江苏省泰兴市黄桥初中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学第2章轴对称图形分层作业8课时

泰兴市黄桥初中教育集团2024年秋学期 初二数学补充作业1 姓名_________ 2.1 轴对称与轴对称图形 分层作业 （A类） 1．（1）把一个图形沿着________ 翻折，_如果它能与__________重合，那么称这两个图关于_________对称，也称这两个图形成_______， 这条直线叫做__________； （2）把一个图形沿着________ 折叠，_如果______________能够互相重合，那么称这个图形是_____________图形. （3）轴对称是指 个图形的位置关系，轴对称图形是指 个具有特殊形状的图形. 2.下列图形中对称轴最多的是（ ） A.圆 B.正方形 C.长方形 D.线段 3．轴对称图形的对称轴的条数 ( ) A．只有 1 条 B．有 2 条 C．有 3 条 D．至少有 1 条 4. 现实世界中，对称现象无处不在，汉字中有的字也具备对称性，下面4字中为轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 5．下列图形是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 6．下列四个图形中，不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 7．下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 9.如图，将一个圆形纸片对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪去一个角（即△OMN），再将余下部分展开后的平面后的平面图形是（　　） A. B. C. D. 10．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形， 并简述你的理由． 答：图形____________ ；理由是______________________________． 11.在我国的汉字中，有很多字是轴对称图形，如"王"，"工"等，请你再写出3个不同的轴对称汉字 .（不考虑字体特点） 12.我国传统结构的房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这个图案有__________条对称轴. 13.画出图形的轴对称图形． （B类） 1.下列4个图形中，不是轴对称图形的是 ，对称轴最多的轴对称图形是 . 2．如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） （第2题图） （第3题图） （第4题图） 3．小强是一位不错的足球运动员，如图是他照镜子时的图片，他是______号运动员． 4．如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 ． 5. 如图所示的4组图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ） ① ② ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 6.取一张正方形纸片，沿对角线对折（图1），再沿虚线对折（图2），得到图3的三角形样子，若要求剪去其一个角，展开铺平后的图形图4所示，则对图3的三角形纸片沿虚线的剪法是（　　） A. B. C. D. 7.下图为边长为1的小正方形组成的网格图． ①请画出△ABC关于直线a对称的图形△DEF； ②在AC上取中点M并找出它的对称点N. 8.（1）正多边形都是轴对称图形，请画出下图每个正多边形（各边相等且各内角相等） 的对称轴，并填表； 正多边形的边数 3 4 5 6 8 … 对称轴条数 … （2）猜想：若正多边形的边数为n（），那么其对称轴条数是______. 9.如图①是正六边形， (1) 图①有_____条对称轴； （2）在图①中画一条对角线得到图②，图②有_____条对称轴； （3）在图②中再画出一条对角线，使新图形是轴对称图形，在图③中画出来. 图① 图② 图③ 10.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形. （C类） 1．如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ （第1题图） （第2题图） 2.如图，在3×3的正方形方格纸中，将1个无色的小方格涂黑，使整个图案为轴对称图案（包括颜色的“对称”），共有_____ 种方案. 3.数的运算中有一些有趣的对称式，如 12×231＝132×21， 请你仿照这个等式填空： ×462＝ × 4.如图，由4个全等的正方形组成L形图案，请你在图案中改变1个正方形的位置，使 它变成轴对称图案.画出轴对称图形及对称轴.(至少三个) 5.如图，用四块如图a的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形.请在b、c、d 中各画出一种拼法（要求：三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示） 6．通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形． 7．如图边长为１的小正方形组成了3×3的正方形，我们把顶点在小正方形上的三角形叫格点三角形，如△ABC．（1）求△ABC的面积；（2）请你在备用中利用一次轴对称变换画出与原三角形全等的格点三角形，并画出相应对称轴；（3）你能否在3×3正方形网格中画出更多与△ABC全等的格点三角形吗？若能，请在备用图中画出来． 个性化作业 生活﹡发现 生活中的轴对称图案 在你熟悉的产品商标、交通标识、汽车标牌中，有许多是轴对称图形，请你从中找出对称轴有1条、2条、3条和4条的图形各一个，并把它们画出来. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰兴市黄桥初中教育集团2024年秋学期 初二数学补充作业2 姓名_________ 2.2 轴对称的性质（1） 分层作业 (A类) 1．(1)成轴对称的两个图形的对应线段 、对应角 ． (2)成轴对称的两个图形中，对应点的连线被__________垂直平分． 2. 经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ） A．形状没有改变，大小没有改变 B．形状没有改变，大小有改变 C．形状有改变，大小没有改变 D．形状有改变，大小有改变 3．如图，△ABC 和△DFE 关于直线 MN 对称，则点 E 的对称点是____，线段AC 的对应线段是______．若连接AD，则直线 MN与AD的关系是_________________. （第3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图） 4．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝20°，则∠E＝ °． 5．如图,∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝ ． 6．如图,直线AD是△ABC的对称轴，AC=8cm, DC=3cm, 则△ABC的周长为______ cm. 7．两个图形关于某条直线对称，对称点一定在 ( ) A．这条直线的同旁 B．这条直线的两旁 C．这条直线上 D．这条直线的两旁或这条直线上 8．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你可见到的图形是 ( ) A. B. C. D. 9．如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以虚线l 为对称轴画出它的另一半． (第10题 ) 10. 如图，△ABC 与△A'B'C '关于直线 l 对称. （1）若∠B＝78°，则∠B'＝ °； （2）若AB=4,AC=5,BC=2,求△A'B'C'的周长. 11.如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 关于直线 l 对称. （1）连接AE，对称轴l与线段AE有何关系？ （2）连接BF，AE与BF平行吗？请说明理由. 12.如图，△ABC 与△A'B'C '关于直线 l 对称.请你用刻度尺和三角板画出对称轴l. （有多种方法奥） （B类） 1.根据示例图形，完成下表： 图形的变化 示例图形 与对应线段有关的结论 与对应点有关的结论 平移 AB=A'B' AB∥A'B' A A'=BB' A A'∥BB' 轴对称 2．如图 △AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC， 下列说法中不正确的是 ( ) A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO B．直线l垂直平分AB、CD C． △AOD和△BOC均是等腰三角形 D ．AD=BC，OD=OC (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3．如图，Rt△AFC 和 Rt△AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2， ②△ ANC≌△AMB；③CD＝DN，其中正确的结论是__________（填序号）． 4．如图，直线 l 是四边形 ABCD 的对称轴，若AB＝CD，有下面的结论： ①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC．其中正确的结论有_____ 5．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，A、B两点关于直线DE对称，∠CAD=10°， 则∠B= . (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6．如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，且∠1+∠2＝72°，则∠A=________． 7．如图，CD是△ABC的边AB上的高，且AB＝2BC＝8，点B关于直线CD的对称点恰好落在AB的中点E处，则△BEC的周长为______． 8.如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将矩形ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF＝40°, 求∠FBE的度数 9.如图，在两面成“八”字形放置的镜子中间放着塑料做的数字9，你在左右两面镜子中看到的像是怎么样的？请你把它们写出来. 10．如图，△ABC 与△DEF 关于直线 l 对称 (1)在图形中标出点 A、B、C 关于直线 l 的对称点 D、E、F．若 M 为 AB 的中点， 在图中标出它的对称点 N． (2)若 AB＝2cm，AB 边上的高为 5 cm，则△DEF 的面积为______ cm2. (3)延长线段BA、ED, 它们的交点与直线l有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来. （C类） 1．如图，在 3×3 的正方形格点图中，有格点△ABC，若有另一格点△DEF 与△ABC 关于某直线成轴对称，请在下面的图中画出所有这样的△DEF． 2.如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B′处，若∠ADB=20°， 那么∠BAF应为多少度时才能使AB′∥BD？ 个性化作业 操作与思考 折纸的思考 如图①，准备一张长方形纸片ABCD（其中∠A=∠B=∠C=∠D=90°且AB>BC）, 第一步，对折长方形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（如图②），第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB,PC，得到△PBC.通过测量，你发现△PBC有什么样的特点吗？ 你还会用长方形纸片折出其他图形吗？尝试折一折并和同学交流 图① 图② 图③ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰兴市黄桥初中教育集团2024年秋学期 初二数学补充作业3 姓名_________ 2.2 轴对称的性质（2） 分层作业 (A类) 1. 下列选项中，点M与点N关于直线对称的是(    ) A. B. C. D. 2．下列说法中，不正确的是（ ） A. 成轴对称的两个图形全等 B. 全等的两个图形一定成轴对称 C. 成轴对称的两个图形的任何部分也成轴对称. D. 两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴； 3．如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°， 则∠B的度数为（ ） A．48° B．54° C．74° D．78° （第3题） （第4题） 4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN成轴对称。 （1）点A的对称点是______，线段AD的对应线段是_______，∠ADC＝∠______． （2）连接AC、EG，因为△ADC与关于直线MN成轴对称，则△ADC ______△EHG； 5.画出下图中线段AB关于直线的对称线段A′B′. （工具不限，不写作法） 6.画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形.（工具不限，不写作法） 7.如图，已知点A和直线 求作：点A’,使点A’与点A关于直线对称（尺规作图，不写作法） 8.图中的四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称. 连接AC,BD，设它们相交于 点P. （1）确定点P关于直线MN的对称点Q. （2）指出△ABC关于直线MN的对称三角形，从中你能得到什么结论？ （B类） 1. 下列说法中，①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④一个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧. 正确的共有（ ） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列每个网格中均有两个图形，其中一个图形可以由另一个进行轴对称变换得到的是(    ) A. B. C. D. 3. 如图是台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球袋的序号是(     ) A.① B.② C.⑤ D. ⑥ 4. 如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D为顶点的四边形是一个轴对称图形. （提示：画轴对称图形首先应确定对称轴，然后找出对称点）. 5. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8的正方形网格中，点A、B、C、M、N均在格点上(小正方形的顶点为格点)，利用网格画图． (1)画出△ABC关于直线MN对称的△A’B’C’ (2)在线段MN上找一点P，使得∠APM=∠CPN. (保留必要的画图痕迹，并标出点P的位置) 6．如图边长为１的小正方形组成了3×3的正方形，我们把顶点在小正方形上的三角形 叫格点三角形，如△ABC． （1）求△ABC的面积为_______； （2）请你画一个△DEF, 使△DEF与△ABC关于某条直线对称且D、E、F为格点. 7．已知：如图，在∠AOB 外有一点 P，试作点 P 关于直线 OA 的对称点 P1，再作点 P1关于直线 OB 的对称点 P2． (1)试探索∠POP2 与∠AOB 的大小关系； (2)若点 P 在∠AOB 的内部，或在∠AOB 的一边上，上述结论还成立吗？ （C类） 阅读: 如图①，点A、B分别是直线MN异侧的两点，在直线MN上确定一点P，使PA+PB最小，根据“两点之间，线段最短”，可以连接AB，此时线段AB和直线MN的有一个交点P，点P即为所求. 图① 图② 问题: （用直尺和圆规按照要求作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)如图②, 点A、B分别是直线MN同侧的两点，在直线MN上确定一点P，使PA+PB最小. （2）如图③，点P是∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM、ON上分别确定一点A、B,使△PAB的周长最小。 图③ 图④ (3) 如图④,在正方形ABCD中，E为BC的中点，点P是BD上一动点，确定点P，使PE+PC最小. 个性化作业 生活●数学 确定台球的运动路线 台球（Billiard），是球类运动项目之一。运动员在台球桌上，用超过91.4厘米长的球杆，按照一定的规则，通过击打白色主球，使其撞击目标球入袋 如图①，在一个长方形球台ABCD上，台球由P点处向点O运动，到达O点后向Q点方向运动，在这个撞击过程中满足∠1=∠2，∠3=∠4 如图②，在一个长方形球台ABCD上，P点、Q点处各放一个台球，如果要求球P撞击AD边后再撞到球Q，你能画出台球运动路线吗？ 如图③，如果要求球P先撞击BC边，再反弹到再CD边,最后反弹再撞到球Q，你能确定台球的运动路线吗？ 图① 图② 图③ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰兴市黄桥初中教育集团2024年秋学期 初二数学补充作业4 姓名_________ 2.3 设计轴对称图案 分层作业 (A类) 1.下列倡导节约的图案中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2.如图中，是轴对称图形的有（　　） A．1个　　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 3.将一张如图矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成如图所示的四个图形，这四个图形不是轴对称图形的是（　　） 4.如图，将右侧四幅图分别平移到位置M后，能与N成轴对称的是(   ) 5. 要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案（阴影部分）为轴对称图形，图中的设计符合要求的有(  ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 将圆形纸片对折再对折如图，然后沿着图中的虚线剪开得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（　　） 7.如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑，与其他三个不同的是（　 ）　 　 A. B. C. D. 8.用四块如图（1）所示的正方形瓷砖拼成一个新正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形．请你在图（2）、（3）、（4）中各画一种拼法．（要求三种拼法各不相同） 9.下面两个轴对称图形分别只画出了一半，请画出它们的另一半（直线为对称轴）． 10.参照下图，利用一条线段、一个圆、一个等边三角形设计一个轴对称图案，并说明你要表达的意义. 11.某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案. 12.在下面三个2×2的方格中,各作出一个与图中三角形成轴对称的图形,且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合,并给所画图形涂上阴影(所画的三个图形不能重复). 　　　 　 图①　　　 　 图②　　　 　图③ 13.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l. (1)将△ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形; (2)画出△DEF关于直线l对称的三角形; (3)填空:∠C+∠E=———°.  （B类） 1．娜娜跟奶奶学习剪纸艺术，想把一张正方形纸片从中间剪出一个如图的形状.现在将正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿虚线剪去一个角，展开铺平，娜娜的剪裁方法应该是（     ） A． B． C． D． 2．剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（    ） A． B． C． D． 3.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，这时的时间是（ ） A.21:10 B.10：21 C.10：51 D.12：01 （第3题图） （第4题图） （第5题图） 4.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是（　　）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 5.如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中 ( ) A. AH=DH≠AD B. AH=DH=AD C. AH= AD≠DH D. AH≠DH≠AD 6. 将一个圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀剪去其方形部分，展开后得到的多边形的内角和度数为__________. 7.下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题. 请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形. （C类） 1．如图，正三角形网络中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有____种. 2.如图的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC 成轴对称的格点三角形一共有____个. （第2题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图） 3.如图，是 4×4 正方形网格，其中已有 4 个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一 个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格 有_____种选择. 4.如图所示的“钻石”型网格(由边长都为1个单位长度的等边三角形组成)，其中已经涂黑了3个小等边三角形(阴影部分表示)，请你只涂黑一个小等边三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形，满足题意的涂色方式一共有(     ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D.4种 5．如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有(     ) A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 个性化作业 应用与拓展： 1. 剪正五角星 节日前夕，常要制作许多五角金星.我们用折纸的方法，可直接剪出一个五角星. 方法是这样的：拿一张长方形（或圆形）的纸，先对折，参见图（1）一幅都折成五等分，参见图（2）.五等份的折线上，取点A和点C，使OC比三分之一的OA稍微长一点，沿斜线AC把图（2）中的阴影部分剪掉，然后把纸展开，就得到了一个正五角星，参见图（3）. （1） （2） （3） （4） （5） 若取OC比三分之一的OA长得多（如OC为OA的一半），这时剪出的五角星就不一样了，它的五个角的边比较短.见图（4）；而当沿直角方向剪去，展开后则成了一个正五边形，见图（5）. 试试看,并想一想，这种折纸剪正五角星的方法，其中隐含着什么数学道理呢？ 2. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①，的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星,若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪?即∠ABC的度数为______. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰兴市黄桥初中教育集团2024年秋学期 初二数学补充作业5 姓名_________ 2.4线段、角的轴对称性（1） 分层作业 (A类) 1. （1）线段的轴对称性：线段是_______图形，线段的____________是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点,到这条线段_________________ 的距离相等. 2．如图，P是线段AB的垂直平分线MN上的点，O是MN与AB的交点，PA=5 cm， OB=3 cm，则PB=_____cm，△PAB的周长为_____cm． （第2题） （第3题） （第4题） 3. 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF交CB于点D，连接AD． （1）若CD=2 cm, DA=3 cm,求CB的长； （2）若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为_________ . 4.利用网格线画线段AB的垂直平分线． 5.如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线m、n相交于点O, 连接OA、OB、OC. 求证：OA=OC。 6.线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 已知：如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D． 求证：AB>AC． 7．如图，在△ABC中,AB的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D. AC的垂直平分线FG交BC于点G垂足为F. (1)若BC=15cm，求△AEG的周长. (2)若∠BAC=110°，则∠EAG的度数为_______. 8.如图，AD⊥BC，BD=CD，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ (B类) 1．如图，在ΔABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE=2，则B、E两点间的距离是 _______ ． （第1题） （第2题） （第3题） 2. 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　） A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 3.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，腰长为6，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP+CP的最小值(     ) A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 4已知：如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线相交于点P,过点P作PE⊥BC，垂足为E. 求证：点E是BC的中点. 5．某市政府为了方便居民的生活，计划在公路边修建一个购物中心， 试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到A、B两个小区的距离相等? 6.如图，在△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E（点E在线段BD上） (1)若BC=10cm，DE=4cm，求△ADE的周长. (2)若∠BAC=70°，则∠DAE的度数为_______. (3)若BC=a, DE=b, 则△ADE的周长为___________.(用含a、b代数式表示) 若若∠BAC=°（<90°），则∠DAE的度数为_______ . (用含的代数式表示) 7.如图，△ABC中，边BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，如果△ACD的周长为17 cm，△ABC的周长为25 cm，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长? 8.如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E． 求证：∠ABE=∠CDE． (C类) 在△ABC中，∠B=m°，边AB、BC的垂直平分线、的交点O，记、的 夹角为（0°<90°），求和∠AOC的度数. （提示：分m<90°、 m=90°、 90°< m<180°讨论） 图1 图2 图3 个性化作业 操作● 探究 如图1，某奶茶店有一块锐角三角形△ABC墙面需要涂油漆，现要在墙面上留一块区域作心愿墙，要使这个区域内的所有点P满足PCPAPB，请在图中用阴影表示出所有点P组成的区域. 图1 图2 图3 图4 若△ABC是直角三角形呢？钝角三角形呢？ 图4 图5 图6 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰兴市黄桥初中教育集团2024年秋学期 初二数学补充作业6 姓名_________ 2.4线段、角的轴对称性（2） 分层作业 (A类) 1. 到线段的两端的距离相等的点在_______________________________. 2．分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M． 则点M _____AB的垂直平分线上（填“在”或“不在”）， 理由是____________________________________________. (第2题) (第3题) (第4题) (第5题) 3. 如图， 已知：PA＝PB, QA＝QB, (1)由PA＝PB， 则点P在线段AB的 _____________________ ； (2)由QA＝QB，则点Q在线段AB的_____________________； (3)过点P、Q画一条直线，则直线PQ是线段AB的_____________________； 4.如图，已知：AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ） 证明：∵AB=AC ∴点A在线段BC的垂直平分线上① ∵MB=MC ∴点M在线段BC的垂直平分线上② ∴直线AM是线段BC的垂直平分线 ③ A．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．②处的依据是：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．③处的依据是：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．以上说法都不对 5.如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的__________线． 6．底边AB=a的等腰三角形有_____个，符合条件的顶点C在线段AB的____________上 7. 已知△ABC，利用直尺和圆规作AB、BC的垂直平分线l1和l2，相交于点O． 求证：点O在AC的垂直平分线上． 8.如图，AD=AC, BD=BC, 求证：AB垂直平分线段CD. 9.如图，∠C=∠D, AD=BC. (1) 求证：△AOD≌△BOC (2) 求证：点O在线段AB的垂直平分线段上. 10. 如图，AD=AC, BD=BC, 点E在AB上，求证：ED=EC. (B类) 1．到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形（ ） A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点 2．如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3.将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（ ） A．AC＝BE B．AC⊥BE 且AC＝BE C．AC⊥BE D．AC⊥BE且AC平分BE (第3题) (第4题) 4.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中两个格点(即正方形的顶点)在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使AC＝BC， 则满足条件的格点C有______个. 5．如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下： 步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧； 步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D； 步骤3：连接CD，且过A，B作直线 则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是_______________________． (第5题) (第6题) 6．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的一点，过点O作OE⊥AB ,OF⊥AC, 垂足分别为E、F，且OE＝OF．求证：AO垂直平分线段BC． 8．利用网格在图中找一点O，使OA=OB=OC. 9．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图所示），请你用尺规作图的方法确定点P的位置（写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹） 10．如图，已知直线l及其两侧点A、B． （1）在直线l上求作一点O，使O到A、B的距离和最短； （2）在直线l上求作一点P，使PA=PB； （3）在直线l上求作一点Q，使直线l平分∠AQB． 11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题： （1）求BC的长； （2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由． （C类） （1）如图1，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC=DE, ∠B=∠E 请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线. （2）如图2，在六边形ABCDEF中，AB=FE, BC=ED, ∠A=∠F, ∠B=∠E， 请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线. 图1 图2 个性化作业 操作●探索 我们知道，任意三角形的三条边的垂直平分线交于一点. 任意四边形的四条边的垂直平分线一定交于一点吗？如果不一定，那么什么条件的四边形，它的的四边的垂直平分线会交于一点？请尝试进行研究，并将你的研究过程和结果呈现出来. 第 1 页 共 4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰兴市黄桥初中教育集团2024年秋学期 初二数学补充作业7 姓名_________ 2.4线段、角的轴对称性（3） 分层作业 (A类) 1. (1) 角是轴对称图形， _____________________是它的对称轴. (2) 角平分线上的点到__________________________距离相等. 2. 如图，下列四种基本尺规作图分别表示： ①作一个角等于已知角； ②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线； ④过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中作法错误的是 （ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D， 则下列结论错误的是（ ） A．∠COP＝∠DOP B．PC＝PD C．OC＝OD D．∠COP＝∠OPD （第3题） （第4题） （第5题） 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E．若CD=9cm，则点D到AB的距离是（ ） A．9cm B．6cm C．4.5cm D．3cm 5．如图，在Rt△ABC中，∠A =90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD=BE；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F；作射线BF交AC于点H，过H作HP⊥BC于点P,若HA=2，则HP的值是（ ） A．2 B． C．1 D．无法确定 6. 证明：“角平分线上的点到角两边的距离相等”. 要求：写出已知、求证和证明. 提示：利用三角形全等证明线段相等或运用图形运动的方法证明. 7．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝40°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线 相交于点P，且D，P，C在同一条直线上． （1）求∠PAD的度数； （2）求证：P是线段CD的中点． (提示：过P点作PE⊥AB于E.) 8．如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC， OF⊥BC，垂足分别为D，E，F． （1）OD与OE是否相等．请说明理由； （2）若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积． 9.如图,AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. (1)求证：DE=DF； (2) 求证：AE=AF； (3)试说明: AD垂直平分EF; (4)若AB=6,AC=4,S△ABC=15,求DE的长. 提示：你有几种方法证明DC=DE和AE=AF？你觉得哪种方法简单？ △ABC的面积可以用哪两个三角形的面积相加？ (B类) 1．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A．AF=BF B．AE=AC C．∠DBF+∠DFB°= 90° D．∠BAF =∠EBC 2．现有一直角三角形纸片，先将共一个锐角∠ABC折叠（如图1），使点A落在斜边BC上的A’处，折痕与边AC交于点D．再将另一锐角∠DCB折叠（如图2），使CD也落在斜边上，折痕与A’D交于点P，量得DP=AP’=3，则点P到CD的距离为（ ） A．4 B．3 C．2 D． （第3题） （第4题） 3.如图,∠ADB=∠ABC=90°,∠DAB=∠BAC,BD=6,P为AC上的动点,则BP的最小值为____. 4.如图,在△ABC中, AD平分∠BAC, DE⊥AB. (1) 用直尺和圆规作出： ①△ABC的角平分线AD; ②过点D作DE⊥AB，垂足为点E（保留作图痕迹，不写作法） （2）若AC=8, DE=4,则S△ACD= . （C类） 1．已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．如图1，当PC⊥OA，PD⊥OB时，易证PC=PD．当旋转到图2位置是PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论． 图1 图2 变式探究： 如图3，OM是∠AOB的平分线，P是OM上任意一点，点C、D分别在OA、OB上，连接PC和PD，若∠PCO+∠PDO =180°，求证：PC=PD． 图3 2．如图，BM平分∠ABC，D为AC的中点，且MD⊥AC，过点M作ME⊥BC于点E， MF⊥AB于点F． （1）求证：AF=CE； （2）如果BC=8,AB=4，求BE,AF的长． 个性化作业 操作●探索 我们知道，任意三角形的三条角平分线一定交于一点，任意四边形的四个内角的平分线一定交于一点吗？如果不一定，那么满足什么条件的四边形，它的四个内角的平分线会交于一点？请尝试进行研究，并将你的研究过程和结果呈现出来. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰兴市黄桥初中教育集团2024年秋学期 初二数学补充作业8 姓名_________ 2.4线段、角的轴对称性（4） 分层作业 (A类) 1．如图，在△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于N点， 且OM=ON，则BO平分∠ABC，理由是: 角的内部到______________________. 若∠A=60°，∠C=60°，则∠ABO = _____ °． (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，点P是∠AOB内一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC =PD，点E在OA上，∠AOB= 50°，∠OPE=30°，则∠PEC的度数是（ ） A．50° B． 55° C．45° D．60° 3．如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AB， 则∠B的度数是_______. 4.尺规作图：（要求:保留作图痕迹，写出结论） (1)如图①，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等 图① 图② （2）如图②,已知∠AOB内有两点C、D.求作一点P，使点P到OA、OB的距离相等， 且PC=PD. 5．如图，在△ABC 中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：∠B=∠C 6．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，BE=CF，垂足分别为E、F, 求证：AD是△ABC的角平分线． 7．阅读理解下面内容，并解答问题． 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线． 求证：AM，BN，CP相交于一点． 证明：如图2，设AM，BN相交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F． ∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点， ∴OE=OF ，（__________________________________________） 同理，OD=OF． ∴OD=OE．（_______________） ∵CP是∠ACB的平分线， ∴点O在CP上，（____________________________________ ） ∴AM，BN，CP相交于一点． 请解答以下问题： （1）填写上述证明过程中的括号内的依据. （2）如果BC=a，AC=b，AB=c,OD=r，，请直接用a，b，c，r表示△ABC的面积． 图1 图2 (B类) 1．到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边垂直平分线的交点 2. 三角形内部到三条边距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边垂直平分线的交点 3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接MN，分别与AB，BC交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点G，交AC于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于GH的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线AP，分别交BC，MN于点F，Q．若∠B= 40°，∠C= 60°，则∠EQF的度数为（ ） A．10° B．15° C．20° D．25° (第3题) (第4题) (第5题) 4．如图，射线OC为∠AOB的平分线，点M，N分别是边OA，OB上的两个定点，且OM<ON，点P在OC上，满足PM=PN的点P的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 5．如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE，若AB=12，CD=3，则△BDE的面积为 _____ ． 6．如图，在△ABC中，点D在AB的延长线上，∠BAC的平分线与∠CBD的平分线 相交于点E，连接CE， (1) 求证：点E在∠FCB的平分线上. (2)若∠ABC =60°, ∠BAC =50°，则∠BCE = _____． （C类） 1.如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？ 2.利用网格画图： （1）找个点P，使PA=PB，这样的P点有____个； （2）找个点M，使M 点到BA、BC的距离相等., 这样的M点有____个； 3．如图，已知△ABC，点P为BC的垂直平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足 分别为E、F，若BE＝CF，求证：点P在∠BAC的平分线上． 4.如图，AP平分△ABC的外角∠DAC，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E， BD=CE． (1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上； (2)求证：AC-2AE=AB． 个性化作业 操作●探索 角平分线的再探究 你能用不同的工具画角的平分线吗？同样的工具有不同的画法吗？请你在下面的图中画∠AOB的角平分线，要求： ①在每个图右方注明使用的工具（可以几种工具组合使用）； ②图不够还可以自行添加； 第 1 页 共4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$