专题03 一元二次方程（5种基础题型+2种提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（四川成都专用）

专题03 一元二次方程（5种基础题+2种提升题） 认识一元二次方程 1．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）关于的方程是一元二次方程，则（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 3．（23-24九年级上·广东佛山·期中）方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A．，3 B．， C．1，3 D．1， 4．（21-22八年级下·浙江嘉兴·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 5．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则的值为 ． 解一元二次方程 1．（22-23九年级下·山东淄博·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： 5．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）根据要求的方法解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法） 6．（23-24八年级下·山东泰安·期中）解方程： (1)用配方法：； (2)用公式法：． 7．（22-23九年级上·贵州毕节·期中）按要求解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)，（因式分解法）． 根的判别式 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 2．（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 3．（22-23八年级下·重庆江北·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 4．（22-23八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值为 ． 5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 根与系数之间的关系 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数，满足 ，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）设是方程的两实数根，则 ． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 4．（22-23九年级上·四川内江·期中）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 5．（22-23八年级下·广西崇左·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为，且，求m的值． 一元二次方程的应用 1．（22-23八年级下·重庆江北·期中）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 2．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． (1)当时， 米， 平方米； (2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 3．（22-23九年级上·四川内江·期中）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 4．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： (1)几秒后的面积等于； (2)几秒后． 5．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 换元法解方程 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 3．（2020七年级上·全国·专题练习）用换元法解分式方程： 解：设=m，则原方程可化为m﹣=2；去分母整理得：m2﹣2m﹣3=0 解得：m1=﹣1，m2=3即：=﹣1或=3；解得：x=或x=﹣ 经检验：x=或 x=﹣是原方程的解．故原方程的解为：x1=，x2=﹣． 请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值： 已知a是方程的根，并求代数式的值？ 4．（2023九年级·全国·专题练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2–3|x|+2=0． 解：设|x|=y，则原方程可化为：y2–3y+2=0． 解得：y1=1，y2=2． 当y=1时，|x|=1，∴x=±1； 当y=2时，|x|=2，∴x=±2． ∴原方程的解是：x1=1，x2=–1，x3=2，x4=–2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：x4–10x2+9=0． (2)解方程：–=1． (3)若实数x满足x2+–3x–=2，求x+的值． 构造方程 1．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，且满足，，那么的值为 . 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，求的值； (3)已知．满足，则正整数的最小值为______． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程（5种基础题+2种提升题） 认识一元二次方程 1．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）关于的方程是一元二次方程，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解：若关于x的方程是一元二次方程，则． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入方程，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个非零根， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 故选：A 3．（23-24九年级上·广东佛山·期中）方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A．，3 B．， C．1，3 D．1， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程的二次项系数和常数项分别为1，3， 故选C． 4．（21-22八年级下·浙江嘉兴·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 5．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，则． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴，∴， ∴， 故答案为：． 解一元二次方程 1．（22-23九年级下·山东淄博·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法过程步骤为：1．把原方程化为一般形式． 先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可． 【详解】解：配方法为：， ， ， ， ∵当原方程变形为时，，， ∴． 故选：A． 3．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的配方；根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误；     B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确；     D. ，故该选项错误． 故选C． 4．（22-23八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：    或 所以原方程的解为，． 5．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）根据要求的方法解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）求出的值，再代入公式求出即可． （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）， ，，， ， ， ，． （2）， 移项：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 6．（23-24八年级下·山东泰安·期中）解方程： (1)用配方法：； (2)用公式法：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．关键是熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤． （1）用配方法解一元二次方程时，先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式； （2）用公式法解方程时，先确定a，b，c的值，再计算，若，即可代入求根公式，解得即可． 【详解】（1） ； ； ，； （2）整理得： ， 方程有两个不等的实数根 ， 7．（22-23九年级上·贵州毕节·期中）按要求解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)，（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，公式法，配方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：移项，得． 配方，得， 即， 由此可得， ∴； （2）解：， ． ， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴， 即； （3）解：移项，得． 因式分解，得． 于是得或， ∴． 根的判别式 1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由直线解析式求得，然后确定的符号即可． 【详解】解：直线不经过第四象限，， 关于的方程， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 2．（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键．根据题意得到且即可得到答案． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 3．（22-23八年级下·重庆江北·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得：． 故答案为：． 4．（22-23八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．由根与学生的关系可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即，解得．故答案为． 5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且；(2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）解：由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 【答案】(1)，方程的另一个根为-1；(2)见解答 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）先把代入一元二次方程可求得，则此时一元二次方程为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可； （2）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入一元二次方程得， 解得， 此时一元二次方程为， 设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为-1； （2）证明：，， 此方程总有两个实数根． 根与系数之间的关系 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数，满足 ，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据题意得到：，所以、是关于的方程的两个根．根据根与系数的关系求得，然后求其倒数即可． 【详解】解：根据题意知，． 在的两边同时除以得到：， 、是关于的方程的两个根， ． 故选：D 2.（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）设是方程的两实数根，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 根据一元二次方程的解可得，根据根与系数的关系可得，再将化简即可求解． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴，，即， ∴ ， 故答案为：7． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2018 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由题意得出，，将变形为，整体代数计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·四川内江·期中）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 【答案】2032 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 5．（22-23八年级下·广西崇左·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1)；(2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式： （1）由方程有实数根，可得，可解得m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，根据，即可得关于m的方程，解出m的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵该方程的两个实数根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 一元二次方程的应用 1．（22-23八年级下·重庆江北·期中）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元 (2)每个圆规的售价为11元 【分析】本题考查了分式方程、一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元，列出分式方程，即可求解； （2）设每个圆规的售价为m元，根据圆规平均每天的总获利为200元，列出一元二次方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元； （2）解：设每个圆规的售价为m元， 根据题意，得， 解得，， 又降价幅度不超过 ∴， 答∶ 每个圆规的售价为11元． 2．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． (1)当时， 米， 平方米； (2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 【答案】(1)10；200 (2)的长为15米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得，即可求出，根据长方形面积公式，即可求出y； （2）根据题意可得，则，根据长方形面积公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：10，200； （2）解：由题意知：，则， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，应舍去， ∴的长为15米． 3．（22-23九年级上·四川内江·期中）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 【答案】(1)①裁去的正方形边长为；②有，裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为 (2)裁去的左侧正方形的边长为 【分析】本题主要考查了一元二次的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）①设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可； ②根据题意表示出侧面积，然后配方根据平方的非负性求解即可； （2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）①设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的正方形边长为； ②侧面积为长方体盒子总面积减去底面积， 即 配方得 ， 即最大值为200，此时 答：裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为； （2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的左侧正方形的边长为． 4．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： (1)几秒后的面积等于； (2)几秒后． 【答案】(1)1秒后或5秒后的面积等于 (2)秒或6秒后 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． （1）设秒后的面积等于，则，，则，再利用的面积等于得出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设秒后，结合矩形的性质可知，，，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后的面积等于， 则，， ， 根据题意得：， 解得：，， 答：1秒后或5秒后的面积等于； （2）解：四边形为矩形， ，，， 设秒后， 则，， ，， 则， ， ， ∴， 即：， 解得：，， 即：秒或6秒后． 5．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)每个车位的月租金应上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形，再根据喷漆面积列出方程求解即可； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，再根据月租金列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元 换元法解方程 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 可得， 解得， 或， 解得， 故方程的负整数解为， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 3．（2020七年级上·全国·专题练习）用换元法解分式方程： 解：设=m，则原方程可化为m﹣=2；去分母整理得：m2﹣2m﹣3=0 解得：m1=﹣1，m2=3即：=﹣1或=3；解得：x=或x=﹣ 经检验：x=或 x=﹣是原方程的解．故原方程的解为：x1=，x2=﹣． 请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值： 已知a是方程的根，并求代数式的值？ 【答案】x1=4，x2=﹣； ，-1 【分析】先仿照题例，设=m，将原方程化为m2﹣m﹣2=0，然后解这个整式方程，再还元求得原方程的解，另外要注意求代数式的值时，注意a的取值之合理性． 【详解】解： 设=m，则原方程可化为 m2﹣m﹣2=0， 解这个整式方程得： m1=2，m2=﹣1 即：=2或=﹣1； 解得：x=4或x= 经检验：x=4或 x=是原方程的解． 故原方程的解为：x1=4，x2=． 因为a是方程的根， 所以，a=4或a= = = = = 则①当a=4时，原式=； ②当a=时，原式= 即：所求代数式的值为2或﹣1 【点睛】此题是换元法解分式方程，换元法解分式方程是难点，关键是换元之后把方程化成整式方程，要将所解整式方程的解还原回来，求出原分式方程的解，并要进行验根． 4．（2023九年级·全国·专题练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2–3|x|+2=0． 解：设|x|=y，则原方程可化为：y2–3y+2=0． 解得：y1=1，y2=2． 当y=1时，|x|=1，∴x=±1； 当y=2时，|x|=2，∴x=±2． ∴原方程的解是：x1=1，x2=–1，x3=2，x4=–2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：x4–10x2+9=0． (2)解方程：–=1． (3)若实数x满足x2+–3x–=2，求x+的值． 【答案】(1)x=±1或x=±3；(2)x=1或x=–；(3)x+=4． 【分析】（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，解方程求得a的值，再求x的值即可；（2）设=m，则原方程可化为m–=1，即m2–m–2=0，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解；（3）设x+=y，则原方程可化为y2–3y–4=0，解方程求得y的值，即可求得x+的值． 【详解】（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0， 即（a–1）（a–9）=0， 解得：a=1或a=9， 当a=1时，x2=1，∴x=±1； 当a=9时，x2=9，∴x=±3； （2）设=m，则原方程可化为m–=1，即m2–m–2=0， ∴（m+1）（m–2）=0， 解得：m=–1或m=2， 当m=–1时，=–1，即x2+x+1=0，由Δ=1–4×1×1=–3＜0知此时方程无解； 当m=2时，=2，即2x2–x–1=0，解得：x=1或x=–， 经检验x=1和x=–都是原分式方程的解； （3）设x+=y，则原方程可化为：y2–2–3y=2，即y2–3y–4=0， ∴（y+1）（y–4）=0， 解得：y=–1或y=4， 即x+=–1（方程无解，舍去）或x+=4， 故x+=4． 【点睛】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 构造方程 1．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论． 【详解】解：，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 【答案】（1）5，1；（2）；（3）． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）根据根与系数的关系即可求解； （2）先验证，再在两边同时除以，得是一元二次方程的两个不等实数根，求出，变形代入即可； （3）先根据题意得到是一元二次方程的两个不等实数根，求出代入化简，又因为是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，； 解：（2）∵把代入得不合题意， ∴两边同时除以得 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出， ∴， ∴． 解：（3）将方程两边同时乘以2得， 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出 ∵是方程的两个不等实数根， ∴． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，求的值； (3)已知．满足，则正整数的最小值为______． 【答案】(1)，，，6 (2)2或 (3)3 【分析】（1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到,即可得到p、q的值； （2）讨论：当时，易得原式；当时，把m、n看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答； （3）利用已知条件变形得到，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴,解得． 故答案为：，，，6． （2）解：∵m,n满足， 当时，原式； 当时，m、n可看作方程的两根， ∵， ∴原式． 综上，的值为2或． （3）解：∵， ∴， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而c＞0， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么由求根公式可推出，是解答本题关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$