．2cm, 3cm, 4cm, 6cm, C．1cm, cm, cm,cm, D．1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 【答案】D 【详解】解：A、1：2=3：6，即1cm，2cm，3cm，6cm成比例； B、2：3=4：6，即2cm，3cm，4cm，6cm成比例； C、1：=：，即1cm，cm，cm，cm成比例； D、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例． 故选D． 4．已知 （），则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系，进而得出答案． 【详解】解：A、，可以化成：，故此选项不合题意； B、，可以化成：，故此选项符合题意； C、，可以化成：，故此选项不合题意； D、，可以化成：，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键． 5．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：设a=2x，则b=9x， 故原式=. 故选A． 考点: 比例的性质． 6．若3x＝5y（y≠0），则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案． 【详解】解：A、，可以化成：xy＝15，故此选项错误； B、，可以化成：xy＝15，故此选项错误； C、，可以化成：5x＝3y，故此选项错误； D、，可以化成：3x＝5y，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 7．由等积式能得到比例式（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A，an=mb,错. B,ma=bn,正确. C，mb=an,错. D,mn=ab,错. 故选B. 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 8．某乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是AB的黄金分割点，且，则AC的长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的概念，即可求解． 【详解】解：∵点C是AB的黄金分割点，且，， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟练掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金比．金分割，它们的比值为叫做黄金比是解题的关键． 9．如图，直线是直线沿着箭头平移所得的像，如果直线、表示两条公路，比例尺：，那么请你通过测量，判断一下，公路、的实际距离约为（   ）（精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用直尺和三角板测出a、b之间的距离，然后根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】解：经过测量可知a、b之间的距离约为， ∵比例尺为， ∴实际距离约为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 10．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段成比例．黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， ∴之间的距离为， 故选：B． 二、填空题 11．若，则 ． 【答案】 【分析】直接利用比例的性质进而用同一未知数表示出x，y，进而化简得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴设x＝2a，y＝a， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 12．已知a，b，c，d是成比例线段，a=3cm，b=8cm，d=4cm，则c= cm． 【答案】 【详解】试题解析：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵a=3cm，b=8cm，d=4cm， ∴， ∴c=（cm）． 考点：比例线段． 13．图纸上某零件长，比例尺为1：200，则此零件的实际长度是 ． 【答案】6 【分析】根据比例尺＝图上距离:实际距离，列比例式求得这个零件的实际长． 【详解】解：设这个零件的实际长是， 则：， 解得， ， 故这个零件实际的长是， 故答案为：6． 【点睛】考查了比例尺的概念，注意单位的换算是解题关键． 14．已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ． 【答案】4 【分析】根据比例中项的定义，若是和的比例中项，则，进行计算即可得到答案． 【详解】解：线段是线段和线段的比例中项， ， ，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段的比例中项的定义，熟练掌握此知识点是解题的关键，注意线段不能为负． 15．已知，那么（a﹣b）：a＝ ． 【答案】1：3 【分析】根据设，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴（a﹣b）：a＝ 故答案为：1：3 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． 16．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，得 x=y. == = 故答案为. 17．a，b，c，d是成比例线段，其中a＝6cm，b＝4cm，c＝12cm，则线段d的长是 ． 【答案】8cm 【分析】根据线段成比例，可以列出方程a：b＝c：d，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， ∵a＝6cm，b＝4cm，c＝12cm， ∴6：4＝12：d， 解得d＝8． 故答案为：8cm． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解． 18．已知线段MN的长是20cm，点P、Q都是线段MN的黄金分割点，则点P、Q之间的距离是 cm． 【答案】/ 【分析】设 ，则 ，根据题意得： ，可求出 ，从而得到，同理可得，即可求解． 【详解】解：如图，设 ，则 ， 根据题意得： ，解得： ， 即 ， 则 ， 同理 ， 所以点P、Q之间的距离是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了黄金分割的知识，属于基础题，熟练掌握黄金分割的定义：C是AB上一点，且AC：AB=BC：AC，那么C点就是AB黄金分割点是解题的关键． 三、解答题 19．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，比例的性质．先根据分式的基本性质约分，再算同分母分式的加减，然后由得到，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，， 原式． 20．已知 (1)求： (2)求证： 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k，b=3k，再将a，b的值代入代数式化简可求解. (2)由(1)中的a=2k，b=3k，分别代入等式的左右两边，即可得证. 【详解】(1)解：由 可设a=2k，b=3k ∴. (2)证明：由(1)得，=， ∴ 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，设比例参数是解题的关键. 21．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【答案】(1)1440m，900m (2)， 【分析】本题考查比例尺： （1）根据比例尺为图上距离与实际距离的比例，进行求解即可； （2）根据图上距离，和实际距离，相比即可得出结果． 【详解】（1）解：∵比例尺为， ∴新安大街的实际长度为：； 光华大街的实际长度为； （2）图上长度之比为：， 实际长度之比为：． 22．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【答案】米 【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，为分式方程的解， ∵， ∴， 答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上． 23．如图，方格纸上的小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B都在格点上（两条网格线的交点叫格点），请用无刻度直尺完成下列问题： （1）在图中画出线段AB的中点C； （2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到旋转后的线段AB'； （3）在线段AB'上画出点D，使△ABD面积为． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）利用网格特点确定AB的中点； （2）利用网格特点和旋转的性质画出B点的对应点B′即可； （3）利用平行线分线段成比例定理把AB′五等分可得到点D． 【详解】解：（1）如图，点C为所作； （2）如图，AB′为所作； （3）如图，作AE＝5，连接B′E，在AE上取格点F使AF＝4，过F作EB′的平行线交AB′于D， ∵FD∥BE， ∴＝＝，其中AB= AB′= ∴AD＝AB′=， ∴S△ABD＝=××＝． ∴点D为所作． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 24．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 【答案】(1)厘米； (2)元． 【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解； ()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题； 本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米， ∴矩形画框的宽为厘米； （2）解：矩形画框的面积为（平方厘米）， ∴矩形画框的材料成本为元， 答：生产一个该画框所需要的材料成本为元． 25．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）先求出，再求出的值，即可得出结论； （3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 26．活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等： （1）根据图示和等高线的定义求解即可； （2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可； （4）根据点A和点E的位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可； （5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，则数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，故不公平，化学小组被坑了；在原来规则下，把数学小组和化学小组获胜的条件互换即可． 【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米， 故答案为：100； （2）， 故答案为：； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为， 故选：G； （4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向， 故答案为：南；东； （5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率， ∴不公平，化学小组被坑了；、 设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下： 设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴化学小组获胜的概率为，数学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$