精品解析：2023-2024学年人教版数学八年级下册期末综合培优检测试题

2023-2024学年人教版数学八年级下册 期末综合培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（ ） A. 20 B. 25 C. 20 D. 25 4. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（ ） A. B. C. 5 D. 7 7. 已知点（－3，y1）、（4，y2）在函数 y＝2x＋1 图像上，则y1与y2的大小关系是（ ） A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 无法确定 8. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”．上面两位同学的话能反映出的统计量分别是( ) A 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 10. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 要使有意义，则取值范围是__________． 12 若，则______________． 13. 若函数是正比例函数，则=_______. 14. 若直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为．则直线的解析式为__________． 15. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是中点，若，则的长为__________． 16. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为_________． 17. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为_______． 18. 如图，在中，，是的平分线．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值； （2）（为正整数）的值； （3）的值． 21. 阅读并解答问题： ； ； ； …… 上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题： （1）将的分母有理化； （2）已知，，求的值； （3）计算． 22. 8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）． 班级 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率 一班 2.11 7 92.5% 20% 二班 6.85 4.28 8 10% 根据图表信息，回答问题： （1）直接写出表中，，，的值； （2）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些； （3）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些。你认为谁的推断比较科学合理，更客观些，为什么？ 23. 如图，已知、、在同一条直线上，且，， （1）求证：； （2）若设，，，试利用这个图形验证勾股定理． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线相交于点B（m，2），直线与轴相交于点C． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 25. 如图，中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）判断与的大小关系？并说明理由； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由； （3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形．直接写出答案，不需说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学八年级下册 期末综合培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟练二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.当时，，代数式无意义，不是二次根式； B. 当时，代数式无意义，不是二次根式； C. 中的被开方数无论a为何值都是非负数，则是一定是二次根式，符合题意； D. 当时，，代数式无意义，不是二次根式； 故选：C． 2. 若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：，得到关于的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 解得 故选：C． 3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（ ） A. 20 B. 25 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，得出如下图形，最短路径为AB的长， ∵AC=20，BC=3（2+3）=15， ∴AB==25， 故选D. 【点睛】本题考查的是利用勾股定理求线段的长度，关键是变曲为直，画出矩形，利用勾股定理得出对角线的长度. 4. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项分析即可． 【详解】A项，∵， ∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB， 又∵∠AOD=∠BOC，AO=CO， ∴△AOD≌△COB， ∴AD=BC， ∴结合有四边形ABCD是平行四边形； B．∵∠ABD=∠CDB， ∴ 又∵∠AOB=∠DOC，BO=DO， ∴△AOB≌△COD， ∴AB=CD， ∴结合有四边形ABCD是平行四边形； C．等腰梯形ABCD满足，AB=CD，但四边形ABCD不是平行四边形，故C项不能判定四边形ABCD是平行四边形； D．∵， ∴∠ABD=∠CDB， 又∵∠ABC=∠ADC， ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠CDB=∠ADB， ∴， ∴结合有四边形ABCD是平行四边形； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 5. 如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可． 【详解】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵BC＝12， ∴DE＝6， 在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8， ∴FE＝AC＝4， ∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 6. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∴要求的最小值就是要求的最小值． ∵点P从B点沿着往D点移动， ∴当时，取最小值． 在中， ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴的长度最小为：． 故选：B． 7. 已知点（－3，y1）、（4，y2）在函数 y＝2x＋1 图像上，则y1与y2的大小关系是（ ） A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】把自变量的值代入解析式求出函数值即可比较． 【详解】当x=-3时，y=2x＋1=-2×（-3）+1=7； 当x=4时，y=2x＋1=-2×4+1=-7； 故y1＞y2 故选A． 【点睛】此题主要考查一次函数的函数值大小比较，解题的关键是把自变量x的值代入解析式求解． 8. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数的性质，再结合题图即可判断． 【详解】解：根据题图，时，； 时，； ∴关于x的不等式的解集是； 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据一次函数交点求不等式的解集，掌握相关知识是解题的关键． 9. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”．上面两位同学的话能反映出的统计量分别是( ) A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念可得出结论. 【详解】一组数据中出现次数最多的数值是众数；将数据从小到大排列，当项数为奇数时中间的数为中位数，当项数为偶数时中间两个数的平均数为中位数；由题可知，小明所说的是多数人的分数，是众数，小英所说的为排在中间人的分数，是中位数. 故选为D. 【点睛】本题考查众数和中位数的定义，熟记定义是解题的关键. 10. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先证明△CFG为等腰直角三角形，可得GF=FC，从而得到GE=FD，故①正确；再由H为CG的中点，可得FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，从而证明△EHF≌△DHC，故④正确；进而得到∠HEF=∠HDC，可得到∠AEH+∠ADH =∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；再勾股定理可得，，可得②错误；即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD， ∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°， ∴△CFG为等腰直角三角形， ∴GF=FC， ∵EG=EF-GF，DF=CD-FC， ∴GE=FD，故①正确； ∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD， 在△EHF和△DHC中， ∵， ∴△EHF≌△DHC（SAS）， ∴∠HEF=∠HDC，故④正确； ∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确； ∵△EHF≌△DHC， ∴EH=DH， ∵∠AEH+∠ADH=180°，∠BAD=90°， ∴∠EHD=90°， ∴△DEH是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 根据题意得：∠AEF=90°，∠AGE=∠CGF=45°， ∴△AEG为等腰直角三角形， ∴，即， ∵E为AB上一点， ∴无法判断AE与AB的大小，即AE与AD的大小不确定， ∴不一定成立，故②错误； ∴正确的有①③④，共3个． 故选：C 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 要使有意义，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】分式有意义的前提是分母不能为零，二次根式有意义的前提是被开方数不能为负值，根据定义代入求范围即可． 【详解】∵在分式的分母位置， ∴，即， 又∵分子为二次根式， ∴，即 ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，以及二次根式有意义的条件，能根据题定义去求解是解题切入点. 12 若，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】将进行配方，然后代入计算即可． 【详解】解：， 将代入 得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式，将进行配方变形是解题的关键． 13. 若函数是正比例函数，则=_______. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据形如y=kx（k≠0）是正比例函数，可得答案． 【详解】解：函数是正比例函数， 解得：， 可得：m=-2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握概念是解题的关键． 14. 若直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为．则直线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，根据两直线平行可知k值相等，再将点代入关系式可得答案． 【详解】∵直线与直线平行， ∴． ∵直线经过点， ∴， ∴一次函数的关系式为． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是中点，若，则的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理可得BC的长，再根据平行四边形的性质可得AD的长，然后根据即可得． 【详解】点，点分别是中点 是的中位线 四边形ABCD是平行四边形 又 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，解题的关键是熟记三角形中位线定理． 16. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出∠BAC=30°，∠DAO=90°，得到AB=2，勾股定理求出OA，即可得到点D的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴OB=1， 在菱形中，，∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠ABC=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAC=30°，∠DAO=90°， ∴AB=2OB=2， ∴， ∵AD=AB=2， ∴点坐标为． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握菱形的性质是解题的关键． 17. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为_______． 【答案】49 【解析】 【分析】根据平均数及方差知识，直接计算即可. 【详解】∵数据，，，，的平均数是2， ，即， ，，，，的平均数为： ， ∵数据，，，，的方差是5， ， 即，， ，，，，的方差为： ， ， ， ， ， 平均数和方差的和为， 故答案为：49. 【点睛】本题是对平均数及方差知识的考查，熟练掌握平均数及方差计算是解决本题的关键. 18. 如图，在中，，是的平分线．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、三角形的面积．作点Q关于的对称点，连接，则，利用点到直线垂直线段最短可得出当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，再利用面积法可求出的值，进而可得出的最小值． 【详解】解：点Q关于的对称点，连接，如图所示： ∵平分， ∴点在直线上，， ∴， ∴当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为． 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减混合运算解答即可． （2）根据二次根式的四则混合运算计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 20. 阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值； （2）（为正整数）的值； （3）的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 分析】（1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 原式， 【小问3详解】 原式， ， ， ． 【点睛】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． 21. 阅读并解答问题： ； ； ； …… 上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题： （1）将的分母有理化； （2）已知，，求的值； （3）计算． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照资料中分母有理化的方法即可求解； （2）仿照资料中分母有理化的方法分别计算出的值，再的值即可； （3）仿照资料中分母有理化的方法将代数式化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：，， ∴． 【小问3详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，分母有理化的计算方法，掌握二次根式性质，分母有理化的计算方法是解题的关键． 22. 8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）． 班级 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率 一班 2.11 7 92.5% 20% 二班 6.85 4.28 8 10% 根据图表信息，回答问题： （1）直接写出表中，，，的值； （2）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些； （3）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些。你认为谁的推断比较科学合理，更客观些，为什么？ 【答案】（1）；（2）二；一；（3）乙，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）求出一班的成绩总和除以人数即可得出一班的平均分；观察图即可得出一班众数；把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，即可得到二班的中位数；用二班合格的人数除以二班总人数即可得到二班的合格率； （2）利用方差、优秀率、合格率的意义下结论即可； （3）从平均数、众数、中位数对整体数据影响的情况考虑分析即可． 【详解】解：（1）通过观察图中数据可得： ； ； 二班共有：人， ∵图中数据已经按照从小到大的顺序排列， ∴中位数为20、21的平均数，即：； 二班合格的人数有：人，总人数为40人， ∴， 故答案为：； （2）一班方差为：2.11，二班方差为4.28，∴二班的成绩波动较大， 一班优秀率为20%，合格率为92.5%，二班的优秀率为10%，合格率为85%，∴一班的阅读水平更好些； 故答案为：二；一； （3）乙同学的说法较合理， 平均分受极端值的影响，众数、中位数则是反映一组数据的集中趋势和平均水平，因此用众数和中位数进行分析要更加客观，二班的众数和中位数都比一班的要好，因此乙同学推断比较科学合理，更客观． 【点睛】本题考查了众数、中位数、方差的意义及各个统计量反映数据的特征，准确把握各个统计量的意义是解决此类题目的关键． 23. 如图，已知、、在同一条直线上，且，， （1）求证：； （2）若设，，，试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据得出，即可由证明全等； （2）先根据两种不同计算方法，分别表示出梯形的面积，得出等式后化简即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 ， ，，， 、、在同一条直线上，且， 四边形是直角梯形， ， 又， ， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判断和性质，梯形的面积计算，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，能够用两种不同的方式表示梯形的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线相交于点B（m，2），直线与轴相交于点C． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）4； （3） 【解析】 【分析】（1）由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值，再根据待定系数法可求直线的解析式； （2）由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的值，由点A、B、C的坐标利用三角形的面积可求出的面积； （3）根据两直线的上下位置关系结合点B的横坐标，即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴ ， 解得：， ∴ ∵直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：在函数中， 当时，， 点A的坐标为； 在函数中， 当时，， 点的坐标为， ， ； 【小问3详解】 解：观察函数图象，可知： 直线与直线相交于点， ∴当时，直线在直线的上方， 不等式 的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）将代入中求出值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标；（3）由两直线的上下位置关系找出不等式的解集． 25. 如图，中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）判断与的大小关系？并说明理由； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由； （3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形．直接写出答案，不需说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）点O运动到的中点时，四边形是矩形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质推出，即可证得结论； （2）点运动到中点时，四边形是矩形；利用对角线相等的平行四边形即可证得结论； （3）只要满足矩形的对角线互相垂直即可说明该矩形是正方形，进而可得：只要即可． 【小问1详解】 解：； 理由如下：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：点运动到中点时，四边形是矩形； 理由如下：∵点为中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴平行四边形是矩形； 【小问3详解】 解：当是直角三角形，且时，四边形是正方形． 理由如下：∵， ， ， ∴矩形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$