专题02 特殊平行四边形在函数中存在性问题压轴题专项训练（3种压轴题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（四川成都专用）

专题02 特殊平行四边形在函数中存在性问题压轴题专项训练（3种压轴题） 菱形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，轴分别交于，B两点，直线与x轴，轴分别交于，D两点，这两条直线相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求四边形的面积； (3)在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点． （1）若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式． （）在（）的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，点B、C都在x轴上，，∥BC，所在直线的函数表达式为，E是的中点，点P是边上一个动点．    (1)当___________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形． (2)点P在边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，与直线AB交于点G． (1)求点G的坐标； (2)如图1，是直线上两动点，点E在点F上方，且，连接AF，BE，求的最小值及此时点F的坐标； (3)在（2）问取得最小时，点P是x轴上一动点，点Q是平面内一点，当以点为顶点的四边形是菱形时，请写出点Q的坐标，并写出求其中一个点Q的过程． 5．如图，直线分别与轴、轴交于、两点，与直线交于点． (1)求A点坐标及k，b的值； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若点为轴上一点，在坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形？若存在，求出所有符合条件的的坐标；若不存在，请说明理由． 矩形存在性问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点C，D，，以和为邻边作矩形，点E是直线上一动点． (1)直接写出点B的坐标； (2)连接，若平分，求出点E的坐标； (3)若点F是纵轴（y轴）左侧任意一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出点F坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点． (1)求的周长； (2)如图2，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接，，若点在第四象限，且，求的最小值及此时点的坐标； (3)如图3，将直线沿轴向下平移使其经过点得到直线，若点、点在直线上运动（点在点右侧），点在直线上运动，若以点、、、为顶点的四边形为矩形，直接写出点的坐标及对应的线段 的长度． 正方形存在性问题 1．如图，直线分别交轴和轴于点和点，直线过点且与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若点为线段上一动点，当时，求点的坐标； (3)若、为平面内两点，满足四边形为正方形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 2．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动． 如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________________； (2)探究迁移：若点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 3．（1）【建构模型】 如图1，在正方形中，直线l经过点D，过点A、C分别作，交l于点F，E，求证：； （2）【应用模型】 已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； （3）【拓展模型】 如图3，四边形是矩形，O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足． (1)点的坐标为____________，点的坐标为____________． (2)求直线的函数解析式． (3)若点为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求点的坐标． (4)在（）的条件下，若四边形是正方形，则点的坐标为____________． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P是x轴上一点．    (1)填空：线段______； (2)若点P在线段上（点P不与点O，A重合），将绕点P旋转后得到（点C，D，E依次与点O，A，B对应），连接，，若四边形恰好是矩形，求点P的坐标； (3)若P是x轴负半轴上一点，F是一次函数的图象上一点，Q是坐标平面内一点，且以P，Q，B，F为顶点的四边形是正方形，直接写出点Q的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊平行四边形在函数中存在性问题压轴题专项训练（3种压轴题） 菱形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，轴分别交于，B两点，直线与x轴，轴分别交于，D两点，这两条直线相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求四边形的面积； (3)在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与坐标轴交点、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）联立两一次函数解析式即可求出交点坐标； （2）先求出、、、的坐标，得出，，，再根据计算即可得出答案； （3）由勾股定理求出，从而得出以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时，只能以为对角线，设，则，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵这两条直线相交于点P， ∴联立， 解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：在直线中，令，则，即， 令，则，解得，即， 在直线中，令，则，即， 令，则，解得，即， ∴，，， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴，，， ∴， ∴以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时，只能以为对角线，如图， 设，则， 解得：，即． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点． （1）若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式． （）在（）的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）存在，或或 【分析】试题分析：(1)对于直线解析式,令x=0，求出y的值,确定C的坐标；根据D在直线OA上,设,表示出△COD面积,把已知面积代入求出x的值,确定出D坐标,利用待定系数法求出CD解析式即可； (2)在(1)的条件下,设P是射线CD上的点,在平面内存在点Q,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形,如图所示,分三种情况考虑:①当四边形为菱形时,由,得到四边形为正方形;②当四边形为菱形时;③当四边形为菱形时;分别求出Q坐标即可. 【详解】解：（）设． ∵且， ∴ ∴ ∴． 令直线解析式为 把，代入得： ∴． ∴． （）存在． ①当四边形为菱形时． ∵得四边形为正方形 ∴, 即． ②当四边形为菱形时 ∵得 代入得， ∴． ③当四边形为菱形时 ∴ ∴ 综上得点的坐标为或或． 【点睛】此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点,待定系数法确定一次函数解析式,一次函数图象的交点,一次函数图象与性质,菱形的性质,坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键. 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，点B、C都在x轴上，，∥BC，所在直线的函数表达式为，E是的中点，点P是边上一个动点．    (1)当___________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形． (2)点P在边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由． 【答案】(1)1或11 (2)当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）由，得,，,；，当点P在点E左侧时，，当点P在点E右侧时，． （2）当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形．点B的坐标为；当时则，则此时以点P、A、D、E为顶点的四边形不是菱形；当时，则，则此时以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形． 【详解】（1）解：所在直线的函数表达式为， 时，；时，； ∴,；,． ∴． ∵E是的中点， ∴， 当点P在点E左侧时， 当点P在点E右侧时，． 故答案为：1或11； （2）解：当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形． 理由如下： 点C是直线与x轴的交点， 点C的坐标为， ， 点B的坐标为， 当时，点P的坐标为，则， 则此时以点P、A、D、E为顶点的四边形不是菱形； 当时，点P的坐标为，则， 则此时以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形； 综上所述，当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形四边形的判定，掌握相关判定方法是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，与直线AB交于点G． (1)求点G的坐标； (2)如图1，是直线上两动点，点E在点F上方，且，连接AF，BE，求的最小值及此时点F的坐标； (3)在（2）问取得最小时，点P是x轴上一动点，点Q是平面内一点，当以点为顶点的四边形是菱形时，请写出点Q的坐标，并写出求其中一个点Q的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或或． 【分析】（1）由已知求出直线的解析式，与的解析式组成方程组，求方程组的解即可得点G的坐标； （2）过点作且截取，连接交于点，即可求出的最小值及此时点F的坐标； （3）以点为顶点的四边形是菱形分三种情况讨论：；；，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 设的解析式为，把坐标代入得 解之得 ∴的解析式为 解得 ∴点的坐标为． （2）过点作，且， 连接由平行四边形的性质可得，连接交于点，此时最小． 中令，得 令，得 ∴， ∴， 过点作轴，∵， ∴ ∴ ∴点 ∴， 设的解析式为，把点的坐标代入 解得 ∴的解析式为 ∴ 此时的最小值为：． （3） 若，由四边形为菱形，可知点为点关于轴的对称点， ∴； 若，则由四边形为菱形，可知， ∵， ∴， ∴点； 若， ∵， ∴ ∴ ∴四边形为正方形 ∴点． ∴点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，由轴对称求线段和最小，菱形的性质以及两点间的距离公式，关键是熟练掌握相关的知识，特别是通过轴对称求两条线段的和最短，分类讨论四边形为菱形时的所有可能情况． 5．如图，直线分别与轴、轴交于、两点，与直线交于点． (1)求A点坐标及k，b的值； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若点为轴上一点，在坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形？若存在，求出所有符合条件的的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)m＝或m＝ (3)存在，Q的坐标为：或或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形性质，菱形性质，勾股定理等，解题时要注意分类讨论，避免漏解． （1）待定系数法求函数解析式，将代入，，解方程即可，在中，令，解方程即可得点坐标； （2）以、、、为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：当时，四边形是平行四边形，由，建立方程求解，当时，四边形是平行四边形，由，建立方程求解； （3）以、、、四个点为顶点构成一个菱形，分两种情况：①当以为边，由，即可求得相应的点和坐标，②当以为对角线，根据菱形对角线互相垂直可建立方程求解． 【详解】（1）解：将代入，， 得：，，解得：，， 直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ； （2）解：设，则， 如图1，当时，， 四边形是平行四边形 即，解得：， 如图2，当时， 四边形是平行四边形 ，即，解得：， 或； （3）解：存在．如图3， ①当以为边时， 点， ， 以、、、为顶点的四边形是菱形 ， 或， 或， 当与关于原点对称时，也存在满足条件的菱形， ②当以为对角线时，设对角线的交点为，则， 因此设，则， 在中，，解得：， ，则， 综上所述，符合条件的的坐标为：或或或． 矩形存在性问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 【答案】(1)直线的函数解析式为； (2)； (3)点的坐标为或或，过程见解析． 【分析】（1）先求出点和点的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点和点的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则可将点和点的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出的值，即可进行解答； （3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转得， ∴，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． （2）解：∵，， ∴， ∵点在线段上， ∴设， ∵轴，轴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 把代入得：； 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：． ∴． （3）①当为矩形的边时， 过点作，交直线于点，过点作，交直线于点，过点作交于点，过点作交于点， 根据作图可得：四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，， ∴，，即点为中点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式为： ，解得：， ∴，    ②当为矩形的对角线时， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴轴， ∵轴，过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点和点重合，∴，    综上：点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点C，D，，以和为邻边作矩形，点E是直线上一动点． (1)直接写出点B的坐标； (2)连接，若平分，求出点E的坐标； (3)若点F是纵轴（y轴）左侧任意一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出点F坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）直线求得点C和D的坐标，根据题意得点A的坐标，即可求得点B； （2）延长和交于点H，根据题意得，有，在中，求得，可知点H的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，结合点E的横坐标即可求得点E的坐标； （3）①当四边形为矩形时，过点F作交于点Q，证明，求得，进一步证明，可求得和，即可求得点F．②当四边形为矩形时，根据题意证得，可求得，即可求得点F； 【详解】（1）解：∵直线交坐标轴于点C，D， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵矩形以和为邻边， ∴点B的横坐标和点A相同，纵坐标和点C相同， 即． （2）延长，，交于点H，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得∶， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点D，H的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：． ∵点E在上， ∴点E的横坐标为， 将代入， 解得：， ∴点． （3）①当四边形为矩形时，过点F作交于点Q，如图∶ ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 则， 故点． ②当四边形为矩形时，如图∶ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，∴，即， ∴，∴， ∵，， ∴同①得点． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握点的几何意义和运用分类讨论思想是解题的关键． 3．如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点． (1)求的周长； (2)如图2，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接，，若点在第四象限，且，求的最小值及此时点的坐标； (3)如图3，将直线沿轴向下平移使其经过点得到直线，若点、点在直线上运动（点在点右侧），点在直线上运动，若以点、、、为顶点的四边形为矩形，直接写出点的坐标及对应的线段 的长度． 【答案】(1) (2)的最小值为，此时点的坐标为 (3)点的坐标为，对应的线段的长度为或点的坐标为，对应的线段的长度为 【详解】（1）解：把代入得，， ∴，， 把代入得，， ∴，， 把代入得，， 解得：， ∴，， ∴，，， ∴的周长； （2）解：如图，将轴所在的直线绕点逆时针旋转，过点作旋转后的直线的垂线，垂足为，过点作轴于，过点作轴于， ∴，， ∴， ∴， ∴如图，当点、、在同一直线上时，最小，即最小， ∴此时， ∴， ∴，， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得：， 则， ∴，的边上的高， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∵由（1）得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点为直线上一动点，点在第四象限， ∴设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∴此时，， ∴的最小值为，此时点的坐标为； （3）解：如图，当为矩形的对角线时，记对角线、交于点， ∴点是的中点，， ∵将直线沿轴向下平移使其经过点得到直线，由（2）得，， ∴当时，直线上的点纵坐标， ∴将直线向下平移的长度， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上运动， ∴设， 又∵点是的中点，点， ∴， ∵点在直线上， ∴把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴； 如图，当为矩形的边时，过点作于点， ∴，，，， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴当，， ∴，， ∵由（1）得，，， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴点的坐标为； 综上所述，若以点、、、为顶点的四边形为矩形，点的坐标为，对应的线段的长度为或点的坐标为，对应的线段的长度为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、矩形的性质、坐标与图形、勾股定理、含角的直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点推理证明、数形结合、分类讨论是解题的关键． 正方形存在性问题 1．如图，直线分别交轴和轴于点和点，直线过点且与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若点为线段上一动点，当时，求点的坐标； (3)若、为平面内两点，满足四边形为正方形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，正方形判定和性质，全等三角形的性质和判定、坐标与图形、三角形的面积等，数形结合，分类讨论是解题关键． （1）根据直线与坐标轴的交点求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）首先求出点B坐标，再设点，由，即可求解； （3）首先根据当正方形在右侧时或在左侧时，两种情况，画出图形，过P点作轴，结合一线三垂直模型证明，从而求解． 【详解】（1）解：交轴和轴于点和点， 当时，解得，， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴ 设直线的解析式为，将，代入，则，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：设点，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴，解得，故点； （3）解： 当正方形在右侧时，如图3（1），过P点作轴， ∵在正方形中，∴，， 又∵， ∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，，故点 当正方形在左侧时，如图3（2）， 同理可得： ，， 故， 综上所述：满足条件的点或． 2．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动． 如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________________； (2)探究迁移：若点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1)； (2)矩形，理由见解析； (3)或 【分析】本题考查了一次函数，待定系数法，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定，利用分类讨论思想，能够将函数问题与几何问题相结合是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设经过时间， ，，， ，， 点在直线：上，点在直线：上， 且轴，轴， ，， ， 又 轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时且在原点右侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． 当点在左侧时，且在原点左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， ，解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点左侧时， 经过时间，则，，， ，与前一种情况一样． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 3．（1）【建构模型】 如图1，在正方形中，直线l经过点D，过点A、C分别作，交l于点F，E，求证：； （2）【应用模型】 已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； （3）【拓展模型】 如图3，四边形是矩形，O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）见详解，（2）（3）或 【分析】（1）由正方形的性质可得出，，再得出，最后利用可证明； （2）①过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，进而可得出，，求的，从而可求得点坐标． ②分两种情况考虑：如图3、图4所示，构造如图（1）模型，由全等三角形性质可得线段相等，设点D坐标为，即可用x表示P点坐标，根据点P在上列方程即可求出的坐标． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ； （2）如图2，过作轴于点， 在中，令可求得，令可求得， ∴， ，， 由旋转的性质可得出：， 同（1）可证得， ，， ， ， （2）∵矩形，O为坐标原点，B的坐标为， ∴A点坐标为，C点坐标为， 当四边形是正方形时， ，， 如图3，当D在A点下方时， 过D点作轴，垂足为N，交于M， 同理（1）：，，， 设D点坐标为，则N点坐标为， ∴，， ∴，P点坐标为， ∵P在上， ∴， ∴ ∴点坐标； 如图4，当D在A点上方时， 同理（1）：，，， 设D点坐标为，则N点坐标为， ∴，， ∴，P点坐标为， 因为P在上， ∴， ∴ ∴点坐标； 综上可知满足条件的点的坐标分别为或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、正方形和矩形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足． (1)点的坐标为____________，点的坐标为____________． (2)求直线的函数解析式． (3)若点为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求点的坐标． (4)在（）的条件下，若四边形是正方形，则点的坐标为____________． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用非负数的性质求出的值即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）过点分别作轴于，轴于，可证四边形为正方形，得到，再证明得到，设，则，可得，，进而得，求出即可求解； （）设的中点为，则点的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为，由正方形性质点在直线上，设，由中点坐标公式可得，求出即可求解； 本题考查了非负数的性质，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：过点分别作轴于，轴于，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∵点为直线上， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （4）解：设的中点为，则点的坐标为， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴点在直线上， 设， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P是x轴上一点．    (1)填空：线段______； (2)若点P在线段上（点P不与点O，A重合），将绕点P旋转后得到（点C，D，E依次与点O，A，B对应），连接，，若四边形恰好是矩形，求点P的坐标； (3)若P是x轴负半轴上一点，F是一次函数的图象上一点，Q是坐标平面内一点，且以P，Q，B，F为顶点的四边形是正方形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)8 (2) (3)满足条件的点Q的值为或或或． 【分析】（1）求出点A的坐标，可得结论； （2）设，则，构建方程求出m即可； （3）分两种情形：为正方形的边，为正方形的对角线，分别构建全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：对于直线中， 令，得到， 令，得到， ∴，， ∴， 故答案为：8； （2）如图1中， ∵，， ∴，    ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴，， ∴； （3）当为正方形的边，时，如图， 同理可得：，设， ∴，解得：， ∴．    过作于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由中点坐标公式可得：； 当时，如图：过点作轴， 设， 同法可得：， ∴， ∴， ∴， ∵F是一次函数的图象上一点， ∴，解得：， ∴， ∵为对角线， 由中点坐标公式可得：； 当为正方形的对角线时，设，．    过作于，作于， 同理可得：， ∴，， 解得：，， ∴， 过作于， 同理可得：，， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的点Q的值为或或或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$