专题04 图形的相似（6种基础题型+2种提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（四川成都专用）

专题04 图形的相似（6种基础题+2种提升题） 比例的性质 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 2．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知a，b，c为非零实数，且满足，则一次函数的图像一定经过 象限． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知：． (1)求代数式式的值； (2)如果，求a，b，c的值． 比例线段、平行线分线段成比例 1．（22-23九年级上·吉林长春·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，，，，，那么 ．    3．（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（        ）    A． B． C． D． 4.（23-24九年级上·全国·单元测试）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 5．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知，，，则的长为多少． 6．（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 黄金分割点 1．（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，正五边形的几条对角线的交点分别为，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 探索相似条件 1．（22-23九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，不能判定和相似的条件是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 相似三角形的性质 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，． (1)在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）； (2)证明：． 2．（20-21九年级上·陕西·期中）已知：如图在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H．求证：． 3．（21-22九年级上·福建三明·期中）如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）求证：△ABF∽△CEB； （3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由． 4．（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． (1)如图1，连接，若平分，，试求的长度； (2)求证：； (3)如图2，连接，若，，，试求的面积． 位似图形 1．（23-24九年级下·重庆·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比是，若点B的坐标为，则点E的坐标是 ． 4．（20-21九年级上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是． (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 动点问题 1．如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒． （1）当时，的面积为__________． （2）当为何值时，与相似？ （3）在、的运动过程中，能否构成等腰三角形？如能求出，如不能，说明理由． 2．如图，在四边形中，，，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，过点P作，交折线于点E，以PE为斜边向右作等腰直角三角形，且，当点E在线段上时，．设点P的运动时间为t秒（）．    (1)当t为何值时，点F恰好落在上？ (2)若点P与点C重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形与四边形重叠部分的面积为S，求出S关于t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当点F在的右侧时，是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S与四边形的面积比为？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在中，，，．动点、同时从点出发，点沿向终点运动，速度为每秒个单位长度．点沿射线运动，速度为每秒个单位长度．当点停止运动时，点继续运动，以、为邻边作，设运动时间为秒．    (1)________； (2)在点运动的过程中，________（用含的代数式表示）； (3)当平行四边形与重叠部分为四边形时，求的取值范围； (4)当点落在的高线所在直线上时，直接写出的值． 4．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，过点作于点、，过点作，与交于点．设点的运动时间为秒．    (1)①当时，________________，________________； ②线段的长为________；（用含t的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)当直线将的面积分成的两部分时，求的值； (4)当点落在的角平分线上时，直接写出的值． 相似综合 1．如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 2．如图，在中，，点D为一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证： ； (3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值． 3．洛洛遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长． 洛洛发现，过点C作，交的延长线于点E，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． (1)请回答：的度数为__________，的长为__________． (2)参考洛洛思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在四边形中，与交于点E，且，，，，，求的长； ②如图4，在中，，点D是边的中点，点E在边上，过点D作交边于点F，连结，当，时，请直接写出的长． 4．在四边形中，且，．将绕点顺时针旋转一定角度得线段，点在四边形内部，连接，，连接并延长交于点．    (1)如图，若，过点作延长线的垂线，垂足为，求的度数； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，若，连接并延长交于点，，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 图形的相似（6种基础题+2种提升题） 比例的性质 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①当时，得； ②当时，则，； 综上所述，k的值为1或． 故选：C． 2．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，由已知代数式可以用设比值为一个参数的方法求解． 设，可得，，，代入求解即可． 【详解】设，则， ． 故答案为：6 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知a，b，c为非零实数，且满足，则一次函数的图像一定经过 象限． 【答案】第一、第四 【分析】本题考查了比例的性质、一次函数图象与系数的关系．直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 根据比例的性质求得值，然后根据一次函数图象与系数的关系得出结论． 【详解】解：由得： ，① ，② ，③ 由①②③，得， （1）当时，； 一次函数的解析式是：， 该函数经过第一、三、四象限； （2）当时，，④ 将④代入②，得； 又， ， ， 一次函数的解析式是：， 该函数经过第一、二、四象限； 综上所述，一次函数一定经过的象限是第一、四象限． 故答案为：第一、第四． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知：． (1)求代数式式的值； (2)如果，求a，b，c的值． 【答案】(1)1;(2) 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，解一元一次方程，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． （1）设，代入化简即可； （2）设，代入求出k的值，进而可求出a，b，c的值． 【详解】（1）∵， ∴设，代入，得 ； （2）∵， ∴设，代入，得 ， 解得， ∴． 比例线段、平行线分线段成比例 1．（22-23九年级上·吉林长春·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，，，，，那么 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出的长． 【详解】解：∵，，， ∴，即：， ∵，且， ∴， 可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 3．（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（        ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作交AC于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得． 【详解】解：过点F作交AC于点G, ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵, ∴． ∴． 设，则， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：A 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 4.（23-24九年级上·全国·单元测试）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 5．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知，，，则的长为多少． 【答案】8 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用定理、找准对应关系是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入己知数据就算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 6．（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】(1)4，14;(2)15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ，∴； （2）∵点G是的中点，，∴，∴， ∵,∴,∴ ∴ 黄金分割点 1．（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键． 【详解】解：是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 2．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，正五边形的几条对角线的交点分别为，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质判定四边形为平行四边形，进而求出的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到的长黄金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键 【详解】解：∵五边形为正五边形 ∴，, ∴ 同理可得 ∴ ∵ ∴ 同理可证明 ∴四边形为平行四边形 ∴,，同理：， ∵、为的黄金分割点∴， ∴，∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形，∴， 又∵，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴． 又∵，∴， 故答案为：． 探索相似条件 1．（22-23九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，再根据相似三角形的几种判定方法逐一判断即可． 【详解】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项错误； B、添加，可用两角法判定，故本选项错误； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误； D、添加，不能判定，故本选项正确； 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，不能判定和相似的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：A.由知，且，所以可判断和相似，故选项A不符合题意； B.∵，且，所以可判断和相似，故选项B不符合题意； C.∵，且，所以可判断和相似，故选项C不符合题意； D.由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意； 故选：D． 3.（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键． 【详解】解：选项A，∵，，    ∴，故选项A不符合题意． 选项B，如图，设与交于点，      ∵，， ∴，故选项B不合题意； 选项C，∵，， ∴，故选项C不合题意； 选项D中没有相似三角形，符合题意． 故选：D． 4．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】解：∵，， ∴．故（c）正确． ∵平分， ∴， ∴．故（b）正确． ∴， ∴， ∴．故（d）正确． 而不能证明，故（a）错误． ∴错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 相似三角形的性质 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，． (1)在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）； (2)证明：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定，掌握作图方法是解决问题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可． （2）先证，再结合即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，以为圆心，任意长为半径化弧，分别交，于，， 然后分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，作射线交于， 即为所求； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．（20-21九年级上·陕西·期中）已知：如图在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，菱形的性质：菱形的对边平行，四条边相等，对角相等，也考查了全等三角形的判定与性质； 先证明得到，证明，又因为是公共角，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（21-22九年级上·福建三明·期中）如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）求证：△ABF∽△CEB； （3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由见解析． 【分析】（1）根据BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，进而得出∠AEB=∠BFC，再根据正方形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠BCA，用AAS证明两个三角形全等； （2）根据正方形的性质和三角形的外角和，得出∠BEC=∠BFA，∠ACB=∠BAC，用AA证明两个三角形相似； （3）根据已知和正方形的性质，对顶角的性质得出△BEF∽△CGF，得出边的比例关系，根据边的比例关系转换和对顶角的性质得出△EFG∽△BFC，进而得出∠BGE=45°，得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=． ∵BE= BF， ∴∠BEF=∠BFE． ∴∠AEB=∠CFB． ∴△ABE  ≌△CBF． ∴AE=CF． （2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE， ∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE， ∴∠BEC=∠ABF． ∵∠BAF=∠BCE=， ∴△ABF∽△CEB． （3）答：EB=EG，BE⊥EG   理由如下：如图. ∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC， ∴△BEF∽△CGF ∴.即. ∵∠EFG=∠BFC，∴△EFG∽△BFC. ∴∠EGF=∠BCF=45°.∴∠EBF =∠EGF=45°. ∴EB=EG，∠BEG=90° ∴EB=EG，BE⊥EG． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，根据三角形相似得出的比例关系的转换关系和题中的图中的条件，判定另一组三角形相似，灵活运用相关知识进行解答． 4．（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． (1)如图1，连接，若平分，，试求的长度； (2)求证：； (3)如图2，连接，若，，，试求的面积． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)27 【分析】（1）根据三角形中位线定义以及角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质可得即可； （2）利用三角形中位线定理可得，，再根据相似三角形的判定和性质，得出即可； （3）根据全等三角形、等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系判断是等腰直角三角形，再根据三角形面积的计算方法以及（2）的结论进行计算即可． 本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，掌握三角形中位线定理、三角形全等 的判定和性质以及等腰三角形的性质是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，连接， 、分别是边、边上的中线， 是的中位线， ，且， ， 平分， ， ， ， 即的长度为3； （2）证明：、分别是边、边上的中线， 是的中位线， ，且， ，， ，，； （3）解：延长交于点， ，、分别是、边上的中线， ，， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， ， ， 是等腰三角形的顶角平分线， ，， 即， ， ， 又，， ，， ， ． 位似图形 1．（23-24九年级下·重庆·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查位似变换，相似三角形的性质，掌握位似变换的性质是解题的关键． 根据位似变换的概念得到，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：与是以为位似中心的位似图形， 与的相似比是， 故与的周长比是， 故选A． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形，先求出位似比为，根据位似图形的性质可得，据此即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴位似比为， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比是，若点B的坐标为，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比是， ， ， ， 点B的坐标为，点E在第一象限， 点E的坐标是， 故答案为：． 4．（20-21九年级上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比． 【答案】(1)图见解析；(2)． 【分析】本题主要考查位似，相似三角形的性质，熟练掌握位似变换是解题的关键． （1）对应点连线所在的直线的交点即为位似中心； （2）求出，，即可得到位似比． 【详解】（1）解：作图如示．注：画出任二条线并标出点O （2）解：由题意得：，， 与的位似比． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是． (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析(2)，，(3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，，，． （3）解：由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 动点问题 1．如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒． （1）当时，的面积为__________． （2）当为何值时，与相似？ （3）在、的运动过程中，能否构成等腰三角形？如能求出，如不能，说明理由． 【答案】（1）（2）或（3）能，或或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）根据已知条件求出的长，再过点作，交与点，的长，求出，即可求出的值，最后求的值； （2）先分两种情况进行讨论，当时，，求出的值和当时，，求出的值，经检验它们都符合题意即可； （3）此题分三种情况进行讨论；①当时，得出的值；②当时，先过作，得出，即可求出，得出的值，最后求出的值；③当时，先过作，得出，求出，得出的值，即可求出的值； 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意，可知：，，，， 过点作，交与点，如图1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ； 故答案为：； （2）当时，， ， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， 当为或时，经检验，它们都符合题意，此时与相似； （3）能构成等腰三角形，理由如下： 当时，，解得； 当时，过作，交于点，如图2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过作，交于点，如图3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当或或时，能构成等腰三角形． 2．如图，在四边形中，，，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，过点P作，交折线于点E，以PE为斜边向右作等腰直角三角形，且，当点E在线段上时，．设点P的运动时间为t秒（）．    (1)当t为何值时，点F恰好落在上？ (2)若点P与点C重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形与四边形重叠部分的面积为S，求出S关于t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当点F在的右侧时，是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S与四边形的面积比为？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）过点A作于点G．当点F恰好落在上时，和均为等腰直角三角形，从而可求出，进而可求出，即可求出t的值； （2）分类讨论：①当点P在之间时，即时，此时重合部分面积即为，求出即可；②当点P过点G，且F点在四边形内部时，即时，此时重合部分面积即为，求出即可；③当点F在四边形外部时，即时，此时重合部分面积为，求出即可； （3）根据题意可知若存在，则．由题意可将代入，解出t，在判断其是否符合即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点G． ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 当点F恰好落在CD上时，如图，    ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴， ∴． ∴； （2）解：①当点P在之间时，即时，如图，    ∴此时重合部分面积即为． ∵， ∴， ∴； ②当点P过点G，且F点在四边形ABCD内部时，即时，如图，    ∴此时重合部分面积即为． 此时， ∴， ∴； ③当点F在四边形外部时，即时，如图，设交于点M，交于点N，      ∴此时重合部分面积为． 同理（1）和均为等腰直角三角形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知S关于t之间的函数关系式为； （3）解：∵， ∴若存在，则． ∵F在右侧， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故存在，此时t的值为． 【点睛】本题为四边形综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，三角形的面积和梯形的面积计算等知识．理解图形的运动过程并画出图形，进行分类讨论是解题关键，为压轴题． 3．如图，在中，，，．动点、同时从点出发，点沿向终点运动，速度为每秒个单位长度．点沿射线运动，速度为每秒个单位长度．当点停止运动时，点继续运动，以、为邻边作，设运动时间为秒．    (1)________； (2)在点运动的过程中，________（用含的代数式表示）； (3)当平行四边形与重叠部分为四边形时，求的取值范围； (4)当点落在的高线所在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)秒或秒或秒 【分析】（1）根据勾股定理即可求解， （2）由，根据，代入数据即可； （3）分两种情况，①从点开始运动到点落在上，求出点在上时的值即得到的取值范围；②从点停止运动到点与点重合之前，求出此时的取值范围即可； （4）根据，分三种情况，①点在上，②点在边上的高上，③点在上，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； （2）∵动点、同时从点出发，点沿向终点运动，速度为每秒个单位长度．点沿射线运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， 当点与点重合时，；当点与点重合时，， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）①如图，点在上，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当与重叠部分为四边形时，；    ②如图，当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； 综上所述，当平行四边形与重叠部分为四边形时，求的取值范围为或；    （4）∵， ①点在上，此时点、与点重合，则； ②点在边上的高上， 如图，过点作于点上，则点在上， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，    ③点在上，如图，由（3）中①的结论可得：， 综上所述，当点落在的高线所在直线上时，的值为秒或秒或秒．    【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，三角形高的定义，等积法等知识点，运用分类讨论的数学思想．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，过点作于点、，过点作，与交于点．设点的运动时间为秒．    (1)①当时，________________，________________； ②线段的长为________；（用含t的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)当直线将的面积分成的两部分时，求的值； (4)当点落在的角平分线上时，直接写出的值． 【答案】(1)①；；② (2)的值为1； (3)的值为1或； (4)当点落在的角平分线上时，的值为或 【分析】（1）①当时，由题意得，证明，利用相似三角形的性质求出；②同①求出； （2）首先证明四边形是平行四边形，由，构建方程即可解决问题； （3）根据题意需要分两种情况讨论，且易得由直线分得的，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方建立等式可求解； （4）分三种情况讨论，分别作出图形，求解即可． 【详解】（1）解：①如图1中，    当时，由题意得， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；； ②由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中，当点落在上时，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当点落在边上时，的值为1； （3）解：如图，设直线与边交于点N，    则， ∴， ∴， 当直线将的面积分成的两部分时，有以下两种情况： ①的面积：四边形的面积， 则， ∴，即， 解得； ②的面积：四边形的面积， 则， ∴，即， 解得， 综上，t的值为1或； （4）解：根据题意可知，需要分三种情况： ①当点在的平分线上，如图，    则有， ∴，显然不符合题意； ②当点在的平分线上，如图，    则有，过点作于点， 则， 又∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； ③当点在的平分线上，如图，    则， 过点作于点，∴， ∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴， ∴， 设，则，， ∴，解得，∴， 过点作点， 则，， ∴，， 则，则，，∴，解得． 综上，当点落在的角平分线上时，的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，以及分类讨论的数学思想，根据题意分类并作出对应的图形是解题关键． 相似综合 1．如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明； （2）过点B作交的延长线于H，根据相似三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （3）证明，根据相似三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，，， 则，， 设，则， 在中，， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得： (舍去)， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键． 2．如图，在中，，点D为一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证： ； (3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点K，则，可得是等腰直角三角形，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）证明，可得，作交于点Q，再证明，可得，即可求证； （3）取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q．证明，可得，设，则，设，则，根据， ∴，可得，再由勾股定理可得，然后根据点M为的中点，，可得，从而得到，进而得到 ，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点K，则， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作交于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q． 由轴对称的性质得：，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， 设，则， 同理， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点，， ∴， ∴，∴， ∵，∴， 当且仅当点A，H，M三点共线时，取得最小值，最小值为． 【点睛】本题为几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定性质、几何变换、解直角三角形等重要知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键． 3．洛洛遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长． 洛洛发现，过点C作，交的延长线于点E，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． (1)请回答：的度数为__________，的长为__________． (2)参考洛洛思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在四边形中，与交于点E，且，，，，，求的长； ②如图4，在中，，点D是边的中点，点E在边上，过点D作交边于点F，连结，当，时，请直接写出的长． 【答案】(1)；3 (2)①；② 【分析】（1）根据相似三角形的性质求出，然后根据三角形内角和定理可得，进而可以解决问题； （2）①过点作交的延长线于点，证明，得，再利用勾股定理即可解决问题． ②延长到，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图3，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②延长到，使得，连接，如图4， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查三角形的中线、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法． 4．在四边形中，且，．将绕点顺时针旋转一定角度得线段，点在四边形内部，连接，，连接并延长交于点．    (1)如图，若，过点作延长线的垂线，垂足为，求的度数； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，若，连接并延长交于点，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查旋转的性质，三角形全等的性质和判定，三角形相似的性质和判定，熟练掌握三角形全等的性质和判定，三角形相似的性质和判定是解题的关键； （1）根据旋转的性质，得到全等三角形的性质，从而得到，然后利用三角形全等即可求解； （2）由点向作垂线，垂足为，向作垂线，垂足为，由点向的延长线交于点，求证，，从而求解； （3）由点向，作垂线，垂足为，；由向作垂线，垂足为；由向下作垂线，垂足为；连接，设，，，证明，相似比为，从而根据线段成比例，求解的长度； 【详解】（1）解：绕点顺时针旋转一定角度得线段， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， （2）解：由点向作垂线，垂足为，向作垂线，垂足为，由点作的垂线，交的延长线交于点；    设，， ，， ， 同理； 故， ， ，， ， ， ， ， ， ， （3）解：由点向，作垂线，垂足为，；由向作垂线，垂足为；由向下作垂线，垂足为；连接，设，，，    由题意可知，， ， ， 则； ， ，，，四点共圆； ， ，相似比为， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$